Forum Modul 8 - Contoh Soal Perubahan Laju Dan Pertumbuhan Populasi [PDF]

Citation preview

Nama : Husna Mega Al Aulia Nim



: 41117310048



Contoh Soal 1. Suatu kultura bakteri diketahui berkembang dengan laju yang proporsional dengan jumlah yang ada. Setelah satu jam, 1000 untai bakteri teramati dalam kultur tersebut dan setelah 4 jam menjadi 3000 untai. Cariah ekspresi matematika perkiraan jumlah untaian bakteri yang ada dalam kultura tersebut pada setiap saat dan perkirakan jumlah awal untai bakteri dalam kultur tersebut! Penyelesaian : a. Ekspresi matematika perkiraan jumlah untaian bakteri yang ada dalam kultura pada setiap saat. Misalkan : 𝑁(𝑡) = Jumlah untai bakteri dalam kultural pada waktu t 𝑑𝑁 = Laju perubahan jumlah bakteri setiap waktu 𝑑𝑡 Sehingga, 𝒅𝑵 = 𝒌 𝑵(𝒕) 𝒅𝒕



=≫



𝒅𝑵 − 𝒌 𝑵(𝒕) = 𝟎 𝒅𝒕



𝒕(𝟏) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒕(𝟒) = 𝟑𝟎𝟎𝟎



Solusi, 𝑑𝑁(𝑡) = 𝑘𝑁 𝑑𝑡



=≫



𝑑𝑁(𝑡) = 𝑘 𝑑𝑡 𝑁(𝑡)



𝑙𝑛|𝑁(𝑡)| = 𝑙𝑛|𝑒 𝑘𝑡 | + 𝑙𝑛|𝑐| 𝑁(𝑡) = 𝑐 𝑒 𝑘𝑡 Syarat ∶ 𝑡(1) = 1000 maka 𝑡(4) = 3000 maka sehingga didapat, 𝑐 𝑒 4𝑘 = 3000 𝑐 𝑒 𝑘 . 𝑒 3𝑘 = 3000 1000 𝑒 3𝑘 = 3000



1000 = 𝑐 𝑒 𝑘 3000 = 𝑐 𝑒 4𝑘



3𝑘 = 𝑙𝑛|3| sehingga 𝑘 = 0.366 Subsitusikan nilai k, pada syarat 𝑡(1) = 1000 sehingga diperoleh, 1000 = 𝑐 𝑒 0.366 didapat



𝑐 = 694



Maka diperoleh solusi, 𝑵(𝒕) = 𝟔𝟗𝟒 𝒆𝟎.𝟑𝟔𝟔𝒕 Jadi, model matematika untuk jumlah bakteri yang ada pada waktu t adalah 𝑵(𝒕) = 𝟔𝟗𝟒 𝒆𝟎.𝟑𝟔𝟔𝒕 b. Perkirakan jumlah awal untai bakteri dalam kultura 𝑡 = 0 maka 𝑁(0) = 694 𝑒 0



=≫



𝑵(𝟎) = 𝟔𝟗𝟒



Jadi, jumlah awal untaian bakteri adalah 694 untaian



2. Populasi penduduk di Amerika diketahui meningkat dengan laju yang porposional dengan jumlah penduduk yang sekarang hidup. Dalam tahun 1790 jumlah penduduk Amerika 3.93 juta penduduk kemudian pada tahun 1890 jumlah penduduknya menjadi 62.95 juta jiwa. Perkirakan pertumbuhan penduduk Amerika sebagai fungsi dari waktu! Penyelesaian : Misalkan : 𝑃(𝑡) = Jumlah penduduk Amerika pada waktu t 𝑑𝑃 = Laju perubahan jumlah penduduk anerika setiap waktu 𝑑𝑡 Sehingga,



𝒅𝑷(𝒕) = 𝒌 𝑷(𝒕) 𝒅𝒕 𝒕(𝟎) = 𝟑. 𝟗𝟑 𝒕(𝟏𝟎𝟎) = 𝟔𝟐. 𝟗𝟓



Solusi, 𝑑𝑃(𝑡) = 𝑘 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡



=≫



𝑑𝑃(𝑡) = 𝑘 𝑑𝑡 𝑃(𝑡)



Diperoleh, 𝑙𝑛|𝑃(𝑡)| = 𝑙𝑛|𝑐 𝑒 𝑘𝑡 | 𝑃(𝑡) = 𝑐 𝑒 𝑘𝑡 Syarat, 𝑡(0) = 3.93 maka 3.93 = 𝑐 𝑒 0 didapat 𝑐 = 3.93



𝑡(100) = 62.95 maka 62.95 = 3.93 𝑒 100𝑘 𝑙𝑛|62.95| = 𝑙𝑛|3.93 − 𝑒 100𝑘 | Sehingga, diperoleh 𝑙𝑛|62.95| − 𝑙𝑛|3.93| = 100𝑘 𝑘=



4.14 − 1.37 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘 = 0.027737 100



Jadi, perkiraan pertumbuhan penduduk Amerika sebagai fungsi dari waktu adalah 𝑷(𝒕) = 𝟑. 𝟗𝟑 𝒆𝟎.𝟎𝟐𝟕𝟕𝟑𝟕𝒕 3. Laju pertumbuhan suatu kultur bakteri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsi eksponensial pangkat t, dengan t adalah waktu (dalam jam). Disebabkan karena pertumbuhan bakteri yang sangat cepat, maka terjadi overcrowding, sehingga laju pertumbuhan bakteri juga berbanding terbalik dengan pangkat empat dari jumlah bakteri saat itu. Lewat eksperimen diketahui bahwa konstanta proporsionalnya adalah 1. Jika pada awalnya hanya terdapat 1 bakteria, berapa banyak bakteria dalam waktu 5 jam ? Solusi : Penyelesaian : a. Pemodelan matematis :



𝑑𝑛 𝑑𝑡



=



√4 = -cos 0 + C  2 = -1 + C



𝑛4



dn = 𝑒 𝑡 d



b. Integralkan ∫𝑛4 dn = ∫𝑒𝑡 dt 15 𝑛5 = 𝑒𝑡 + C 𝑛5 = 5𝑒𝑡 + C c. Evaluasi nilai C 15 = 5𝑒0 + C 1=5+C C = -4



𝑛5 = 5et – 4 𝑛



5



= √5et – 4



𝑒𝑡 𝑛4



, n(0) = 1, ditanyakan n(5) = ?



𝑛 (5) = 5√5et – 4 =4