Definisi Bilangan Kabur [PDF]

Citation preview

5.1 Definisi Bilangan Kabur Konsep bilangan kabur muncul dalam kehidupan sehari-hari yang dinyatakan dalam aplikasi teori kabur dalam bentuk besaran “kurang lebih 10 orang”, “kira-kira 3 orang”, “sekitar 5 km”, dsb. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan “kurang lebih 10” dapat dinyatakan dengan suatu himpunan kabur pada semesta ℝ, di manabilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, bilangan 1, dan semakinjauh bilangan itu dari 10 derajat keanggotaannya semakin mendekati 0. Secara formal bilangan kabur didefinisikan sebagai himpunan kabur dalam semesta himpunan kabur dalam semesta himpunan semua bilangan real ℝ yang memenuhi empat sifat berikut: 1.



Normal



2.



Mempunyai pendukung yang terbatas



3.



Semua potongan-α-nya adalah selang tertutup dalam ℝ



4.



Konveks



Suatu bilangan kabur bersifat normal, sebab bilangan kabur “kurang lebih 𝑎” seyogyanya mempunyai fungsi keanggotaan yang nilainya sama dengan 1 untuk x = α. Ketiga sifat lainnya diperlukan untuk dapat mendefinisikan operasi-operasi aritmatik (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) pada bilangan-bilangan kabur. Bilangan kabur yang paling banyak dipakai dalam aplikasi adalah bilanagn kabur dengan fungsi keanggotaan segitiga, yang disebut bilangan kabur segitiga, dan bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan trapesium, yang disebut bilangan kabur trapesium. Jelas bahwa kedua jenis bilangan kabur tersebut memenuhi keempat sifat bilangan kabur seperti didefinisikan di atas. Contoh 5.1.1: bilangan kabur “kurang lebih 6” dapat dinyatakan sebagai himpunan kabur 6̃ dengan fungsi keanggotaan segitiga sebagai berikut:



1



0



6̃



6 Gambar 5.1.1. Bilangan kabur 6̃



R



5.2 Operasi-operasi pada Bilangan Kabur Seperti halnya pada bilangan tegas, pada bilangan kabur juga dapat didefinisikan operasioperasi aritmatik. Suatu operasi biner pada ℝ pada dasarnya adalah suatu pemetaan f : ℝ × ℝ → ℝ. Misalnya operasi penjumlahan dua buah bilangan real x dan y yang menghasilkan bilangan real z, dapat dinyatakan dengan f(x, y) = z atau biasa ditulis x + y = z. Kama pada prinsip perluasan kita dapat mendefinisikan operasi biner untuk bilangan-bilangan kabur. Misalkan 𝑎̃ dan 𝑏̃ adalah dua buah bilangan kabur dalam semesta ℝ. Maka terbentuk himpunan kabur 𝑎̃ × 𝑏̃ dalam semesta ℝ × ℝ. Misalkan operasi penjumlahan tegas kita nyatakan dengan pemetaan f : ℝ × ℝ → ℝ dengan dengan f(x, y) = z atau x + y = z. Dengan prinsip perluasan kita definisikan penjumlahan 𝑎̃ dan 𝑏̃, yaitu 𝑎̃ + 𝑏̃, sebagai bilangan kabur dalam semesta ℝ dengan fungsi keanggotaan 𝑠𝑢𝑝 𝜇𝑎̃+ 𝑏̃ (z) = 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜇 (x, y) = 𝑧 𝑎̃+ 𝑏̃ 𝑠𝑢𝑝 = 𝑥+𝑦 min {𝜇𝑎̃ (x), 𝜇𝑏̃ (y)}. =𝑧



Demikian pula operasi pengurangan bilangan-bilangan kabur 𝑎̃ dan 𝑏̃, yaitu 𝑎̃ − 𝑏̃, adalah bilangan kabur dalam semesta ℝ dengan fungsi keanggotaan 𝑠𝑢𝑝 𝜇𝑎̃− 𝑏̃ (z) = 𝑓(𝑥,𝑦) 𝜇 (x, y) = 𝑧 𝑎̃+ 𝑏̃ 𝑠𝑢𝑝 = 𝑥−𝑦 min {𝜇𝑎̃ (x), 𝜇𝑏̃ (y)}. =𝑧



bila bilangan kabur negatif dari 𝑎̃, yaitu -𝑎̃, kita definisikan sebagai 0-𝑎̃, maka fungsi keanggotaannya adalah 𝑠𝑢𝑝 𝜇−𝑎̃ (z) = 𝜇0−𝑎̃ (x) = 0−𝑥 min {1, 𝜇𝑎̃ (x)} =𝑧



=𝜇𝑎̃ (-z) Bila b adalah suatu bilangan real tegas, maka 𝑎̃ + 𝑏̃ adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan 𝑠𝑢𝑝 𝜇𝑎̃+ 𝑏̃ (z) = 𝑥+𝑏 min {𝜇𝑎̃ (x), 1} =𝑧



= 𝜇𝑎̃ (z-b) Dan 𝑎̃ − 𝑏 adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan 𝑠𝑢𝑝 𝜇𝑎̃− 𝑏̃ (z) = 𝑥+𝑏 min {𝜇𝑎̃ (x), 1} =𝑧



= 𝜇𝑎̃ (z+b) Perkalian bilangan kabur 𝑎̃ dan 𝑏̃, yaitu 𝑎̃ . 𝑏̃, adalah bilangan kabur dalam semesta ℝ denganfungsi keanggotaan



𝜇𝑎̃.𝑏̃ (z) = 𝑥𝑦𝑠𝑢𝑝 min {𝜇𝑎̃ (x), 𝜇𝑏̃ (y)}. =𝑧 Dan pembagian bilangan kabur 𝑎̃ dan 𝑏̃, yaitu 𝑎̃ / 𝑏̃, adalah bilangan kabur dalam semesta ℝ dengan fungsi keanggotaan 𝑠𝑢𝑝 𝜇𝑎̃/ 𝑏̃ (z) = 𝑥/𝑦 min {𝜇𝑎̃ (x), 𝜇𝑏̃ (y)}. =𝑧



Bila a adalah suatu bilangan real tegas yang tidak sama dengan 0, maka 𝑎 . 𝑏̃ adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan 𝑠𝑢𝑝 𝜇𝑎.𝑏̃ (z) = 𝑎.𝑦 min {1, 𝜇𝑏̃ (y)} =𝑧



= 𝜇𝑎̃ (z/a) Contoh 5.2.1: Diberikan himpunan-himpunan kabur 6̃ dan 2̃ sebagai berikut: 6̃ = 0.2/3 + 0.5/4 + 0.8/5 + 1.0/6 + 0.8/7 + 0.5/8 + 0.2/9 2̃ = 0.3/0 + 0.7/1 + 1.0/2 + 0.7/3 + 0.3/4 Maka: 6̃ + 2̃ = 0.2/3 + 0.3/4 + 0.5/5 + 0.7/6 + 0.8/7 + 1.0/8 + 0.8/9 + 0.7/10 + 0.5/11 + 0.3/12 + 0.2/13 = 8̃ 6̃ − 2̃ = 0.2/-1 + 0.3/0 + 0.5/1 + 0.7/2 + 0.8/3 + 1.0/4 + 0.8/5 + 0.7/6 + 0.5/7 + 0.3/8 + 0.2/9 = 4̃ 6̃ + 2 = 0.2/5 + 0.5/6 + 0.8/7 + 1.0/8 + 0.8/9 + 0.5/10 + 0.2/11 −6̃



= 0.2/-9 + 0.5/-8 + 0.8/-7 + 1.0/-6 + 0.8/-5 + 0.5/-4 + 0.2/-3



6̃. 2̃



= 0.3/0 + 0.2/3 + 0.5/4 + 0.7/5 + 0.7/6 + 0.7/7 + 0.5/8 + 0.2/9 + 0.8/10 + 1.0/12 + 0.8/14 + 0.7/15 + 0.5/16 + 0.7/18 + 0.3/20 + 0.7/21 + 0.5/24 + 0.2/27 + 0.3/28 + 0.3/32 + 0.2/36



6̃ / 2̃ = 0.2/0.75 + 0.3/1 + 0.3/1.25 + 0.5/1.33 + 0.3/1.5 + 0.7/1.66 + 0.3/1.75 + 0.7/2 + 0.2/2.25 + 0.7/2.33 + 0.8/2.5 + 05/2.66 + 1.0/3 + 0.8/3.5 + 0.5/4 + 0.2/4.5 + 0.7/5 + 0.7/6 + 0.7/7 + 0.5/8 + 0.2/9 Bila 𝑎̃ dan 𝑏̃ adalah bilangan-bilangan kabur segitiga dengan fungsi keanggotaan 0



𝑥−𝑐 𝑑−𝑐 𝑒−𝑥 𝑒−𝑑



𝜇𝑎̃ (x) = Segitiga (x; c, d, e) = {



0 0



𝑥−𝑐 𝑑−𝑐 𝑒−𝑥 𝑒−𝑑



𝜇𝑏̃ (x) = Segitiga (x; c, d, e) = {



0



Untuk 𝑥 ≤ 𝑐 Untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 Untuk 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 Untuk 𝑒 ≤𝑥 𝑥≤ 𝑓 Untuk



Untuk 𝑓 ≤ 𝑥 ≤ 𝑔 Untuk 𝑔 ≤ 𝑥 ≤ ℎ Untuk ℎ ≤ 𝑥



Maka untuk suatu α ∈ [0,1], terdapat 𝑥1 dan 𝑥2 dengan 𝑐 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑑 dan 𝑓 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑔 sedemikian sehingga 𝜇𝑎̃ (𝑥1 ) = 𝜇𝑏̃ (𝑥2 ) = α Yaitu 𝑥1 −𝑐 𝑑−𝑐



=



𝑥2 −𝑓 𝑔−𝑓



=α



Sehingga 𝑥1 = 𝑐 + (𝑑 − 𝑐)𝑎 dan 𝑥2 = 𝑓 + (𝑔 − 𝑓)𝑎. Misalkan 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 , maka 𝑐 + 𝑓 ≤ 𝑥 = 𝑐 + 𝑓 + (𝑑 − 𝑐 + 𝑔 − 𝑓)𝑎 ≤ 𝑑 + 𝑔. 𝑥−(𝑐+𝑓)



Jadi untuk 𝑐 + 𝑓 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 + 𝑔, berlaku 𝑎 = (𝑑+𝑔)−(𝑐+𝑓), sehingga 𝜇𝑎̃+ 𝑏̃ (x) = 𝑥



𝑠𝑢𝑝 1 +𝑥2



=𝑥



𝑥−(𝑐+𝑓)



min {𝜇𝑎̃ (𝑥1 ), 𝜇𝑏̃ (𝑥2 )}= 𝑎 = (𝑑+𝑔)−(𝑐+𝑓)



Dengan mengingat bahwa 𝜇𝑎̃ (x) dan 𝜇𝑏̃ (x) naik monoton untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 dan 𝑓 ≤ 𝑥 ≤ 𝑔 berturut-turut. Demikian pula terdapat 𝑥3 dan 𝑥4 dengan 𝑑 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑒 dan 𝑔 ≤ 𝑥4 ≤ ℎ sedemikian sehingga 𝜇𝑎̃ (𝑥3 ) = 𝜇𝑎̃ (𝑥4 ) = α Yaitu 𝑒 − 𝑥3 ℎ − 𝑥4 = =𝑎 𝑒−𝑑 ℎ−𝑔 Sehingga 𝑥4 = 𝑒 − (𝑒 − 𝑑)𝑎 dan 𝑥4 = ℎ − (ℎ − 𝑔)𝑎. Misalkan 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥4 , maka 𝑑 + 𝑔 ≤ 𝑥 = 𝑒 + ℎ + (𝑑 − 𝑒 + 𝑔 − ℎ)𝑎 ≤ 𝑒 + ℎ (𝑒+ℎ)−𝑥



Jadi untuk 𝑑 + 𝑔 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 + ℎ, berlaku 𝑎 = (𝑒+ℎ)−(𝑑+𝑔), sehingga 𝜇𝑎̃+ 𝑏̃ (x) = 𝑥



𝑠𝑢𝑝 1 +𝑥2



=𝑥



(𝑒+ℎ)−𝑥



min {𝜇𝑎̃ (𝑥1 ), 𝜇𝑏̃ (𝑥2 )}= 𝑎 = (𝑒+ℎ)−(𝑑+𝑔)



Dengan mengingat bahwa 𝜇𝑎̃ (x) dan 𝜇𝑏̃ (x) naik monoton untuk 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 dan 𝑔 ≤ 𝑥 ≤ ℎ berturut-turut. Jelas bahwa 𝜇𝑎̃+𝑏̃ (x) = 0 untuk 𝑐 ≤ 𝑐 + 𝑓 atau 𝑥 ≤ 𝑒 + ℎ. Maka diperoleh



0 𝑥−(𝑐+𝑓) (𝑑+𝑔)−(𝑐+𝑓) (𝑒+ℎ)−𝑥



𝜇𝑎̃+ 𝑏̃ (x) =



(𝑒+ℎ)−(𝑑+𝑔)



{



0



= Segitiga (x; c + f, d + g, e + h)



Untuk 𝑥 ≤ 𝑐 + 𝑓 Untuk 𝑐 + 𝑓 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 + 𝑔 Untuk 𝑑 + 𝑔 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 + ℎ Untuk 𝑒 + ℎ ≤ 𝑥