Fis-Mat (Tugas 1 - Kelompok) [PDF]

Citation preview

24/10/2015



Fisika Matematika I Materi Kuliah Seri 1



Jurusan: Met – Klim – Geof, Semester V Dosen: Ibnu Purwana, Drs, M.Sc



Sekolah Tinggi Meteorologi Klimatologi dan Geofisika 2015



Fisika Matematika I



https://store.thinksai.com/images/clipart/Safety%20First/Notice/Horizontal/notiH114%20-%20no%20cellular%20phones.jpg



1



24/10/2015



Apakah Fisika Matematika itu? "For a physicist mathematics is not just a tool by means of which phenomena can be calculated, it is the main source of concepts and principles by means of which new theories can be created." (Mathematics in the Physical Sciences, Scientific American, 211(3), September 1964, pp. 129-146). “Bagi para Ahli Fisika, matematika bukan sekedar alat yang digunakan untuk menghitung fenomena. Matematika adalah sumber utama konsep-konsep dan prinsip-prinsip yang menjadi sarana untuk menciptakan teori-teori baru.”



Apakah Fisika Matematika itu? Fisika Matematika ↔ Mathematical Physics



2



24/10/2015



Apakah Fisika Matematika itu?



Matematika bukan sekedar menyediakan alat bagi Fisika – Ia (matematika) dapat menginspirasi wawasan (baru) Fisika. Ketika Paul Dirac menemukan pernyataan matematis yg cocok utk menjelaskan elektron, dia (lantas) menemukan eksistensi positron.



Apakah Fisika Matematika itu?



(Penjelasan terbaik ttg) Fisika Matematika terdiri atas 2 bag: 1. Riset fisika yg dilajutkan/dikembangkan dg sarana matematika 2. Bagian dari matematika yg digunakan utk memecahkan masalah-masalah yg dihadapi oleh fisika Mathematical Physics: What is it and why do we need it?



3



24/10/2015



Fisika Matematika I (3 SKS Teori) Sasaran: Taruna mampu memahami dan menjelaskan: analisis vektor dalam sistem koordinat ortogonal kartesian, silinder dan bola; fungsi-fungsi khusus serta mampu menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait. Deskripsi Teori: Operator: operator diferensial vektor, del, gradien, divergensi, curl. Aplikasi del, integral vektor, teorema Gauss, teorema Green, teorema Stokes, teorema Helmholtz. Analisis vektor dlm sistem koordinat ortogonal lurus dan lengkung: sistem koordinat kartesian, silinder, dan bola.



Fisika Matematika I (3 SKS Teori) Fungsi-fungsi khusus: fungsi gamma dan beta. Fungsi Bessel dan Legendre dg hubungan rekursif (perulangan), fungsi generator dan ortogonalitasnya. Fungsi Neumann, fungsi Hankel. Aplikasi fungsi-fungsi khusus. Materi kuliah tersebut disampaikan dalam 14 - 16 kali acara tatap muka perkuliahan dan diatur penyampaiannya dalam SAP (Satuan Acara Perkuliahan).



SAP Fisika Matematika I (3 SKS Teori)



4



24/10/2015



Bahan Pustaka Fisika Matematika I Boas, M. L., 2005, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd edition, Wiley International, New York.



Arfken, G. B. and H. J. Weber, 2005, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier, Amsterdam.



Kreyszig, E., 2011, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, John Wiley & son, Damster, Massachusetts.



Bahan Pustaka Fisika Matematika I



Spiegel, M. R., 2009, Vector Analysis, Second edition, McGraw Hill, New York.



Spiegel, M. R., 2005, Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, 6th edition, McGraw Hill, New York.



5



24/10/2015



Skalar dan Vektor Skalar : suatu kuantitas yg sifatnya cukup dinyatakan dg besaran (magnitudo). Medan skalar : suatu fungsi posisi yg sifatnya cukup dinyatakan dg besaran pd semua titik dlm ruang. Jika setiap titik (x, y, z) di wilayah R memiliki hubungan dg skalar ϕ mk dikatakan ϕ adalah fungsi skalar atau medan skalar dari (x, y, z) dan ditulis sbg ϕ(x, y, z). 1. Suhu di setiap titik pd permukaan bumi pd saat tertentu adalah suatu medan skalar. 2. ϕ(x, y, z) = x3y – z2 adalah suatu medan skalar.



Skalar dan Vektor Vektor : suatu kuantitas yg sifatnya harus dinyatakan dg besaran (magnitudo) dan arah. Medan vektor : suatu fungsi posisi yg sifatnya harus dinyatakan dg besaran dan arah pd semua titik dlm ruang. Jika setiap titik (x, y, z) di wilayah R memiliki hubungan dg vektor 𝐹 mk dikatakan 𝐹 adalah fungsi vektor atau medan vektor dari (x, y, z) dan ditulis sbg 𝐹 (x, y, z). 1. Kecepatan angin di sembarang titik (x, y, z) di permukaan bumi pd saat tertentu adalah suatu medan vektor.



2. 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 2 𝑖 − 2𝑦𝑧 3 𝑗 + 𝑥 2 𝑧 𝑘 adalah suatu medan vektor.



6



24/10/2015



Penjumlahan Vektor Secara Grafis C=A+B



C  A B



C B A



A+B=B+A=C



A



A B  B  A C



C



B



B



A



13



Penjumlahan Vektor Secara Grafis C=A+B



C  A B



C B A D



-B D=A-B



D  A B 14



7



24/10/2015



Penjumlahan Vektor Secara Grafis A C



B



B



A+B=B+A=C



A B  B  A C



A



-B



-B



D A



D=A-B



D  A B 15



Penjumlahan Vektor dr Komponen2nya y A



Ay θ x



Ax



Ax  A cos ,



Ay  A sin 



A  A  Ax  Ay 2



2 16



8



24/10/2015



Penjumlahan Vektor dr Komponen2nya y



Bx By Ax Ay



A



C=A+B



B Cx = Ax + Bx Cy



C



Cy = Ay + By



Cx x 17



Vektor Satuan dan Perkalian Skalar Sebuah vektor A dpt dikalikan dg skalar s. Hasilnya adalah vektor B = s.A, yg menunjuk ke arah A dan memiliki besar s.A. Dimensi B adalah dimensi s dikalikan dg dimensi A. Suatu vektor dpt ditulis secara mudah dg memanfaatkan vektor satuan.  Vektor satuan adalah vektor yg tidak berdimensi yg didefinisikan memiliki besaran 1 dan menunjuk ke suatu arah tertentu. Contoh: i, j dan k adalah vektor satuan pd arah sb x, y dan z. Maka vektor A dpt dinyatakan sbg:



    A  Ax i  Ay j  Az k



A  Ax  Ay  Az 2



2



2



18



9



24/10/2015



Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor A dan B dpt ditulis sbg:











  A  B  Ax i  Ay j  Az k  Bx i  By j  Bz k  A  B   Ax  Bx i  Ay  By j   Az  Bz  k







z







z Az k



k



A



j







y



i



Ay j



x



 i  xˆ  j  yˆ  k  zˆ y



Ax i x



19



Penjumlahan Vektor Hukum2 penjumlahan dan pengurangan vektor:



A  B  B  A  komutatif







 







A  B  C  A  B  C  asosiatif A B C



jika dan hanya jika B  C  A



A0  A  A A  0



20



10



24/10/2015



Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Jika arah vektor A dan vektor B membentuk sudut ϑ, maka perkalian titik (dot product) vektor A dan B ditulis sbg A∙B atau A  B didefinisikan sbg:



A  B  A  B cos



ϑ



→ hasilnya skalar



A



𝐵 cos 𝜙 21



Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Berdasarkan definisi vektor satuan, maka:



  i i  j  j  k k 1



  i  j  j k  k i  0



𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘



A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz



22



11



24/10/2015



Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Hukum2 perkalian-titik vektor:



A  B  B  A  komutatif



A  B C  A  C  B  C  distributif A  s B  s A B  s A  B  s  skalar A  A  A2



23



Interpretasi Fisis Perkalian Titik



Kerja: Utk gaya konstan  Kerja = komponen gaya pd arah perpindahan dikalikan perpindahan. 𝑊 = 𝐹 cos 𝜃 ∙ 𝑑 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃 = 𝐹 ∙ 𝑑



12



24/10/2015



Interpretasi Fisis Perkalian Titik



Kerja: Jika gaya bervariasi dan arah lintasannya juga bervariasi (thd waktu), mk utk perpindahan yg sangat kecil 𝑑 𝑟, diperlukan elemen kerja 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟



Perkalian Silang (Cross Product) Vektor Jika arah vektor A dan vektor B membentuk sudut θ, maka perkalian silang (cross product) vektor A dan B ditulis sbg A × B = C atau A  B  C . Vektor C didefinisikan sbg vektor yg tegak lurus thd vektor A dan B. Arah vektor C ditentukan dg “aturan tangan kanan” dan besarnya dinyatakan sbg:



C  A B sin 



26



13



24/10/2015



Perkalian Silang (Cross Product) Vektor Berdasarkan definisi vektor satuan, maka:



i  i  0,



j  j  0, k  k  0



i  j  k,



j  k  i, k  i  j



j  i  k , k  j  i, i  k   j Secara umum:



i A  B  Ax Bx



j Ay By



k Az Bz



Determinan orde-3 27



Perkalian Silang (Cross Product) Vektor     Ay C  A B  i By



 A j x Bz Bx Az



 Ax k Bx Bz Az



Ay By



   A  B  Ay Bz  Az By i   Ax Bz  Az Bx  j  Ax By  Ay Bx k    A  B  Ay Bz  Az By i   Az Bx  Ax Bz  j  Ax By  Ay Bx k  Cx  Ay Bz  Az By  C y  Az Bx  Ax Bz



 Cz  Ax By  Ay Bx 28



14



24/10/2015



Perkalian Silang (Cross Product) Vektor Hukum2 perkalian-silang vektor:











A B   B  A



 antikomutatif



  A  s B   s A B  s A  B 



A  B  C  A  B  A  C  distributi f  s  skalar



A A  0 Catatan: Nilai perkalian silang begantung pd urutan perkaliannya. 29



Interpretasi Fisis Perkalian Silang



Torsi (Momen): Torsi gaya 𝐹 thd ttk O didefinisikan sbg perkalian ant gaya 𝐹 dg jarak dari O ke garis kerja gaya 𝐹. Dlm bentuk vektor: 𝜏 =𝑟×𝐹 𝑟 = vektor penghubung dari O ke pangkal vektor 𝐹



15



24/10/2015



Interpretasi Fisis Perkalian Silang Kecepatan Sudut vs Kecepatan Linier: Vektor 𝜔 digunakan utk menyatakan kecepatan sudut benda yg berputar. Arah vektor tsb ditentukan dg aturan tangan kanan. Jika P adalah sebuah titik pd benda yg berputar tsb, maka kecepatan linier P yaitu 𝑣 dpt dirumuskan dlm persm vektor: 𝑣 =𝜔×𝑟 𝑟 = vektor posisi titik O



Pembagian Vektor Pembagian sebuah vektor oleh sebuah skalar didefinisikan sbg perkalian antara kebalikan skalar tsb dg vektor ybs.



 1  Ac   A c Pembagian sebuah vektor oleh sebuah vektor lain, hanya dapat dilakukan apabila kedua vektor tsb sejajar.



 B  c  A



    B // A, B  c  A



16



24/10/2015



Pembagian Skalar oleh Vektor Dimungkinkan utk menulis solusi umum thd persamaan vektor shg spt melakukan pembagian skalar oleh vektor.



  c  A X



c = skalar yg diketahui, A = vektor yg diketahui, X = vektor yg tidak diketahui (akan dihitung) . Maka solusi umumnya dalah:



  cA  X    B A A



 Solusinya tidak unique



𝐵 = vektor dg besaran sembarang, tetapi arahnya tegak lurus 𝐴  𝐴 ∙ 𝐵 = 0.



Pembagian Vektor oleh Vektor Dg cara yg serupa, dimungkinkan utk menulis solusi umum thd persamaan vektor shg spt melakukan pembagian silang vektor oleh vektor.



   C  A X



𝐴 dan 𝐶 = vektor yg diketahui, 𝑋 = vektor yg tidak diketahui (akan dihitung) . Maka solusi umumnya dalah:



    C A X     k A  Solusinya tidak unique A A



k = sembarang skalar.



17



24/10/2015



Perkalian Skalar Tripel (Triple Scalar Product) Perkalian skalar tripel dari 3 buah vektor didefinisikan:



      D  A  B  C  A B  C



Ax    D  A  B  C  Bx Cx



Ay By Cy



Az    Bz   B  A  C Cz



A



C



B



Hasil perkalian tsb tidak berubah harganya jika dot dan cross dipertukarkan atau jika dilakukan permutasi siklis diantara ketiga vektor tsb.  Penulisannya tidak perlu ( ) krn perkalian silang skalar dg vektor tidak terdefinisi.



Interpretasi Geometri Perkalian Skalar Tripel Perkalian Skalar Tripel 𝐴, 𝐵, 𝐶  volume prisma (Spiegel, 2009)



Volume prisma yg dibentuk oleh vektor 𝐴, 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐶 adalah: Vol. prisma  tinggi h luas jajaran genjang           An BC  A BC n      A  B  C  n  vektor satuan  alas    Jika vol. prisma  0  vektor A, B dan C sebidang       A  B  C  0  vektor A, B dan C sebidang



 















18



24/10/2015



Perkalian Vektor Tripel (Triple Vector Product) Perkalian vektor tripel dari 3 buah vektor didefinisikan:           D  A B  C  B A C  C A B







 



 







 Sering disebut sbg “aturan taksi belakang” atau “back cab rule” sbg pengingat utk “BAC Kurang CAB”  Dlm perkalian vektor tripel, tanda kurung ( ) wajib dicantumkan, tanpa ( ) perkaliannya tidak terdefinisi.



Aplikasi Perkalian Vektor Tripel  Pd gambar di samping ini, partikel m berputar pd cakram padat dg kecepatan angular (kecepatan sudut) 𝜔.  Momentum sudut Partikel m thd O: 𝐿=𝑟× 𝑚𝑣  Karena 𝑣 = 𝜔 × 𝑟, maka: 𝐿=𝑟× 𝑚𝜔 × 𝑟 𝐿=𝑚𝑟× 𝜔 × 𝑟  𝑟 = vektor posisi partikel m



19



24/10/2015



Latihan_1 (Tugas Kelompok) 1. Vektor dari titik asal O ke titik A, B, C, dan D adalah: 𝐴 = i + j + k, 𝐵 = 2i + 3j, 𝐶 = 3i + 5j – 2k, 𝐷 = k – j. Tunjukkan bhw AB // CD dan tentukan perbandingan panjangnya. 2. Vektor 𝐴 = 2i – j + k, 𝐵 = i – 3j – 5k, 𝐶 = 3i – 4j – 4k. Buktikan bhw ketiga vektor tsb membentuk sisi-sisi segitiga siku-siku. 3. Diketahui vektor 𝐴 = 4i + 3 j – 2k, dan vektor 𝐵 = 2i – 3j + 4k. (a) Hitunglah |𝐴|, |𝐵|, 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 – 𝐵, 𝐴∙𝐵, 𝐴×𝐵, (b) Berapa besar sudut ant vektor 𝐴 dan 𝐵?



Latihan_1 (Tugas Kelompok) 4. Jika 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah vektor-vektor dari titik asal O ke titik-titik A, B dan C, buktikan bahwa: vektor {(𝐴×𝐵) + (𝐵×𝐶) + (𝐶×𝐴)} tegak lurus thd bidang ABC.



5. Jika vektor 𝐴 = 𝒊 cos α + j sin α dan 𝐵 = i cos β + j sin β (a) Buktikan bahwa 𝐴 dan 𝐵 adalah vektor satuan pada bidang-xy yg membentuk sudut α dan β terhadap sumbu x. (b) Dengan menggunakan perkalian skalar, carilah rumus untuk cos(α - β).



40



20



24/10/2015



Latihan_1 (Tugas Kelompok) 6. Dg aturan BACK CAB, sederhanakan : 𝐴∙𝐵



2



−



𝐴∙𝐵 ×𝐵 ∙𝐴



7. Buktikan identitas Lagrange: 𝐴×𝐵 ∙ 𝐶×𝐷 = 𝐴∙𝐶 𝐵∙𝐷 − 𝐴∙𝐷 𝐵∙𝐶 8. Bukktikan hasil perkalian skalar tripel dari: 𝐴 × 𝐵 , 𝐵 × 𝐶 dan 𝐶 × 𝐴 sama dg kuadrat hasil perkalian skalar tripel dari 𝐴, 𝐵 dan 𝐶



9. Buktikan identitas Jacobi: 𝐴× 𝐵×𝐶 +𝐵× 𝐶×𝐴 +𝐶× 𝐴×𝐵 =0 41



Latihan_1 (Tugas Kelompok) 10. Sebuah gaya 𝐹 = 𝑖 + 3𝑗 = 2𝑘 bekerja pada titik (1,1,1). Hitung besar dan arah (sudut thd sumbu x, y dan z) torsi (momen) gaya 𝐹 terhadap titik (2,−1,5).



42



21



24/10/2015



Diferensiasi Vektor Jika 𝑅(𝑢) adalah vektor yg bergantung pd variabel skalar tunggal 𝑢, maka:    R Ru  u   Ru   u u



Turunan vektor 𝑅(𝑢) thd skalar 𝑢, ditulis sbg:     dR R Ru  u   Ru   lim  lim du u 0 u u 0 u



Diferensiasi Vektor Jika



𝑑𝑅 𝑑𝑢



adalah vektor yg bergantung pd variabel skalar



tunggal 𝑢, maka dpt dicari turunan keduanya yaitu dan seterusnya,



𝑑3 𝑅 𝑑𝑢3



𝑑2 𝑅 𝑑𝑢2



,



...



22



24/10/2015



Diferensiasi Vektor Jika salah satu bentuk sederhana 𝑅(𝑢) adalah 𝑟 𝑢 yg mrpk vektor posisi yg menghubungkan titik asal 𝑂 0,0,0 ke sembarang titik 𝑥, 𝑦, 𝑧 , maka:



    r u   xu  i  y u  j  z u  k



 Ini berarti bahwa fungsi vektor 𝑟 𝑢 mendefinisikan variabel 𝑥, 𝑦, 𝑧 sbg fungsi 𝑢.  Jika 𝑢 berubah, maka ujung vektor 𝑟 𝑢 menunjukkan suatu kurva ruang dg persamaan parametris:



x  xu ,



y  y u , z  z u 



Diferensiasi Vektor



   r r u  u   r u   u u



adalah vektor dg arah ∆𝑟 (lihat gbr).



(Spiegel, 2009)



23



24/10/2015



Diferensiasi Vektor



Maka:



  r dr dx  dy  dz  lim   i j k u 0 u du du du du



Jika variabel 𝑢 adalah waktu 𝑡 , mk 𝑑2 𝑟 𝑑𝑡 2



=



𝑑𝑣 𝑑𝑡



𝑑𝑟 𝑑𝑡



= 𝑣 = 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛



= 𝑎 = 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 sepanjang kurva ruang tsb.



Rumus-rumus Diferensiasi Vektor Jika 𝐴, 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐶 adalah fungsi vektor dari skalar 𝑢 yg dpt dideferensiasi, serta 𝜙 adalah fungsi skalar dari skalar 𝑢 yg dpt dideferensiasi, maka:



1. 2. 3. 4.



    d dA d B A B   du du du      d dB dA  A B  A  B du du du    dB dA  d   A B  A  B du du du   d dA d   A    A du du du



























 



24



24/10/2015



Rumus-rumus Diferensiasi Vektor



     dC  dB  dA   d    5. A B C  A B   A C   BC du du du du       dC    dB   dA   d      A   6. A  B  C  A   B   du  C   du  B  C  du du    







 



















Catatan: Urutan perkalian hrs diperhatikan



Diferensiasi Vektor Jika 𝐴 adalah vektor yg bergantung pd lebih dari satu variabel skalar, misalnya 𝑥, 𝑦, 𝑧 maka ditulis 𝐴 = 𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Turunan parsial 𝐴 thd 𝑥 ditulis sbg:



   A A x  x, y, z   A x, y, z   lim x x0 x



Dg cara yg sama turunan parsial vektor 𝐴 thd skalar 𝑦 atau 𝑧, ditulis sbg:    A A x, y  y, z   A x, y, z   lim y y 0 y    A A x, y, z  z   A x, y, z   lim z z 0 z



25



24/10/2015



Diferensiasi Vektor Turunan parsial yg lebih tinggi didefinisikan spt dlm kalkulus:



       2 A   A   2 A   A   2 A   A    ,   ,    x 2 x  x  y 2 y  y  z 2 z  z         2 A   A   2 A   A  3 A   2 A     ,   ,   xy x  y  yx y  x  xz 2 x  z 2 



Jika vektor 𝐴 memiliki turunan parsial kontinyu sampai orde 2, maka:   2 A 2 A  xy yx



Diferensiasi Vektor Rumus2 turunan parsial vektor mirip dg yg digunakan dlm kalkulus dasar:



     B A  A B  A  B x x      B A  A B  A  B x x   2            B A   3. A B   A B   A   B  yx y  x  y  x x          2 B A B A B  2 A  A      B yx y x x y yx



 1. x  2. x



































26



24/10/2015



Diferensial Vektor Rumus2 diferensial vektor mengikuti rumus sejenis yg digunakan dlm kalkulus dasar:



    A  Ax i  Ay j  Az k maka     dA  dAx i  dAy j  dAz k       2. d A  B  A  dB  dA  B       3. d A  B  A  dB  dA  B   4. Jika A  A x, y, z , maka     A A A dA  dx  dy  dz x y z



1. Jika



 



 



Interpretasi Geometris Diferensial Vektor Jika 𝐶 adalah suatu kurva ruang yg ditentukan oleh fungsi 𝑑𝑟



vektor 𝑟 𝑢 , maka adalah suatu vektor yg menyinggung 𝑑𝑢 kurva 𝐶. Jika dipilih skalar 𝑢 adalah panjang busur 𝑠 yg diukur dari sebuah titik tertentu di 𝐶, maka



𝑑𝑟 𝑑𝑠



adalah vektor satuan



tangens yg menyinggung 𝐶 dan dinyatakan sbg 𝑇. Laju perubahan 𝑇 thd 𝑠 mrpk ukuran kelengkungan kurva 𝐶 𝑑𝑇



𝑑𝑇



dan dinyatakan sbg . Arah pd sembaran titik (mis P) di 𝑑𝑠 𝑑𝑠 kurva 𝐶 adalah normal (tegak lurus) thd kurva 𝐶 di ttk P tsb.



27



24/10/2015



Interpretasi Geometris Diferensial Vektor Jika ∆𝑡 → 0, maka vektor ∆𝐫 akan berhimpit dg vektor 𝐓 yg menyinggung kurva 𝐂 di 𝐫 𝑡 𝑑𝐫 = lim ∆𝐫 𝑡→0



𝑑𝑠 = lim ∆s 𝑡→0



𝑑𝑟 = 𝑑𝒓 =



𝑑𝑥



2



+ 𝑑𝑦



2



+ 𝑑𝑧



2



= 𝑑𝑠



Interpretasi Geometris Diferensial Vektor 𝑇 = vektor satuan yg menyinggung kurva 𝐶. → 𝑇∙𝑇 =1



(Spiegel, 2009)



    dT d   dT   dT d 1  2T  T T  T  T   ds ds ds ds ds     dT  dT   dT  Dg syarat :  0  2T   T  0  ds ds  ds 











28



24/10/2015



Interpretasi Geometris Diferensial Vektor Jika 𝑁 adalah vektor satuan pd arah normal tsb (arah



𝑑𝑇 𝑑𝑠



),



mk 𝑁 disebut vektor satuan normal utama thd kurva 𝐶 di ttk P. 



𝑑𝑇 𝑑𝑠



= 𝜅 𝑁, (𝜅 = kelengkungan kurva 𝐶 di ttk P).



Besaran 𝜌 =



1 𝜅



disebut radius kelengkungan.



Suatu vektor satuan 𝐵 yg tegak lurus 𝑇 dan tegak lurus 𝑁 sedemikian rupa shg 𝐵 = 𝑇 × 𝑁 disebut vektor satuan binormal thd kurva 𝐶 di titik P. 𝑑𝐵 𝑑𝑁 𝑑𝑇 𝑑𝑁 𝑑𝑁 =𝑇× + ×𝑁 =𝑇× + 𝜅𝑁 × 𝑁 = 𝑇 × 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠



Interpretasi Geometris Diferensial Vektor 𝑇∙



𝑑𝐵 𝑑𝑁 𝑑𝑁 𝑑𝐵 =𝑇∙𝑇× =𝑇×𝑇∙ =0→𝑇⊥ 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠



Krn 𝐵 adalah vektor satuan  𝐵 ∙ 𝐵 = 1  𝐵 ⋅ →



𝑑𝐵



Krn



𝑑𝑠 𝑑𝐵 𝑑𝑠



⊥𝐵



𝑑𝐵



𝑑𝑠



⊥ 𝑇 →



𝜏 = 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖,



𝑑𝐵 𝑑𝑠



=0



terletak pd bidang yg melalui 𝑇 dan 𝑁.



𝑑𝐵 𝑑𝑠



𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑁 shg dpt ditulis



𝜎=



𝑑𝐵 𝑑𝑠



= −𝜏 𝑁.



1 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖 𝜏



29



24/10/2015



Contoh Soal 1. Diketahui kurva ruang yg dinyatakan dg persm parametris 𝑥 = 3 cos 𝑡 , 𝑦 = 3 sin 𝑡 , 𝑧 = 4𝑡. a. Gambarkan sketsa kurva tsb. b. Hitung vektor satuan tangens (singgung) 𝑇. c. Hitung vektor satuan normal utama 𝑁. d. Tentukan kelengkungan 𝜅 dan radius kelengkungan 𝜌. e. Tentukan vektor satuan binormal 𝐵. f. Hitung torsi 𝜏 dan radius torsi 𝜎.



Jawab: Kurva tsb dinamakan spiral melingkar (circular 𝑧



𝑧



4



4



helix). Krn 𝑡 = , maka persm kurva tsb 𝑥 = 3 cos 𝑦 = 3 sin



𝑧 4



,



, shg terletak pd silinder 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9.



Contoh Soal (Spiegel, 2009)



a. Vektor posisi ke sembarang titik pd kurva tsb adalah: 𝑟 =𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘 ⟹ 𝑟 = 3 cos 𝑡 𝑖 + 3 sin 𝑡 𝑗 + 4𝑡 𝑘 Shg



𝑑𝑟 𝑑𝑡



= −3 sin 𝑡 𝑖 + 3 cos 𝑡 𝑗 + 4 𝑘



𝑑𝑠 𝑑𝑟 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =



𝑇=



−3 sin 𝑡



𝑑𝑟 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2



+ 3 cos 𝑡



2



+ 42 = 5



𝑑𝑟 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = = −35 sin 𝑡 𝑖 + 35 cos 𝑡 𝑗 + 45 𝑘 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡



30



24/10/2015



Contoh Soal



b.



𝑑𝑇 𝑑 = −35 sin 𝑡 𝑖 + 35 cos 𝑡 𝑗 + 45 𝑘 = −35 cos 𝑡 𝑖 − 35 sin 𝑡 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 3 3 = = −25 cos 𝑡 𝑖 − 25 sin 𝑡 𝑗 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 ⇒



𝑑𝑇 𝑑𝑇 =𝜅𝑁 ⇒ = 𝜅 ∙ 𝑁 = 𝜅. 𝑑𝑠 𝑑𝑠



𝜅=



𝑑𝑇 = 𝑑𝑠



𝜌=



1 25 = 𝜅 3



3 −25 cos 𝑡



2



3 + −25 sin 𝑡



2



=



3 25



Contoh Soal ⇒ c.



𝑑𝑇 1 𝑑𝑇 = 𝜅𝑁 ⇒ 𝑁 = = − cos 𝑡 𝑖 − sin 𝑡 𝑗 𝑑𝑠 𝜅 𝑑𝑠



𝐵 =𝑇×𝑁=



𝑖



𝑗



𝑘



−35 sin 𝑡



3 cos 𝑡 5



4 5



− cos 𝑡



− sin 𝑡



0



= 45 sin 𝑡 𝑖 − 45 cos 𝑡 𝑗 + 35 𝑘 𝑑𝐵 𝑑𝐵 𝑑𝑡 4 4 = = 25 cos 𝑡 𝑖 + 25 sin 𝑡 𝑗 = −𝜏𝑁 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 4 4 −𝜏𝑁 = −𝜏 − cos 𝑡 𝑖 − sin 𝑡 = 25 cos 𝑡 𝑖 + 25 sin 𝑡 𝑗 4 1 25 ⇒ 𝜏 = 25 𝑑𝑎𝑛 𝜎=𝜏 = 4 .



31



24/10/2015



Latihan_2 1. 𝐴 = sin 𝑢 𝑖 + cos 𝑢 𝑗 + 𝑢 𝑘, 𝐵 = cos 𝑢 𝑖 − sin 𝑢 𝑗 − 3 𝑘, 𝐶 = 2 𝑖 + 3 𝑗 − 𝑘. Hitung



𝑑 𝑑𝑢



𝐴× 𝐵×𝐶



pada posisi 𝑢 = 0.



2. Diketahui 𝐴 dan 𝐵 adalah fungsi vektor yg dpt dideferensiasi thd 𝑠. Hitung



𝑑 𝑑𝑠



𝐴∙



𝑑𝐵 𝑑𝑠



−



𝑑𝐴 𝑑𝑠



∙𝐵 .



3. Diketahui 𝐴 = 3𝑡 2 𝑖 − 𝑡 + 4 𝑗 + 𝑡 2 − 2𝑡 𝑘 𝐵 = sin 𝑡 𝑖 + 3𝑒 −𝑡 𝑗 − 3 cos 𝑡 𝑘. Hitung



𝑑2



𝑑𝑡 2



𝐴×𝐵



Latihan_2 4. Buktikan bhw 𝑟 = 𝑒 −𝑡 𝐶1 cos 2𝑡 + 𝐶2 sin 2𝑡 , dimana 𝐶1 𝑑𝑎𝑛 𝐶2 adalah vektor konstan, adalah solusi persm diferensial



𝑑2 𝑟 𝑑𝑡 2



+2



𝑑𝑟 𝑑𝑡



+5𝑟 =0



5. Diketahui 𝐴 = 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑖 − 2𝑥𝑧 3 𝑗 + 𝑥𝑧 2 𝑘.



𝐵 = 2𝑧 𝑖 + 𝑦 𝑗 − 𝑥 2 𝑘. Hitung



𝜕2



𝜕𝑥 𝜕𝑦



𝐴 × 𝐵 di 1,0, −2 .



6. Diketahui 𝐶1 𝑑𝑎𝑛 𝐶2 vektor konstan, 𝜆 skalar konstan. Buktikan bhw 𝐻 = 𝑒 −𝜆𝑥 𝐶1 sin 𝜆𝑦 + 𝐶2 cos 𝜆𝑦 adalah solusi PD parsial:



𝜕2 𝐻 𝜕𝑥 2



+



𝜕2 𝐻 𝜕𝑦 2



= 0.



32



24/10/2015



Latihan_2 7. Diketahui kurva ruang yg dinyatakan oleh persm parame-



tris 𝑥 = 𝑡 −



𝑡3 3



, 𝑦 = 𝑡 2, 𝑧 = 𝑡 +



𝑡3 3



. Tentukan (a) vektor



satuan tangens 𝑇, (b) kelengkungan 𝜅, (c) vektor satuan normal utama 𝑁, (d) vektor satuan binormal 𝐵, dan torsi 𝜏. 8. Tentukan kelengkungan 𝜅 dan torsi 𝜏 dari kurva ruang yg dinyatakan oleh persm parametris 𝑥 = 𝜃 − sin 𝜃 , 𝑦 =



1 − cos 𝜃 , 𝑧 = 4 sin



𝜃



2



Latihan_2 9. Posisi partikel dinyatakan sbg vektor 𝑟 = 4 + 3𝑡 𝑖 + 𝑡 3 𝑗 − 5𝑡𝑘. Kapan partikel tsb melewati titik P(1, -1, 5)? Berapa kecepatannya pd saat itu? Tentukan vektor yg menyinggung lintasan partikel tsb di titik P. 10. Diketahui vektor posisi sbg fungsi waktu: 𝑟 = 𝑡 2 𝑖 + 4 cos 2𝑡 𝑗 + 3 sin 2𝑡 𝑘. Hitung komponen kecepatan pd arah 2𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 pd waktu 𝑡.



33