Euclid Dan Karyanya (The Elements) : Dosen Pengampu: Syahriani Sirait, S.PD.,M.PD Mata Kuliah: Sejarah Matematika [PDF]

Citation preview

EUCLID DAN KARYANYA (THE ELEMENTS) Dosen Pengampu: Syahriani Sirait, S.Pd.,M.Pd Mata Kuliah: Sejarah Matematika



Disusun Oleh:



Nuraini



(22051004)



Oktavianus Zahlukhu



(22051023)



Khoirisma Ramadhani



(22051018)



Zulfahmi Firmansyah



(22051021)



Zahari Afsih



(22051053)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS ASAHAN 2023



KATA PENGANTAR puji syukur penyusun ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kelapangan waktu atas limpahan rahmat dan karunianya yang dicurahkan kepada penyusun serta berkah kesehatan sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah ini untuk memenuhi tugas mata kuliah Sejarah Matematika.Penyusun berharap makalah ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan pembaca tentang "Euclid dan Karyanya (The Elements)". Penyusun mengucapkan terima kasih kepada Ibu Syariani Sirait, S.Pd.,M.Pd selaku dosen Mata kuliah Sejarah Matematika. Dan tidak pula ucapan terima kasih juga disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu meselesaikan makalah ini. Akhirnya penyusun mengharapkan semoga dari makalah “Elemen dalam buku pertama Euclid” ini dapat diambil manfaatnya sehingga dapat memberikan inspirasi terhadap pembaca. Seelain itu, kritik dan saran yang membangun dari para pembaca sangat di butuhkan untuk perbaikan makalah ini kedepannya. Demikian, jika terdapat banyak kesalahan penyusun mohon maaf yang sebesar-besarnya .



Kisaran, Maret 2023



Kelompok 3



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR........................................................................................................i DAFTAR ISI.....................................................................................................................ii BAB IPENDAHULUAN...................................................................................................1 BAB II PEMBAHASAN...................................................................................................2 3.1 EUCLID DAN ELEMENT.....................................................................................2 3.2 GEOMETRI EUCLID..............................................................................................5 3.3 Teori Bilangan Euclid............................................................................................16 3.4. Eratosthenes Orang Bijak Dari Aleksandria..........................................................27 3.5 ARCHIMEDES KARYA JENIUS DUNIA KUNO...............................................36 BAB III PENUTUP.........................................................................................................51 A. KESIMPULAN.......................................................................................................51 B. SARAN...................................................................................................................51 DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................52



ii



BAB I PENDAHULUAN Sejarah matematika dimulai sejak 3.000 tahun sebelum masehi dalam wilayah kebudayaan besar di dunia seperti Mesir, Babilonia, Yunani, Romawi, India, Persia, dan Cina. Matematika yunani ditulis diantara tahun 600 SM sampai 300 SM. Matematikawan yunani tinggal di kota-kota yang tersebar di sekitaran laut tengah bagian timur, mulai dari Italia hingga ke Afrika Utara, namun dipersatukan oleh budaya dan bahasa yunani. Matematika yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut matematika helenistik. Kata “matematika” itu sendiri diturunkan dari kata yunani kuno “mathema”, yang artinya “pelajaran tentang instruksi”. Matematika yunani lebih berbobot dari pada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahuluannya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Dalam perkembangannya matematika yunani melahirkan banyak sekali matematikawan yang sangat berjasa dalam dunia matematika hingga saat ini. Salah satunya adalah Eculid, ahli ilmu ukur yunani yang besar. Hampir tidak ada yang mengetahui secara pasti apakah Eculid seorang matematikawan kreatif atau sekedar pandai mengumpulkan dan mengedit pekerjaan orang lain. Seorang penulis Arab Al-Qifli (1248), mencatat bahwa ayah Eculid adalah Naucrates dan kakeknya adalah Zenarchus, bahwa ia adalah seorang Yunani, lahir di Tirus dan tinggal di Damaskus. Kemungkinan ia mengikuti akademik Plato di Athena, menerima matematika dari siswa Plato, dan kemudian datang ke Alexandria. Ada beberapa bukti bahwa Euclid juga mendirikan sekolah dan mengajar murid-murid ketika ia berada di Alexandria. Euclid terkenal sebagai “Bapak Geometri”, matematikawan kuno yang menghasilkan karya monumental. Karya tersebuat adalah The Elements, buku itu menjadi karya manusia terkenal dan akan selalu digunakan sepanjang masa. Sekarang The Elements termuat di dalam buku teks sekolah yang berkaitan dengan geometri dan teori bilangan. Kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada textbooknya yang hebat mengenai ilmu ukur bernama “The Elements”. Buku itu terdiri dari 13 bagian buku. Arti penting buku “The Elements” tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Sebagian besar teorema muncul dalam The Element tidak ditemukan oleh Euclid sendiri, tetapi merupakan hasil karya matematikawan sebelumnya Yunani seperti phytagoras, Hippocrates Chios, Theaetetus Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Namun, Euclid biasanya terkenal dengan pengaturan teorema secara logis, sehingga dapat menunjukkan bahwa mereka harus mengikuti dari lima aksioma sederhana. Euclid terkenal dengan rancangan sejumlah bukti cerdik terutama teorema sebelumnya ditemukan misalnya, Teorema 48 pada buku 1, untuk mengetahui secara terperinci tentang matematikawan Euclid, akan dijelaskan dan dipaparkan dalam pembahasan makalah ini.



1



BAB II PEMBAHASAN 3.1 EUCLID DAN ELEMENT Pusat pembelajaran museum Menjelang akhir abad keempat, pemandangannya aktivitas matematika bergeser dari Yunani ke Mesir. Pertempuran Chaeronea, dimenangkan oleh Philip dari Makedonia di 338 SM, melihat kepunahan kebebasan Yunani juga sebagai pembusukan jenius produktif di tanah asalnya.Bertahun-tahun kemudian, Philip dibunuh oleh seorang bangsawan yang tidak puas dan digantikan oleh putranya yang berusia 20 tahun, Alexander Agung. Alexander menaklukkan sebagian besar dunia yang dikenal dalam waktu 12 tahun, dari 334 SM. sampai kematiannya pada tahun 323 SM, pada usia 33 tahun. Karena pasukannya sebagian besar adalah orang Yunani, dia menyebarkan budaya Yunani bagian yang luas dari Timur Dekat. Yang terjadi selanjutnya adalah babak baru dalam sejarah, yang dikenal sebagai Zaman Helenistik (atau mirip Yunani), yang berlangsung selama tiga abad, hingga zaman Romawi Kekaisaran didirikan. Monumen besar Alexander di Mesir adalah kota yang masih menyandang namanya, Alexandria. Setelah merebut dan menghancurkan pelabuhan Fenisia dalam pawai kemenangan Mediterania Timur, Alexander dengan cepat melihat potensi maritim baru kota (semacam Tirus Makedonia) di dekat muara paling barat Sungai Nil. Tapi dia bisa melakukan sedikit lebih dari lay out situs, karena dia berangkat untuk penaklukan Persia segera kemudian. Cerita yang biasa adalah bahwa Alexander, tanpa kapur untuk menandai jalanan, menggunakan jelai dari komisaris sebagai gantinya. Ini sepertinya ide yang bagus sampai awan burung tiba dari delta dan memakan biji-bijian secepat dilemparkan. Terganggu bahwa ini mungkin pertanda buruk, Alexander berkonsultasi dengan seorang peramal, yang menyimpulkan bahwa para dewa sebenarnya menunjukkan bahwa kota baru itu akan makmur dan memberikan kekayaan yang melimpah. Saat kematian Alexander, salah satu jenderal utamanya, Ptolemy, menjadi gubernur Mesir dan menyelesaikan fondasi Aleksandria. Kota ini memiliki keuntungan yang luar biasa fasilitas pelabuhan dan dok untuk 1200 kapal, sehingga menjadi penundaan sesingkat mungkin pusat perdagangan dunia, titik persimpangan komersial Asia, Afrika, dan Eropa. Aleksandria segera mengungguli dan mengalahkan Athena, yang direduksi menjadi status an kota provinsi yang miskin. Selama hampir seribu tahun, itu adalah pusat Helenistik budaya, tumbuh di tahun-tahun terakhir dinasti Ptolemeus menjadi kota besar berpenduduk satu juta rakyat. Menyusul pemecatannya oleh orang Arab pada tahun 641 M, pembangunan Kairo pada tahun 969, dan ditemukannya jalur pelayaran di sekitar Tanjung Harapan, Aleksandria lalu pergi, dan pada saat ekspedisi Napoleon, populasinya telah menyusut menjadi tinggal sedikit 4000.



2



3



Ptolemeus awal mengabdikan diri untuk menjadikan Aleksandria sebagai pusat kehidupan intelektual untuk seluruh wilayah Mediterania timur. Di sini mereka membangun pusat besar belajar di apa yang disebut Museum (kursi Muses), cikal bakal universitas modern. Para cendekiawan terkemuka pada masa itu—ilmuwan, penyair, seniman, dan penulis datang Aleksandria atas undangan khusus dari Ptolemeus, yang menawari mereka keramahtamahan selama itu karena mereka ingin tinggal. Di Museum, mereka memiliki waktu luang untuk melanjutkan studi, akses ke perpustakaan sarang, dan kesempatan untuk mendiskusikan masalah dengan spesialis penghuni lainnya. Selain bebas makan dan pembebasan pajak, para anggota diberikan gaji tunjangan, satu-satunya permintaan adalah agar mereka memberikan kuliah reguler sebagai imbalan. Orang-orang ini Museum hidup atas biaya raja dalam kondisi mewah, dengan ruang kuliah untuk diskusi mereka, jalan bertiang untuk berjalan-jalan, dan ruang makan yang luas, tempat mereka makan bersama. Penyair Theocritus, menikmati karunia itu, memuji Ptolemeus sebagai "pembayar gaji terbaik yang bisa dimiliki orang bebas". Dan orang bijak lainnya, Ctesibius dari Chalcis, ketika ditanya apa yang dia peroleh dari filsafat, dengan jujur menjawab, "Makan malam gratis”. Dibangun sebagai monumen kemegahan Ptolemeus, Museum ini tetap menjadi tonggak sejarah sains, belum lagi perlindungan kerajaan. Itu dimaksudkan sebagai institusi untuk penelitian dan pengejaran pembelajaran, bukan untuk pendidikan; dan untuk dua abad sarjana dan ilmuwan terkunci ke Mesir. Pada puncaknya, pusat ini pasti punya beberapa ratus spesialis, yang kehadirannya kemudian menarik minat banyak siswa mengembangkan bakat mereka sendiri. Meskipun seorang penyair pada masa itu dengan hina merujuk pada Museum sebagai sangkar burung tempat para sarjana menggemukkan diri sambil melakukan hal-hal sepele argumentasi, sains dan matematika berkembang dengan sukses luar biasa. Memang, itu sering diamati bahwa dalam sejarah matematika hanya ada satu rentang lainnya sekitar 200 tahun yang dapat dibandingkan produktivitasnya dengan periode 300-100 SM, yaitu periode dari Kepler sampai Gauss (1600–1850). Para sarjana tidak dapat bergaul tanpa buku, sebuah bangunan diperlukan untuk menampung mereka. Didirikan hampir bersamaan dengan Museum dan bersebelahan dengannya perpustakaan besar Aleksandria, menampung koleksi karya Yunani terbesar yang ada. Tentu saja ada perpustakaan sebelumnya, tetapi tidak ada yang memiliki sumber daya itu milik Ptolemeus. Naskah secara resmi dicari di seluruh dunia, dan akuisisi mereka ditekan dengan keras oleh agen yang ditugaskan untuk meminjam karya lama untuk disalin jika tidak dapat diperoleh dengan cara lain; pelancong ke Aleksandria diwajibkan menyerahkan buku-buku yang belum ada di perpustakaan. Banyak cerita diberitahu tentang metode angkuh yang digunakan untuk memperoleh manuskrip yang tak ternilai harganya. Salah satu legenda mengatakan bahwa Ptolemeus III meminjam dari Athena gulungan yang disimpan oleh negara yang berisi teks resmi dari penulis Aeschylus, Sophocles, dan Euripides. Meskipun dia harus melakukan deposit sebagai jaminan bahwa volume yang berharga akan dikembalikan, Ptolemy menyimpan gulungan asli dan mengirimkan kembali salinannya (tentu saja, dia kehilangan menyetorkan). Staf juru tulis terlatih membuat katalog buku, mengedit teks yang tidak dalam kondisi baik, dan menjelaskan karya-karya masa lalu yang tidak mudah dipahami oleh generasi baru Yunani.



4



Perpustakaan Aleksandria tidak sepenuhnya tanpa saingan di dunia kuno. Yang paling saingan utamanya ada di Pergamon, sebuah kota di barat Asia Kecil. Untuk mencegah Pergamon dari memperoleh salinan harta sastra mereka, Ptolemeus yang cemburu, konon, melarang ekspor papirus dari Mesir. Penulis awal ceroboh dengan angka dan sering melebih-lebihkan ukuran perpustakaan. Beberapa akun berbicara tentang koleksi utama di perpustakaan telah berkembang menjadi 300.000 atau bahkan 500.000 gulungan pada masa Caesar (48 SM), dengan tambahan 200.000 ditempatkan di paviliun yang disebut Serapeum. Koleksi telah dibangun sebagian dengan pembelian perpustakaan pribadi, salah satunya, menurut tradisi, adalah milik Aristoteles. Setelah kematian Aristoteles, surat-surat pribadinya diteruskan tangan seorang kolektor yang takut akan disita untuk perpustakaan di Pergamon, sembunyikan semua manuskrip di sebuah gua. Gulungan itu rusak parah oleh serangga dan kelembapan, dan penyalin Aleksandria membuat begitu banyak kesalahan saat memulihkan teks bahwa mereka tidak lagi setuju dengan versi karya Aristoteles yang sudah ada di perpustakaan. Kehidupan dan Tulisan Euclid Sebelum Museum dilupakan pada tahun 641 M, itu menghasilkan banyak orang terkenal sarjana yang menentukan kursus matematika selama berabad-abad Euclid, Archimedes, Eratosthenes, Apollonius, Pappus, Claudius Ptolemy, dan Diophantus. Dari ini, Euclid (sekitar 300 SM) berada di kelas khusus. Anak cucu telah mengenalnya sebagai penulis Elements of Geometry, risalah Yunani tertua tentang matematika yang sampai kepada kita secara keseluruhan. Elemen adalah kompilasi dari fakta-fakta matematika yang paling penting tersedia pada waktu itu, disusun menjadi 13 bagian, atau buku, demikian sebutannya. (Sistematis eksposisi geometri telah muncul di Yunani sejak abad ke-5 SM, tetapi tidak ada yang dipertahankan, karena alasan yang jelas bahwa semuanya digantikan oleh Euclid Elemen.) Meskipun banyak materi diambil dari sumber sebelumnya, yang luar biasa pengaturan logis dari teorema dan pengembangan bukti menampilkan kejeniusan dari penulis. Euclid menyatukan kumpulan penemuan terisolasi menjadi satu deduktif sistem berdasarkan seperangkat postulat awal, definisi, dan aksioma. Hanya sedikit buku yang lebih penting bagi pemikiran dan pendidikan Barat dunia daripada Elemen Euclid. Hampir tidak ada buku lain selain Alkitab yang lebih dari itu banyak beredar atau dipelajari selama 20 abad, enam buku pertama adalah buku biasa bagi siswa pengantar geometri. Lebih dari seribu edisi Elemen telah muncul sejak itu versi cetak pertama pada tahun 1482; dan sebelum itu, salinan manuskrip mendominasi sebagian besar pengajaran matematika di Eropa. Sayangnya, tidak ada salinan karya tersebut menemukan bahwa sebenarnya berasal dari waktu Euclid sendiri. Sampai tahun 1800-an, sebagian besar bahasa Latin dan edisi bahasa Inggris pada akhirnya didasarkan pada revisi bahasa Yunani yang disiapkan oleh Theon of Alexandria (sekitar tahun 365) sekitar 700 tahun setelah karya aslinya ditulis. Meskipun ketenaran Euclid, baik di zaman kuno maupun di zaman modern, hampir tidak ada secara eksklusif pada Elemen, dia adalah penulis dari setidaknya 10 karya lain yang mencakup a berbagai macam topik. Teks Yunani dari Data-nya, kumpulan 95 latihan yang mungkin ditujukan untuk siswa yang telah menyelesaikan



5



Elemen, adalah satu-satunya teks lain oleh Euclid pada geometri murni bertahan. Sebuah risalah, Conic Sections, yang terbentuk dasar dari empat buku pertama karya Apollonius tentang subjek yang sama telah hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi, begitu juga karya tiga jilid yang disebut Porisme (istilah porisma dalam matematika Yunani berarti "akibat wajar"). Yang terakhir adalah kerugian yang paling menyedihkan, karena tampaknya itu adalah buku tentang geometri tingkat lanjut, mungkin padanan kuno untuk analitik geometri. Seperti ahli matematika hebat lainnya di Yunani kuno, pengetahuan kita sangat sedikit tentang kehidupan pribadi Euclid. Bahwa Euclid mendirikan sekolah dan mengajar di Alexandria pasti, tetapi tidak ada lagi yang diketahui selain itu, kata komentator Proclus kepada kami, dia hidup pada masa pemerintahan Ptolemeus I. Ini menunjukkan bahwa dia aktif di paruh pertama abad ketiga SM. Mungkin dia menerima matematikanya sendiri pelatihan di Athena dari murid-murid Plato. Dua anekdot yang menyoroti kepribadian pria itu telah turun ke kita. Proclus, yang menulis komentar ke Elements, menceritakan bahwa Raja Ptolemeus pernah bertanya kepadanya apakah tidak ada cara yang lebih singkat mempelajari geometri daripada melalui Elemen, yang dia jawab bahwa “tidak ada kerajaan jalan menuju geometri”—menyiratkan bahwa matematika tidak membedakan orang. Itu cerita lain menyangkut seorang pemuda yang mulai belajar geometri dengan Euclid dan bertanya setelahnya melalui teorema pertama, "Tapi apa yang akan saya dapatkan dengan mempelajari hal-hal ini?" Setelah bersikeras bahwa pengetahuan layak diperoleh demi dirinya sendiri, Euclid memanggil pelayannya dan berkata, “Berikan orang ini koin, karena dia harus mendapat untung dari apa yang dia pelajari.” Teguran itu mungkin diadaptasi dari pepatah persaudaraan Pythagoras itu diterjemahkan secara kasar sebagai, "Diagram dan langkah (dalam pengetahuan), bukan diagram dan koin."



3.2 GEOMETRI EUCLID Yayasan Euclid untuk Geometri Selama lebih dari dua ribu tahun Euclid telah menjadi juru bicara terhormat geometri Yunani, ciptaan pikiran Yunani yang paling indah. Sejak masanya, studi tentang Elemen, atau bagiannya, sangat penting untuk pendidikan liberal. Generasi demi generasi menganggap pekerjaan ini sebagai puncak dan mahkota logika, dan kajiannya sebagai yang terbaik cara mengembangkan fasilitas dalam penalaran eksak. Abraham Lincoln pada usia 40 tahun, sementara masih seorang pengacara yang sedang berjuang, menguasai enam buku pertama Euclid, semata-mata sebagai pelatihan untuk pikirannya. Hanya dalam seratus tahun terakhir Elemen mulai digantikan oleh buku teks modern, yang berbeda darinya dalam urutan logis, bukti proposisi, dan aplikasi, tetapi sedikit dalam konten sebenarnya. (Perbaikan pedagogis nyata pertama adalah oleh Adrien-Marie Legendre, yang dalam El'ements de G'eom'etrie-nya yang populer, disusun ulang dan menyederhanakan proposisi Euclid. Bukunya mulai dari edisi awal tahun 1794 hingga kedua belas pada tahun 1823.) Namun demikian, karya Euclid sebagian besar tetap menjadi model tertinggi dari buku matematika murni. Siapa pun yang akrab dengan proses intelektual menyadari bahwa isi Elemen tidak bisa menjadi upaya individu tunggal. Sayangnya, prestasi Euclid memiliki begitu redupnya pandangan kita terhadap orang-orang yang mendahuluinya sehingga tidak mungkin untuk mengatakan seberapa jauh dia maju melampaui pekerjaan persiapan



6



mereka. Sedikit, jika ada, dari teorema yang ditetapkan di Elemen adalah penemuannya sendiri. Kehebatan Euclid tidak terletak pada kontribusi materi asli seperti dalam keterampilan sempurna yang dia atur kumpulan besar fakta independen ke dalam perlakuan definitif geometri Yunani dan teori bilangan. Pilihan khusus aksioma, susunan proposisi, dan kerasnya demonstrasi adalah miliknya sendiri. Satu hasil mengikuti yang lain urutan logis yang ketat, dengan asumsi minimum dan sangat sedikit yang berlebihan. Begitu besarnya prestise Elemen di dunia kuno sehingga penulisnya jarang disebut dengan nama melainkan dengan judul "The Writer of the Elements" atau kadang-kadang cukup "Geometer". Euclid sadar bahwa untuk menghindari sirkularitas dan memberikan titik awal, fakta tertentu tentang sifat subjek harus diasumsikan tanpa bukti. Pernyataan asumsi ini, dari mana semua yang lain harus disimpulkan sebagai konsekuensi logis, disebut "aksioma" atau "postulat." Dalam penggunaan tradisional, dalil dipandang sebagai "kebenaran yang terbukti dengan sendirinya"; pandangan saat ini, lebih skeptis adalah bahwa postulat adalah pernyataan sewenang-wenang, dirumuskan secara abstrak tanpa menarik "kebenaran" mereka tetapi diterima tanpa pembenaran lebih lanjut - kation sebagai landasan penalaran. Mereka dalam arti tertentu adalah "aturan main". di mana semua deduksi dapat dilanjutkan—fondasi di mana seluruh tubuh teorema beristirahat. Euclid mencoba membangun seluruh bangunan pengetahuan geometris Yunani, dengan mengumpulkannya sejak zaman Thales, pada lima postulat tentang sifat geometris khusus dan lima aksioma yang dimaksudkan untuk berlaku untuk semua matematika; yang terakhir dia sebut gagasan umum. (Tiga dalil pertama adalah dalil konstruksi, yang menegaskan apa yang kita diizinkan untuk menggambar.) Dia kemudian menyimpulkan dari 10 asumsi ini rantai logis 465 proposisi, menggunakannya seperti batu loncatan dalam prosesi teratur dari satu terbukti proposisi lain. Keajaibannya adalah begitu banyak yang bisa diperoleh dari itu beberapa aksioma yang dipilih dengan bijak. Tiba-tiba dan tanpa komentar pengantar, buku pertama Elemen terbuka dengan daftar 23 definisi. Ini termasuk, misalnya, apa maksudnya (“apa yang memiliki tidak ada bagian”) dan apa itu garis (“tanpa keluasan”). Daftar definisi menyimpulkan: “Garis sejajar adalah garis lurus yang berada pada bidang yang sama dan dihasilkan tak terbatas di kedua arah, tidak bertemu satu sama lain di kedua arah.” Ini akan tidak diambil sebagai definisi dalam arti kata modern melainkan sebagai deskripsi naif pengertian yang digunakan dalam wacana. Meskipun tidak jelas dan tidak membantu dalam beberapa hal, namun mereka cukup untuk membuat gambar intuitif tertentu. Beberapa istilah teknis itu digunakan, seperti keliling lingkaran, tidak didefinisikan sama sekali, sedangkan istilah lain, seperti belah ketupat, termasuk di antara definisi tetapi tidak digunakan dalam pekerjaan. Dia penasaran bahwa Euclid, setelah mendefinisikan garis paralel, tidak memberikan definisi formal genjang. Euclid kemudian mengemukakan 10 prinsip penalaran yang menjadi bukti dalam Elemen didasarkan, memperkenalkannya dengan cara berikut: Postulat Biarkan yang berikut ini dipostulatkan: 1. Garis lurus dapat ditarik dari titik mana pun ke titik lainnya. 2. Garis lurus nite dapat diproduksi terus menerus dalam satu garis. 3. Sebuah lingkaran dapat dijelaskan dengan pusat dan jarak berapa pun. 4. Semua sudut siku-siku sama satu sama lain. 5. Jika sebuah garis lurus jatuh pada dua garis lurus membuat sudut bagian dalamnya sama sisi kurang dari dua sudut siku-siku, maka dua garis lurus, jika diproduksi secara tak terbatas bertemu di sisi yang sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku. Gagasan Umum 1. Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu sama lain. 2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sesuatu yang sama, hasilnya sama. 3. Jika sesuatu yang sama dikurangi dari sesuatu yang sama, sisanya sama.



7



4. Hal-hal yang bertepatan satu sama lain sama satu sama lain. 5. Keseluruhan lebih besar daripada sebagian. Postulat 5, lebih dikenal sebagai postulat paralel Euclid, telah menjadi salah satu yang paling banyak pernyataan terkenal dan kontroversial dalam sejarah matematika. Ini menegaskan bahwa jika dua baris l dan saya 0 dipotong oleh transversal t sehingga sudut a dan b berjumlah kurang dari dua siku-siku sudut, lalu l dan l0 akan bertemu di sisi t tempat sudut-sudut ini terletak. Yang luar biasa Fitur dari postulat ini adalah bahwa ia membuat pernyataan positif tentang keseluruhan garis lurus, wilayah yang kita tidak memiliki pengalaman dan berada di luar jangkauan pengamatan yang mungkin.



Para ahli geometri yang terganggu oleh postulat paralel tidak mempersoalkan hal itu isinya adalah fakta matematika. Mereka hanya mempertanyakan bahwa itu tidak singkat, sederhana, dan terbukti dengan sendirinya, seperti yang seharusnya menjadi postulat; kompleksitasnya menunjukkan hal itu harus teorema bukan asumsi. Postulat paralel sebenarnya adalah kebalikan dari Euclid's Proposition 27, Buku I, pemikiran itu berjalan, jadi itu harus bisa dibuktikan. Dianggap tidak mungkin pernyataan geometris tidak dapat dibuktikan jika kebalikannya dapat dibuktikan. Bahkan ada beberapa anggapan bahwa Euclid tidak sepenuhnya puas postulat kelimanya dia menunda penerapannya sampai dia tidak bisa maju lebih jauh tanpa itu, meskipun penggunaannya sebelumnya akan menyederhanakan beberapa bukti. matematikawan telah mencoba untuk menurunkan postulat paralel dari empat yang pertama mendalilkan, percaya bahwa aksioma lain ini cukup untuk pengembangan yang lengkap geometri Euclidean. Semua upaya untuk mengubah status pernyataan terkenal dari "postulat" menjadi "teorema" berakhir dengan kegagalan, karena setiap upaya bertumpu pada beberapa asumsi tersembunyi yang setara dengan postulat itu sendiri. Sia-sia sejauh yang utama tujuan yang bersangkutan, upaya ini tetap mengarah pada penemuan non-Euclidean geometri, di mana aksioma Euclid kecuali postulat paralel semuanya berlaku dan di mana Teorema Euclid kecuali yang didasarkan pada postulat paralel semuanya benar. Tanda Salah satu kejeniusan matematika Euclid adalah bahwa dia menyadari bahwa tuntutan postulat kelima pernyataan eksplisit sebagai asumsi, tanpa bukti formal. Pengamatan mendetail selama lebih dari 2000 tahun telah mengungkapkan banyak kelemahan dalam perawatan geometri Euclid. Sebagian besar definisinya terbuka untuk kritik atas satu atau lain alasan. Sangat mengherankan bahwa sementara Euclid mengakui perlunya serangkaian pernyataan untuk diasumsikan pada awal wacana, dia gagal menyadari perlunya istilah yang tidak ditentukan.Sebuah definisi, bagaimanapun, hanya memberikan arti sebuah kata dalam arti lain, lebih sederhana kata atau kata-kata yang maknanya sudah jelas. Kata-kata ini pada gilirannya ditentukan dengan kata-kata yang lebih sederhana. Jelas proses definisi dalam sistem logis tidak mungkin terus mundur tanpa akhir. Satu-satunya cara untuk menghindari penyelesaian yang kejam lingkaran adalah membiarkan istilah-istilah tertentu tetap tidak ditentukan.



8



Euclid secara keliru mencoba mendefinisikan seluruh kosakata teknis yang dia gunakan. hal ini membawanya ke beberapa definisi yang aneh dan tidak memuaskan. Kami diberi tahu bukan apa itu titik dan garis melainkan apa yang bukan: “Titik adalah apa tidak memiliki bagian.” "Sebuah garis tidak memiliki lebar." (Jadi, apa itu bagian atau luasnya?) Gagasan tentang "titik" dan "garis" adalah gagasan paling dasar dalam geometri. Mereka dapat dijelaskan dan dijelaskan tetapi tidak dapat secara memuaskan didefinisikan oleh konsep-konsep yang lebih sederhana dari konsep itu sendiri. Harus ada permulaan di suatu tempat dalam sistem mandiri, sehingga harus diterima tanpa definisi yang ketat. Mungkin keberatan terbesar yang diajukan terhadap penulis Elements adalah ketidakcukupan yang menyedihkan dari aksioma-aksiomanya. Dia secara formal mendalilkan beberapa hal, namun dihilangkan penyebutan orang lain yang sama-sama diperlukan untuk pekerjaannya. Selain yang sudah jelas kegagalan untuk menyatakan bahwa titik dan garis ada atau ruas garis yang menghubungkan dua titik adalah unik, Euclid membuat asumsi diam-diam tertentu yang digunakan kemudian dalam deduksi tetapi tidak diberikan oleh postulat dan tidak dapat diturunkan darinya. Cukup banyak bukti Euclid didasarkan pada penalaran dari diagram, dan dia sering disesatkan oleh bukti visual. Ini dicontohkan oleh argumen yang digunakan dalam proposisi pertamanya (lebih merupakan masalah dari teorema). Itu melibatkan konstruksi segitiga sama sisi yang sudah dikenal pada suatu yang diberikan ruas garis sebagai alas. Bukti. Menggunakan Postulat 3, gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat A dan jari-jari AB lewat melalui titik B. Sekarang, dengan pusat B dan jari-jari AB, gambarkan sebuah lingkaran yang lewat melalui A. Dari titik C, di mana dua lingkaran memotong satu sama lain, gambarlah segmen CA dan CB (postulat 1 memungkinkan hal ini), sehingga membentuk segitiga ABC. Dia terlihat bahwa AC = AB dan BC = AB karena jari-jari lingkarannya sama. Itu kemudian mengikuti dari Common Notion 1 bahwa AB = BC = AC, dan segitiga ABC adalah sama sisi.



Hanya ada satu masalah dengan semua ini. Atas dasar intuisi spasial, seseorang merasakan yakin bahwa kedua lingkaran akan berpotongan di titik C dan tidak akan, entah bagaimana, menyelinap melalui satu sama lain. Namun tujuan dari teori aksiomatik justru untuk menyediakan sistem penalaran bebas dari ketergantungan pada intuisi. Seluruh proposisi gagal jika lingkaran yang harus kita buat tidak berpotongan, dan sayangnya tidak ada apa-apa di dalamnya Postulat Euclid yang menjamin bahwa mereka melakukannya. Untuk memperbaiki situasi ini, seseorang harus menambahkan sebuah postulat yang akan menjamin “kesinambungan” garis dan lingkaran. Ahli matematika kemudian memuaskan mengisi kesenjangan dengan berikut: Jika lingkaran atau garis memiliki satu titik di luar dan satu titik di dalam lingkaran lain, maka ada dua titik yang sama dengan lingkaran. Pernyataan dalil belaka melibatkan pengertian "di dalam" dan "di luar". tidak secara eksplisit muncul di Elemen. Jika geometri memenuhi reputasinya untuk logis kesempurnaan, perhatian yang cukup besar harus diberikan pada arti istilah-istilah tersebut dan pada aksioma yang mengatur mereka.



9



Selama 25 tahun terakhir abad kesembilan belas, banyak matematikawan mencoba untuk memberikan pernyataan lengkap tentang postulat yang diperlukan untuk membuktikan semua yang sudah lama dikenal teorema geometri Euclidean. Mereka mencoba, yaitu, untuk memberikan postulat tambahan semacam itu seperti akan memberikan kejelasan dan bentuk pada ide-ide yang dibiarkan intuitif oleh Euclid. Sejauh ini yang paling berpengaruh tentang geometri zaman modern adalah karya orang Jerman yang terkenal matematikawan David Hilbert (1862–1943). Hilbert, yang bekerja di beberapa bidang matematika selama karir yang panjang, diterbitkan pada tahun 1899 karya geometri utamanya, Grundlagender Geometrie (Fondasi Geometri). Di dalamnya ia mengistirahatkan geometri Euclidean pada 21 postulat yang melibatkan enam istilah yang tidak ditentukan yang dengannya kita harus membandingkan ve Euclid postulat dan tidak ada syarat yang tidak ditentukan. BUKU I ELEMENT 48 proposisi dari buku pertama Elements terutama berkaitan dengan sifat-sifat garis lurus, segitiga, dan jajaran genjang—yang sekarang kita sebut geometri bidang dasar. Sebagian besar materi ini akrab bagi setiap siswa yang pernah belajar tradisional kursus sekolah menengah atas bidang datar dan geometri padat. Meskipun kami tidak akan memeriksa semua ini hasil secara rinci, Proposisi 4 adalah salah satu yang patut dicermati. Proposisi ini disebut teorema sisi-sudut-sisi, karena mengandung kriteria kongruensi yang sudah dikenal segitiga, yaitu, dua segitiga kongruen jika dua sisi dan termasuk sudut satu kongruen dengan sisi-sisi yang bersesuaian dan termasuk sudut sisi lainnya. Kami telah menggunakan kata kongruen di mana Euclid berbicara tentang kesetaraan. Ketika dia merujuk pada dua sudut (atau dalam hal ini, dua segmen garis) sebagai "sama," maksudnya mereka dapat dibuat bertepatan. Untuk tujuan kita, aman untuk menganggap objek kongruen memiliki hal yang sama ukuran dan bentuk. Euclid mencoba membuktikan teorema sisi-sudut-sisi dengan mengambil satu segitiga dan melapiskannya pada segitiga lainnya sehingga tersisa bagian dari kedua segitiga tersebut. Argumennya, yang dianggap valid oleh Common Notion 4, berjalan secara substansial sebagai berikut: Diberikan ∆ ABC dan ∆ A' B' C', dimana AB = A' B',