Hengki Baru [PDF]

Citation preview

1. Berikan contoh lain terkait dengan grup faktor dan buktikan! Jawab : Contoh Misalkan (6,+) = Z6 = {0,1,2,3,4,5} adalah suatu grup dan H ={0,2,4}adalah merupakan subgrup dari 6. Tentukan a. Apakah H termasuk subgrup normal dari G atau bukan b. Tentukan grup Faktor dari G oleh H yaitu (G/H) Penyelesaian : a. (G, +), Z6 = {0,1,2,3,4,5}, generatornya 0,1,2,3,4, dan 5 Koset kiri 0 + H = 0 + (0,2,4) = (0,2,4) 1 + H = 1 + (0,2,4) = (1,3,5) 2 + H = 2 + (0,2,4) = (2,4,0) 3 + H = 3 + (0,2,4) = (3,5,1) 4 + H = 4 + (0,2,4) = (4,0,2) 5 + H = 5 + (0,2,4) = (5,1,3) Koset kanan H + 0 = (0,2,4) + 0 = (0,2,4) H + 1 = (0,2,4) + 1 = (1,3,5) H + 2 = (0,2,4) + 2 = (2,4,0) H + 3 = (0,2,4) + 3 = (3,5,1) H + 4 = (0,2,4) + 4 = (4,0,2) H + 5 = (0,2,4) + 5 = (5,1,3)



Sehingga : 0 + H = H + 0 = (0,2,4) 1 + H = H + 1 = (1,3,5) 2 + H = H + 2 = (2,4,0) 3 + H = H + 3 = (3,5,1) H + 4 = H + 4 = (4,0,2) H + 5 = H + 5 = (5,1,3) Koset kiri = koset kanan Sehingga subgrup dari H = (0,2,4) merupakan subgrup normal dari G b. Karena subgrup dari H = (0,2,4) merupakan subgrup G Jadi : Ind [G/H] = Ind [G:H] =



[G] 6 = =2 [H] 3



Unsur- unsur dari Grup faktor tersebut adalah 2 Misalkan kita ambil koset kiri : 0 + H = (0,2,4) 1 + H = (1,3,5) 2 + H = (2,4,0) 3 + H = (3,5,1) H + 4 = (4,0,2) H + 5 = (5,1,3) Maka 0 + H = 2 + H = 4 + H = (0,2,4) 1 + H = 3 + H = 5 + H = (1,3,5) Unsur- unsur dari grup faktor tersebut adalah 2 :



0 + H = (0,2,4) = H 1 + H = (1,3,5) Sehingga G/H = (H, 1+H)



LATIHAN II-5 1. G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6. Dari contoh terdahulu telah ditunjukkan bahwa G merupakan grup siklik. Tentukanlah: Semua subgroup dari G, dengan subgroup yang ada tentukan pula koset kananya, kemudian hitung indeks dari koset kanan dalam G tersebut. Jawab: G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Berdasarkan akibat teorema B-4 diperoleh subgroup Z6 adalah = {0, 1, 2, 3, 4,5} = G1 = {0, 2,4}



= G2



= {0,3}



= G3



= { 0}



= G4







Subgrup G1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,}



Koset kanan G1 dalam G adalah G1+0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} G1+1 = {1, 2, 3, 4, 5, 0} G1+2 ={2, 3, 4, 5, 0, 1} G1+3 = {3, 4, 5, 0, 1, 2} G2+4 = {4, 5, 0, 1, 2, 3}



G3+5 = {5, 0, 1, 2, 3, 4, } Ada satu koset kanan yaitu = G1 + 0 : jadi I6 (G1) = 1 



Subgrup G2 = {0, 2, 4}



Koset kanan G2 dalam G adalah G2+0 = {0, 3} G2+1 = {1, 4} G3+2 ={2, 5} G4+3 = {3, 0} G5+4 = {4, 1} G6+5 = {5, 2 } Ada 2 koset kanan yaitu : G2+0 dan G2+1. Jadi 



Subgroup G3 = {0,3}



Koset kanan G3 dalam G adalah G3+0 = {0, 3} G3+1 = {1, 4} G3+2 ={2, 5} G3+3 = {3, 0} G3+4 = {4, 1} G3+5 = {5, 2 } Ada koset kanan yaitu G3+0, G3+1, dan G3+2. Jadi I6 (G3)= 3



2. Perhatikan grup permutasi S3 = { ρ0, ρ1, ρ2, μ1, μ2, μ3} tentukanlah subgroup dari S3 yaitu H dan K yang masing-masing beranggotakan 3 unsur dan 4 unsur jika ada, kemudian cari semua koset kanan dan koset kiri dari H, K dalam S3 dan tentukan indeks dari H dan K. Jawab: Diperoleh hanya subgroup H = { ρ0, ρ1, ρ2} Ada 2 koset kanan dari H dalam S3 yaitu Hρ0 dan Hμ1 dan ada 2, koset kiri dari H dalam S3 yaitu ρ0H dan μ1H S3/H ={ Hρ0, Hμ1} S3/H ={ ρ0 H, μ1 H} Indeks dari H dalam G (I6 (H)) = 2 untuk k tidak dapat dibentuk subgroup dengan anggota 4 unsur. 5. Misalkan H ≤ G, untuk soal berikut ini, buktikan atau berikan contoh penyangkalnya: a. jika aH = bH maka Ha = Hb, Ɐ a,b € G b. jika Ha = Hb maka b € Ha, Ɐa,b € G c. jika aH = bH maka Ha-1 = Hb-1, Ɐ a,b € G d. jika aH = bH maka a2H = b2H, Ɐ a,b € G Jawab: a) a. jika aH = bH maka Ha = Hb, Ɐ a,b € G penyelesaian : Misal aρ0, b= μ2 maka: H= {ρ0, μ2} =



(11 2323 ) (13 232 1)



=



(13 232 1)



= μ2 Jadi , Ha = (μ2, ρ0)



Hb = { μ2, μ2}



=



(13 232 1)(11 22 33)



=



(13 232 1)(11 22 33)



=



(13 232 1)



=



(11 2323 )



= μ2



= ρ0



b). Jika Ha = Hb maka b € Ha, Ɐa,b € G penyelesaian: H= a= R90 b= D aH = (R90) H= {R90, D} Bh = (D) H = {D, R90} aH = bH a2H = (a,a) H



b2H = (b,b) H



= (R100) H



= (R0)H



= {R100, H}



= {R0, H}



a2H ≠ b2H Jadi, jika aH = bH maka a2H ≠ b2H



6. Misalkan H dan K masing-masing subgroup dari grup G. didefenisikan suatu relasi R dengan a R b Ɐ Jika dan hanya jika a= hbk, untuk suatu h € H dan suatu k € K. Buktikan bahwa relasi R merupakan relasi equivalan. Jawab: 



akan ditunjukkan berlaku sifat refleksi atau a Ra, Ambil sembarang a € G, a= hak a.a-1 = h a k a-1 a = hk



karena H ⊆ k dan k ⊆ G, dengan sifat ketunggalan identitas maka hk € μ dan k (Terbukti sifat reflektif) 



akan ditunjukkan berlaku sifat transitif atau a R b dan b R c, maka a R c



a R b menurut defenisi a = hbk b R c menurut defenisi b = hck karena Hk ⊆ G maka dipenuhi sifat tertutup akan a= hbk, b= hck, b disubstitusikan ke persamaan a= hbk maka: a= hbk = h (hck) k = hhckk; misalkan hh= ℓ € H; kk = m € H = ℓ cm Jadi terbukti a R b dan b R c maka aRc, Dengan dipenuhi ketiga aRb maka relasi c adalah relasi ekuivalen. 11. buktikan jika H subgroup dari grup siklik G maka G/H adalah suatu grup siklik. Jawab:



G/H adalah suatu grup siklik jika H subgroup dari G dan diperoleh koset kanan sama dengan koset kiri, maka dengan operasi yang sama pada G. Hal ini dapat terjadi karena H subgroup dan grup G. misalkan G = merupakan subgroup siklik, dan H⊆G. akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik G= , karena μ⊆G maka elemen-elemen dalam H pasti berbentuk ap dengan p € z 12. berapakah order dari subgroup factor Z60/ Jawab: Z60 merupakan grup dengan operasi penjumlahan modulo 60, dan merupkan sibgrup daari Z60 dimana = {0, 15, 30, 45} order 4, dapat ditunjukkan bahwa grup factor dari pada Z60 antara lain: Z60/ = {0, , 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+, 8+, 9+, 10+, 11+, 12+, 13+, 14+} Jadi order dri grup factor Z60/ berjumlah 15.



3. Berikan contoh lain dari homomorfisma dan isomorfisma dan buktikan serta Kernel Jawab : a.Homorfisma Diberikan G grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian dan G = G, φ (X) = X2,∀ X ∈G Apakah φ homomorfisma ? Jika ya, tentukan Kornelnya Penyelesaian : Ambil sembarang x, y ∈ G sehingga X → φ (x) = x2 Y → φ (y) = y2 x × y→ φ (x × y) = (x × y)2 = x2× y2 = φ (x) × φ(y)



Berarti φ homomorfisma. Elemen identitas dari G', yaitu e' adalah 1, Sehingga kernel dariφ adalah Ke = {x∈ G | φ (x) = e'} Ke = {x∈ G | x2 = 1} Ke = {-1,1} Jadi, kernel dari φ adalah {-1,1} b. Isomorfisma Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan G' = G. Untuk bilangan bulat x ∈ G, didefinisikan pemetaan φ : G → G' dengan φ (a) = 2a tunjukkan bahwa φisomorfisma



Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa φ isomorfisma (homomorfisma yang bijektif), maka harus ditunjukkan bahwa φ monomorfisma (homomorfisma yang surjektif). Langkah pertama, kit akan menunjukkan bahwa φ monomorfisma. Ambil sembarang x, y ∈ G Jika φ (x) = φ (y) maka diperoleh 2x = 2y ↔ x = y Jadi φ (x) = φ (y) → x = y Ini berarti φ injektif (monomorfisma) Langkah kedua, kita akan menunjukkan bahwa φ epimorfisma. Ambil sembarang x' ∈ G'. Pilih x ∈ G sehingga φ (x) = x'. Ambil juga x =



1 ' x , maka φ (x) = 2 2



1 1 { x '} = x'. Jadi untuk semua x' ∈ G', ada x ∈ G dengan x = x ' ∈ φ (x) = x'. 2 2 Ini berarti φsurjektif (epimorfisma) Dari kedua ini terbukti bahwa φ isomorfisma