Fungsi Naik Dan Turun [PDF]

Citation preview

FUNGSI NAIK DAN TURUN, KECEKUNGAN GRAFIK Definisi : Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x 1< x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) . Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x 1> x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) . Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1. Skema : fs naik



x0-h



x1



x0



x2



x0+h



fs turun



x0-h



x1



x0



x2



x0+h



Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun Dalil : f ' ( x0 )  0



Jika f ' ( x0 )  0



 y = f (x) naik di x = x0  y = f (x) turun di x = x0



Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua f " ( x)  0 Jika



 Grafik f cekung ke atas



1



f " ( x)  0



 Grafik f cekung ke bawah



Contoh : f ( x)  2 x 4  4 x 2  3 Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsif Jawab : f (x)



= 2x4 – 4x2 + 3



f’ (x) = 8x3 – 8x = 8x (x2 – 1) f” (x) = 24x2 – 8 Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0 f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0 = 8x (x+1) (x-1) = 0 x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1 f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1



-



+



-1



-



0



+



1



f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) cekungkebawah f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) cekungkeatas f” (-1)



= 16> 0 maka (-1, 1) cekungkeatas



FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Perhatikan grafik f (x) = x2 - 4x + 3 pada gambar di samping. Sumbu simetri grafik tersebut adalah x=2. Semua garis singgung kurva yang terletak di sebelah kiri sumbu simetri gradiennya negatif, sedangkan semua garis singgung kurva yang terletak di sebelah kanan gradiennya 2



positif dan garis singgung kurva pada sumbu simetri gradiennya nol. Selanjutnya akan kita selidiki hubungan letak garis singgung kurva dengan nilai-nilai fungsi turunannya. f (x) = x2 - 4x + 3 f (x) = 2x – 4 jika kita subtitusikan nilai-nilai x pada fungsi turunan tersebut, maka hasilnya dapat kita nyatakan dengan diagram seperti pada gambar berikut ini. f’ (x) = 0



f’(x) < 0(-1)



f’(x) > 0 (+)



a. Untuk x0 dan fungsi f dikatakan naik. c. Untuk x=2 f’(x)=0 dan fungsi f dikatakan tidak naik dan tidak turun, dan dikatakan pula bahwa f mempunyai nilai stasioner f(2) =-1 Berdasarkan penjelasan di atas maka: a. Fungsi f dikatakan naik jika f’(x) > 0 b. Fungsi f dikatakan turun jika f’(x) < 0 Tentukan interfal dimana funsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x +5 a. Naik b. Turun Jawab : Terlebih dahulu kita turunkan turunan pertama fungsi f f(x) = x3 + 3x2 – 9x +5 f’(x) = 3x2 + 6x – 9 = 3 ( x2 + 2x – 3) = 3 (x + 3) (x – 1) Perhatikan garis bilangan nilai-nilai f’(x)



+



-



+



Berdasarkan garis bilangan tersebut, maka fungsi f : a. Naik pada interval x< -3 V x>1 b. Turun pada interval -3 < x < 1 DEFINISI Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa: (i) Fadalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I , 3



X1 < X2 => f (x1) < f (x2) (ii)



Fadalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I , X1 < X2 => f (x1) > f (x2)



(iii)



F monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.



HUBUNGAN ANTARA FUNGSI NAIK , TURUN DAN STASIONER DENGAN TURUNAN Pada gambar berikut l1 adalah garis lurus yang condong ke kanan atas dengan gradien m1 ; l2 adalah garis lurus yang condong ke kanan bawah dengan gradien m 2 ; l3 adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dengan gradien m3 ; dan l4 adalah garis lurus yang tegak sejajarsumbu y dengan gradien m4 . ILUSTRASI GAMBAR :



Y L2 L1



X 0 L3



l4



Gambar 8.3 Y



0



a



b



X



4



Gambar 8.4



Perhatikan grafik fungsi y = f(x) di samping , dan garis – garis singgung pada kurva . Diskusikan pada teman kalian kaitan antara kemiringan setiap garis singgung disamping dengan grafik fungsi (naik dan turun ; dan titik stasioner ) Amati lagi grafik fungsi y = f (x) diatas : 



Perhatikan lintasan grafik fungsi y = f (x) yang naik yaitu pada interval 0 ≤ x < a atau x > b . Garis singgung grafik ini condong ke kanan atas , jadi gradiennya positif . Sebaliknya setiap garis singgung pada fungsi y = f (x) yang gradiennya positif (garis singgungnya condong ke kanan ) maka fungsi itu grafiknya naik . Jadi fungsi y = f (x) naik jika dan hanya jika f ‘ (x) > 0











Perhatikan lintasan grafik fungsi y = f (x) yang turun , yaitu pada interval a < x < b . Garis singgung grafik ini condong ke kiri bawah , jadi gradiennya negatif . Sebaliknya setiap garis singgung pada fungsi y = f (x) yang gradiennya negatif (garis singgungnya condong ke bawah ) , maka fungsi ini grafiknya turun . Jadi fungsi y = f (x) turun jika dan hanya jika f ‘ (x) < 0 Di titik stasioner garis singgungnya mendatar sejajar dengan sumbu – x , gradien garis singgung yang sejajar sumbu – x adalah nol . Sebaliknya setiap garis singgung yang gradiennya nol (sejajar sumbu – x )menyinggung grafik di titik stasioner .



Jadi fungsi y = f (x) stasioner jika dan hanya jika f ‘ (x) = 0 (SUMBER BUKU MATEMATIKA UNTUK KELAS XI OLEH ROCHMAD .MULYONO) SOAL : Tentukandimanagrafikdarifungsi yang diberikannaik, dancekungkebawah.Kemudiansketsgrafiknya :



turun,



cekungkeatas,



1. f(x) = x3-3x-1 2. g(x) = x3-2x2+x+1



5



MATEMATIKA DASAR



FUNGSI NAIK DAN TURUN, KECEKUNGAN GRAFIK



DisusunOleh : Kelompok 4 1. 2. 3. 4. 5. 6.



EkoRahayu AnggunDwi A. Nur Fatimah CecilliaDevina A. SidiqFauzi NurHamidah



(4301412047) (4301412049) (4301412057) (4301412061) (4301412066) (4301412069)



FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2012



6