Galat [PDF]

Citation preview

LOGO



GALAT (error) Oleh: Swasti Maharani



Galat  Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis.  Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak



 Galat (kesalahan) didefinisikan sebagai selisih antara nilai exact (sebenarnya) dan dan nilai perkiraan atau pendekatan



Dalam metode numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai eksak = a) dengan nilai hasil perhitungan numerik (nilai hampiran/perkiraan = â) Galat ε= a - â



Galat mutlak εm= |a - â|



Galat relatif εR = (εm/ a) x 100 %



Galat relatif hampiran εRA = (εm/ â) x 100 %



Contoh: Misalkan nilai sebenarnya (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: εm = |a - â| = |10,45 – 10,5| = 0,05 Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai eksak nya, jadi galat mutlak tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan



Contoh 2: Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cm Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm Jika nilai pengukuran sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, Hitung galat mutlak dan galat relatif (persen ) dari kedua hasil pengukuran di atas. Manakah yg memberikan hasil pengukuran yang lebih baik?



Jawab: Galat Mutlak: Jembatan : εm = | 10.000 – 9.999 | = 1 cm Paku : εm = | 10 – 9 | = 1 cm



Galat relatif: Jembatan Paku



: εR = 1/10.000 * 100%= 0,01% : εR = 1/10 * 100% = 10%



Kesimpulan : “Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku”



Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat mutlak ! (b). Galat relatif ! (c). Galat relatif hampiran !



Di dalam metode numerik sering dilakukan pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan tsb perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, galat adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang dan galat relatif diberikan oleh bentuk berikut:



 RA



aˆ n 1  aˆ n  x 100 % aˆ n 1



dimana : aˆ n : nilai perkiraan pada iterasi ke n aˆ n 1 : nilai perkiraan pada iterasi ke n+1



x



Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai e dengan x = 0,5, apabila hanya diperhitungkan 6 suku pertama. x Nilai sebenarnya dari e = 1,648721271 2 x3 x 4 x x e 1  x     ... 2! 3! 4! Jawab: Diperhitungkan satu suku pertama



e x 1



  1,648721271 1*100%  39,35% R



1,648721271



Diperhitungkan dua suku pertama



e x 1  x e0,5  1  0,5  1,5



  1,648721271 1,5 *100%  9,02% R



1,648721271   1,5 1*100%  33,33% RA 1,5



Perhitungan sampai suku ke enam dilanjutkan sendiri!!! Hasil perhitungan galat Suku



Hasil



εR(%)



εRA(%)



1



1



39,3



-



2



1,5



9,02



33,3



3



1,625



1,44



7,69



4



1,645833333



0,175



1,27



5



1,648437500



0,0172



0,158



6



1,648697917



0,00142



0,0158



SOAL



Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai cos(x) dengan x =1 apabila hanya diperhitungkan 5 suku pertama. Nilai sebenarnya dari cos (1) = 0,540302306. 2 x4 x6 x8 x cos(x) 1    ... 2! 4! 6! 8!



Deret Taylor Definisi : Andai f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor : ( x  xo ) ' ( x  xo ) 2 '' ( x  xo ) m ( m ) f ( x)  f ( xo )  f ( x0 )  f ( xo )  ....  f ( xo )  ... 1! 2! m!



Jika (x-xo)=h, maka :



h ' h 2 '' h m ( m) f ( x)  f ( xo )  f ( x0 )  f ( xo )  ....  f ( xo )  ... 1! 2! m!



Contoh : Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f ’’’(x) = - cos(x) f ’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f ’’(x) = - sin(x) dst. maka : h2 h3 h4 f ( x)  sin( x)  sin(1)  h cos(1)  sin(1)  cos(1)  sin(1)  ... 2 6 24



f ( x)  0,8415  0,5403 h  0,4208 h 2  0,0901 h 3  0,0351 h 4  ...



Deret Maclaurin Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.



Contoh: Hampiri fungsi f(x)= sin(x) ke dalam deret Maclaurin disekitar xo = 0 Penyelesaian: x2 x3 x4 f ( x)  sin( x)  sin(0)  x cos(0)  sin(0)  cos(0)  sin(0)  ... 2! 3! 4! x3 x5 f ( x)  sin( x)  x    ... 3! 5!



SOAL



Gunakan deret Maclaurin orde 6 untuk mendekati nilai-nilai berikut. Bandingkan hasilnya dengan hasil kalkulator. 1. ln(1,12) 2. Cos(0,12) 3. Sin(3) 4. 1/0,88 5. e0,24 6.



.



1,12



Angka Signifikan (AS) Untuk mengetahui besar galat suatu hampiran untuk suatu eksak dapat digunakan banyaknya angka signifikan.



nilai



Angka signifikan (banyaknya) dihitung dari angka pertama yang bukan nol, lalu ke kanan



Misalkan suatu hampiran untuk nilai eksak a dinyatakan Sebagai



â=



Contoh: 1. Hampiran â = 0,0320 mempunyai 3 angka signifikan 2. Hampiran â = 0,032 mempunyai 2 angka signifikan Note: kalau sbg nilai eksak 0,0320 dgn 0,032 sama, tetapi kalau sebagai hampiran itu berbeda



3. Hampiran â=130,0320 mempunyai 7 angka signifikan



Latihan Carilah banyaknya angka signifikan dari hampiran berikut ini! 1. 0,000123 2. 0,00123 3. 1,23 x 10-2 4. 1,230 x 103 5. 1,2300 x 104



Nilai â dikatakan menghampiri nilai eksak a sampai k angka signifikan apabila galat relatifnya tidak melebihi dengan k adalah bilangan bulat positif terbesar yang memenuhi εRA ≤



 RA



a  aˆ 10   aˆ 2



k



Contoh: 1. a = 3,141592; â = 3,142 3



3,141592  3,142 10  RA   0,0001299  3,142 2 â mendekati a teliti sampai tiga angka signifikan



Secara umum terdapat tiga sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat bawaan (Inheren) 2. Galat pemotongan (truncation error) 3. Galat pembulatan (round-off error)



Galat Bawaan Galat bawaan merupakan galat dari nilai data • Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Contoh :  Misal dalam pengukuran seharusnya panjangnya 4.05 ditulis dengan 4



Galat Pembulatan Galat pembulatan: galat yang timbul akibat keterbatasan komputer atau pada kalkulator dalam merepresentasikan bilangan riil. Contoh: Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333…yang tidak pernah tepat 1/3. • Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333 Terdapat galat pembulatan = 0.000333… • Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333 Terdapat galat pembulatan = 0.000000333…



Galat Pembulatan Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : Penjumlahan 9,2654 + 7,1625 = hasilnya 16,4279 ini terdiri 6 angka signifikan maka pembulatannya menjadi 16,428



Galat Pemotongan Galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku).



Galat Pemotongan Salah satu contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga yaitu: 2 3 4 x x x x e 1 x     .......... 2! 3! 4! Nilai eksak dari e x diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak.



Galat Pemotongan Contoh: x2 x4 x6 x8 x10 f ( x)  cos(x)  1       ...... 2! 4! 6! 8! 10!



Nilai hampiran



Galat pemotongan



Galat Pemotongan pada Deret Taylor n x x 2 x 3  x f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )  f " ( xi )  f ' " ( xi )  .....  f n ( xi )  Rn 1! 2! 3! n!



dimana : = fungsi di titik x f (x i ) f ( x i1 ) = fungsi di titik x i + 1 f ' , f " , .....f n = turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi



x



Rn !



= jarak antara xi dan xi + 1 = kesalahan pemotongan = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2



Galat Pemotongan pada Deret Taylor Kesalahan pemotongan Rn : Rn  f



n 1



x n 1 x n  2 n2 (x i ) f (x i )  ..... (n  1)! (n  2)!



1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama) f ( x i 1 )  f ( x i ) Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan 2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama) x f ( x i 1 )  f ( x i )  f ' ( x i ) 1!



Berupa garis lurus ( naik/turun )



Galat Pemotongan pada Deret Taylor 3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama) x x 2 f ( x i 1 )  f ( x i )  f ' ( x i )  f " (x i ) 1! 2! f(x)



Order 2 Order 1



y



Order 0



i



xi+1



x



Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor.



Contoh: Cos x = 1 – x2/2! + x4 /4! + …  X(2n) /(2n)! + Rn(x) = 1 – x2/2! +R3(x) = 1 – x2/2! + x4 /4! + R5(x) = 1 – x2/2! + x4 /4! – x6/6! + R7(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – x6/6! + x8/8! + R9(x) R3(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R5(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -5 R7(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -7 R9(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -9



LATIHAN 1. Diketahui suatu fungsi f(x) = 0,25x3 + 0,5x2 + 0,25x + 0,5. Perkirakan fungsi tersebut dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga pada titik xi+1=1, berdasar nilai fungsi pada titik xi=0. Titik xi+1 berada pada jarak Δx =1 dari titik xi=0. 2. Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 - 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1=0,5, berdasar nilai fungsi pada titik xi=0. 3. Diketahui suatu fungsi f(x) = -0,2x3 + 1,2x2 – 0,21x + 1,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1=1, berdasar nilai fungsi pada titik xi=0.



LOGO