Fix Soal Dan Jawaban Tugas 2 [PDF]

Citation preview

Nama:



Indi Rifki Ana Disty



(0401518008)



Cahya Chusna Amalia



(0401518010)



Nur Ilmia Nisarohmah



(0401518014)



Mata Kuliah: Struktur Aljabar (SUBGRUP, ORDER SUATU GRUP, GENERATOR) TUGAS 1.



𝑎 Diberikan 𝑀2 (ℝ) = {[ 𝑐



𝑏 ] |𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} grup terhadap operasi penjumlahan 𝑑 𝑎 𝑏 matriks. Buktikan bahwa 𝐻 = {[ ] |𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} subgrup dari 𝑀2 (ℝ)! 0 0 Pembuktian: Menurut definisi subgrup: Jika H himpunan bagian dari grup G sehingga operasi binar pada G tertutup pada H, dan H sendiri merupakan grup terhadap operasi ini, maka H dinamakan subgrup dari G. Dilambangkan 𝐻 < 𝐺 Dan menurut lemma: Misalkan 〈𝐺,∗〉 suatu grup dan H himpunan bagian dari G maka H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika; i.𝐻 ≠ ∅ ii.Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 maka 𝑎 ∗ 𝑏 −1 ∈ 𝐻 𝑏 ] |𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} ; 〈𝑀2 (ℝ), +〉 𝑑 𝑎 𝑏 Akan dibuktikan 𝐻 = {[ ] |𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} subgrup dari 𝑀2 (ℝ) 0 0 Misal 𝑀2 (ℝ) = {[







𝑎 𝑐



Jelas 𝐻 ⊆ 𝑀2 (ℝ) Akan ditunjukkan 𝐻 bukan himpunan kosong Jelas bahwa [



0 0 ]∈𝐻 0 0



Jadi 𝐻 bukan himpunan kosong 



Selanjutnya, ambil sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐻 Akan ditunjukkan 𝐴 + (−𝐵) ∈ 𝐻 𝑎 Misalkan 𝐴 = [ 1 0



𝑏1 𝑎 𝑏2 ] dan 𝐵 = [ 2 ] 0 0 0 −𝑎 −𝑏2 diperoleh bahwa −𝐵 = [ 2 ]∈𝐻 0 0 sehingga:



1



𝑎 𝑏1 −𝑎 −𝑏2 𝐴 + (−𝐵) = [ 1 ]+[ 2 ] 0 0 0 0 𝑎 −𝑎 𝑏1 −𝑏2 =[ 1 2 ] 0 0 Karena 𝐴 ∈ 𝐻 dan −𝐵 ∈ 𝐻 maka 𝐴 + (−𝐵) ∈ 𝐻 Karena 𝐻 ⊆ 𝑀2 (ℝ), 𝐻 himpunan tak kosong dan 𝐴 + (−𝐵) ∈ 𝐻 maka berdasarkan Lemma Subgrup, terbukti bahwa 𝐻 = {[



𝑎 0



𝑏 ] |𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} subgrup dari 𝑀2 (ℝ) 0



Misalkan 𝐺 grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, 𝐻 subgrup dari 𝐺 yaitu



2.



himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3. 𝐻 = {3𝑛|𝑛 ∈ ℤ} Buktikan bahwa 𝐻 subgrup dari 𝐺 Pembuktian: Menurut definisi subgrup: Jika H himpunan bagian dari grup G sehingga operasi binar pada G tertutup pada H, dan H sendiri merupakan grup terhadap operasi ini, maka H dinamakan subgrup dari G. Dilambangkan 𝐻 < 𝐺 Dan menurut lemma: Misalkan 〈𝐺,∗〉 suatu grup dan H himpunan bagian dari G maka H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika;







i.



𝐻≠∅



ii.



Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 maka 𝑎 ∗ 𝑏 −1 ∈ 𝐻



Pertama, akan ditunjukkan bahwa 𝐻 bukan himpunan kosong. Elemen identitas 𝑒 memenuhi 𝑒 = 𝑒 2 , sehingga 𝑒 ∈ 𝐻. Artinya, 𝐻 bukan himpunan kosong.







Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝐻 himpunan bagian dari 𝐺. Jelas bahwa 𝐻 himpunan bagian dari 𝐺 berdasarkan definisi himpunan 𝐻 pada soal.







Selanjutnya, ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 Akan ditunjukkan bahwa 𝑎𝑏 −1 ∈ 𝐻 (Untuk itu, perlu diperiksa apakah benar (𝑎𝑏 −1 )2 = 𝑒. Sebagai elemen 𝐻, 𝑎 dan 𝑏 memenuhi 𝑎2 = 𝑒 dan 𝑏 2 = 𝑒. Perhatikan bahwa (𝑎𝑏 −1 )2 = (𝑎𝑏 −1 )(𝑎𝑏 −1 )



[Definisi Pangkat]



= 𝑎(𝑏 −1 𝑎)𝑏 −1



[Sifat asosiatif]



= 𝑎(𝑎𝑏 −1 )𝑏 −1



[𝐺 grup abelian]



= (𝑎𝑎)(𝑏 −1 𝑏 −1 )



[Sifat asosiatif]



2



= 𝑎2 (𝑏 −1 )2



[Definisi Pangkat]



= 𝑎2 (𝑏 2 )−1



[Sifat (𝑥 −1 )𝑛 = (𝑥 𝑛 )−1 ]



= 𝑒𝑒 −1



[Diketahui]



=𝑒



[𝑒 invers dari 𝑒]



Diperoleh (𝑎𝑏 −1 )2 = 𝑒, artinya 𝑎𝑏 −1 ∈ 𝐻. Jadi, terbukti bahwa 𝐻 subgrup 𝐺



3.



Diberikan grup modulo 6 dengan operasi penjumlahan atau (𝑀6 , +). Tentukan order suatu unsur grup Penyelesaian: ̅ 1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 5̅} Diketahui: 𝑀6 = {0, Dengan menggunakan definisi order suatu unsur grup yaitu Definisi G grup 𝑔 ∈ 𝐺. Order g ditulis o(𝑔) adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga 𝑔𝑛 = 𝑒 o(𝑔) = 𝑛 ⇔ 𝑔𝑛 = 𝑒 Jika tidak ada 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑔𝑛 = 𝑒, maka dikatakan bahwa o(𝑔) = ∞ Elemen identitasnya adalah 0̅ 𝑜(0̅) = 1 sebab 0̅1 = 0̅ 𝑜(1̅) = 6 sebab 1̅6 = 0̅ 𝑜(2̅) = 3 sebab 2̅3 = 0̅ 𝑜(3̅) = 2 sebab 3̅2 = 0̅ 𝑜(4̅) = 3 sebab 4̅3 = 0̅ 𝑜(5̅) = 6 sebab 5̅6 = 0̅ Jadi, 𝑜(0̅) = 1, 𝑜(1̅) = 6, 𝑜(2̅) = 3 , 𝑜(3̅) = 2, 𝑜(4̅) = 3, 𝑜(5̅) = 6.



4.



Diberikan ℤ10 terhadap operasi penjumlahan modulo 10. Tentukan order suatu unsur grup! Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi order suatu unsur grup yaitu Definisi G grup 𝑔 ∈ 𝐺. Order g ditulis o(𝑔) adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga 𝑔𝑛 = 𝑒 o(𝑔) = 𝑛 ⇔ 𝑔𝑛 = 𝑒 Jika tidak ada 𝑛 ∈ ℕ sehingga 𝑔𝑛 = 𝑒, maka ikatakan bahwa o(𝑔) = ∞ Elemen identitasnya adalah 0̅ 𝑜(0̅) = 1 sebab 0̅1 = 0̅ 3



𝑜(1̅) = 10 sebab 0̅10 = 0̅ 𝑜(2̅) = 5 sebab 0̅5 = 0̅ 𝑜(3̅) = 10 sebab 0̅10 = 0̅ 𝑜(4̅) = 5 sebab 0̅5 = 0̅ 𝑜(5̅) = 2 sebab 0̅2 = 0̅ 𝑜(6̅) = 5 sebab 0̅5 = 0̅ 𝑜(7̅) = 10 sebab 0̅10 = 0̅ 𝑜(8̅) = 5 sebab 0̅5 = 0̅ 𝑜(9̅) = 10 sebab 0̅10 = 0̅ Jadi, 𝑜(0̅) = 1, 𝑜(1̅) = 10, 𝑜(2̅) = 5, 𝑜(3̅) = 10, 𝑜(4̅) = 5, 𝑜(5̅) = 2, 𝑜(6̅) = 5, 𝑜(7̅) = 10, 𝑜(8̅) = 5, 𝑜(9̅) = 10. 5.



Diberikan ℤ10 terhadap operasi penjumlahan modulo 10. Tentukan generatornya Penyelesaian:



Definisi Misalkan G grup. 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑔 disebut generator dari 𝐺. Jika (𝑔) = 𝐺. Ingat (𝑔) = {𝑔𝑛 : 𝑔 ∈ ℤ} Dengan perkataan lain 𝑔 generator dari 𝐺 jika 𝑥 ∈ 𝐺 ⇔ 𝑥 = 𝑔𝑛 untuk suatu 𝑛 ∈ ℤ 1 ∈ ℤ10 , (1) = {11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 } = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = ℤ10 3 ∈ ℤ10 , (3) = {31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 37 , 38 , 39 } = {3,6,9,2,5,8,1,4,7} = ℤ10 7 ∈ ℤ10 , (7) = {71 , 72 , 73 , 74 , 75 , 76 , 77 , 78 , 79 } = {7,4,1,8,5,2,9,6,3} = ℤ10 9 ∈ ℤ10 , (9) = {91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96 , 97 , 98 , 99 } = {9,8,7,6,5,4,3,2,1} = ℤ10 Jadi generatornya adalah {1, 3, 7, 9} 6.



Diberikan ℤ10 terhadap operasi penjumlahan modulo 10. Tentukan generatornya Penyelesaian:



Definisi Misalkan G grup. 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑔 disebut generator dari 𝐺. Jika (𝑔) = 𝐺. Ingat (𝑔) = {𝑔𝑛 : 𝑔 ∈ ℤ} Dengan perkataan lain 𝑔 generator dari 𝐺 jika 𝑥 ∈ 𝐺 ⇔ 𝑥 = 𝑔𝑛 untuk suatu 𝑛 ∈ ℤ 1 ∈ ℤ6 , (1) = {11 , 12 , 13 , 14 , 15 } 4



= {1,2,3,4,5} = ℤ6 5 ∈ ℤ6 , (5) = {51 , 52 , 53 , 54 , 55 } = {5,4,3,2,1} = ℤ6 Jadi generatornya adalah {1,5}



5