![Integral Tentu [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/integral-tentu-b650af59addc63.jpg)
12 0 466 KB
Integral Tentu
INTEGRAL TENTU Pembahasan Integral Tentu meliputi: Integral Tentu 1. Integral Tentu 2. Sifat-sifat integral tentu 3. Teorema Dasar kalkulus dan Teorema Nilai Rata-rata 4. Perhitungan integral tentu Penerapan Integral Tentu 1. Luas daerah bidang datar 2. Volume benda pejal (Lempengan, Cakram, dan Cincin) 3. Volume benda putar 4. Panjang kurva bidang 5. Kerja/ usaha 6. Massa, Momen massa, Pusat massa, dan momen inersia Konsep tentang integral telah diperkenalkan oleh Newton dan Leibniz yang dideskripskan sebagai antiturunan (kebalikan dari turunan). Konsep integral ini dinamakan integral Newton. Adapun konsep lain tentang integral yang diperkenalkan oleh Riemann, yaitu berdasarkan konstruktif. Integral dibangun berdasarkan partisi Riemann. Nilai integral ini didasarkan pada jumlahan Riemann atas partisi Riemann. Konsep Integral Tentu (Riemann) Pandang fungsi f pada interval tertutup [a, b] .
f
D a
b
1 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
Δx1 a
Δx2 x1
c1
Δx3
Δx4 x3
x2 c2
……
x4
c3
xn=b
c4
n subinterval Interval [a, b] dibagi dalam n subinterval/ selang bagian (tidak perlu sama panjang) dengan titik partisinya adalah a x0 x1 x2 ... xn b . Subinterval [ xi 1 , xi ], i 1, 2,..., n dengan panjang subinterval xi xi xi 1 . Panjang partisi dinotasikan dengan P (norma P) dan didefinisikan sebagai P maks xi (yaitu 1i n
panjang subinterval yang terpanjang dari partisi P). Pilih ci [ xi 1 , xi ] , i 1, 2,..., n dan bentuk persegipanjang dengan alas xi dan tinggi f (ci ) , sehingga luas persegipanjang ke-i adalah Li f (ci )xi .
Bila ada n persegipanjang (n subinterval) maka luas kurva D dapat dihampiri dengan n luas persegipanjang tersebut, yaitu n
f (c )x i 1
i
i
(disebut jumlahan Riemann dari f pada [a, b] ).
Luas yang sebenarnya (luas eksak) dari D dapat diperoleh bila n (banyaknya subinterval tak hingga). Hal ini sama saja bila P 0 . Jadi n
n
L lim f (ci )xi lim f (ci )xi . n
i 1
P 0
i 1
Jika limit di atas ada, maka dikatakan bahwa fungsi f terintegral pada [a, b] dan ditulis b
n
f ( x)dx lim f (ci )xi .
a
P 0
i 1
2 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
Definisi Integral Tentu b
Integral tentu dari fungsi f pada [a, b] ditulis
f ( x) dx didefinisikan oleh a
b
n
f ( x)dx lim f (ci )xi P 0
a
i 1
asalkan limitnya ada.
Contoh 4
Hitunglah
x dx secara hampiran! 0
Solusi: Diketahui f ( x) x pada [0, 4] . Kita bagi interval [0, 4] ke dalam 4 subinterval dengan panjang xi 1 yaitu [0,1]; [1, 2]; [2,3]; [3, 4] .
kemudian
masing-masing
kita
pilih
titik
tengah
1 3 5 7 [0,1]; [1, 2]; [2,3]; [3, 4] . 2 2 2 2 4
4
0
i 1
x dx f (ci )xi f (c1 )x1 f (c2 )x2 f (c3 )x3 f (c4 )x4 1 3 5 7 1 3 5 7 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) 1 8 . 2 2 2 2 2 2 2 2 4
Jadi
x dx 8 . 0
Atau secara lebih teliti sebagai berikut: Kita partisi interval [0, 4] menjadi n subinterval yang sama, masing-masing dengan panjang x
40 4 . Dalam setiap subinterval [ xi 1 , xi ] kita gunakan xi sebagai titik n n
tengah. Maka
x0 0 x1 0 x
4 n
4 8 x2 0 2x 2 n n
3 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
4 12 x3 0 3x 3 n n
… 4 4i xi 0 ix i n n
… 4 xn 0 nx n 4 . n
Jadi f xi xi n
n
i 1
i 1
4i , sehingga n
f xi xi
4i 4 n 16 i n n i 1 n2
16 8 16 n 16 1 8 i 2 1 2 3 ... n 2 n n 1 n 1 8 2 n n n i 1 n 2 n
Karena P merupakan suatu partisi tetap, P 0 sama halnya dengan n maka 4
x dx lim f x x 0
P 0
i
i
8 8 lim 8 lim 8 8 . P 0 n n n
Jadi, 4
x dx 8 . 0
Latihan Hitunglah integral berikut secara hampiran! 6
1.
x
2
dx
0
2
2.
x dx
0
3
3.
x 3 dx
2
4 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
Sifat-sifat Integral Tentu a
1.
f ( x) dx 0 a b
2.
k dx k b a , dengan k
konstanta sebarang.
a
3. 4. 5. 6.
b
b
a
a
kf ( x) dx k f ( x) dx b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx b
a
a
b
f ( x) dx f ( x) dx,
ab
c
b
b
a
c
a
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx b
7. Jika f ( x) 0 untuk setiap x [a, b] maka
f ( x) dx 0 . a b
8. Jika f ( x) g ( x) untuk setiap x [a, b] maka
b
f ( x) dx g ( x) dx .
a
a b
9. Jika m f ( x) M untuk setiap x [a, b] maka m b a f ( x) dx M b a . a
Teorema Dasar Kalkulus a. Jika f fungsi kontinu pada [a, b] dan F anti turunan dari f pada [a, b] maka b
f ( x) dx F (b) F (a) . a x
b. Jika f fungsi kontinu pada [a, b] maka F ( x) f (t ) dt terdiferensialkan pada [a, b] a
dengan F '( x) f ( x) untuk setiap x [a, b] .
Teorema Nilai Rata-rata untuk integral Jika f fungsi kontinu pada [a, b] maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga 5 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
b
f (t ) dt f (c) b a . a
f
a
c
b
b
f ( x) dx
Perkiraan nilai integral tentu,
yaitu luas wilayah dibawah kurva yang sama
a
dengan luas segi empat. Contoh b
b
1 1 1. x dx x 2 b 2 a 2 2 a 2 a b
2.
n x dx a
b
1 n 1 1 x b n 1 a n 1 n 1 n 1 a 2
2
4 6 2 3 2 3 3. 4 x 6 x dx x 2 x3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 1 2
24 0 24
2
4.
cos x dx sin x 02 sin 0
4
5.
1
x dx ln x
4 1
2
sin 0 1 0 1
ln 4 ln1 ln 4 0 ln 4
1
Perhatikan bahwa nilai integral tentu berupa bilangan!
6 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
Perhitungan Integral Tentu Perhitungan integral tentu secara umum adalah suatu proses dua langkah. Pertama, kita mencari suatu integral tak tentu, kemudian kita menerapkan Teorema Dasar Kalkulus. Contoh Hitunglah integral berikut 4
1.
x
x 2 9 dx
0
2.
2 x 3 cos x
2
3x dx
0
Solusi: 4
1.
x
x 2 9 dx
0
1 Misalkan u x2 9 maka du 2 x dx atau x dx du 2 4
x
4
1 u du 2 0
x 9 dx 2
0
4
1 2 32 1 . u 2 3 0 3
2.
2 x 3 cos x
2
x
2
9
3
4
0
1 3
253 93
983 .
3x dx
0
Misal u x2 3x maka du 2 x 3 dx
2 x 3 cos x
2
3x dx cos u du
0
0
sin u 0 sin x 2 3x sin 2 3 sin 0 sin 2 3 .
0
Aturan Substitusi Integral Tentu Misalkan g mempunyai turunan kontinu pada [a, b] dan f kontinu pada daerah hasil dari g maka
7 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
b
g (b )
a
g (a)
f g ( x) g '( x)dx
f (u ) du .
Contoh x 1
1
Hitunglah
x
0
2
2x 6
2
dx !
Solusi: Misal u x2 2 x 6 maka du 2 x 2 dx 2 x 1 dx x 1
1
0
x
2
1
2x 6
1 1 du 2 u 2 0
dx 2
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 u 0 2 x 2x 6 0 2 1 2.1 6 0 2.0 6 36
Atau Misal u x2 2 x 6 maka du 2 x 2 dx 2 x 1 dx x 0 u 02 2.0 6 6 dan x 1 u 12 2.1 6 9
x 1
9
1 1 11 11 1 1 0 x2 2 x 6 2 dx 6 2 u 2 du 2 u 6 2 9 6 36 . 1
9
Contoh 2
Hitunglah
0
sin x dx ! x
Solusi: 1 1 1 Misal u x maka du . dx 2du dx atau 2 x x 2
0
2
sin x dx 2 sin u du x 0 2
2cos u 0 2cos x
2 0
2 cos 2 cos 0 2 1 1 4 .
8 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
Sifat Kesimetrian a. Jika f fungsi genap maka a
a
a
f ( x) dx 2 f ( x) dx 0
b. Jika f fungsi ganjil maka a
f ( x) dx 0 .
a
Contoh
1. Hitunglah
x
cos 2 dx !
Solusi: x Karena f ( x) cos fungsi genap ( f ( x) f ( x) ) maka 2
x x x cos 2 dx 20 cos 2 dx 2 2 sin 2 0 4 0 4 .
5
2. Hitunglah
x5 x2 4 dx ! 5
Solusi: Karena f ( x)
x5 fungsi ganjil ( f ( x) f ( x) ) maka x2 4
5
x5 5 x2 4 dx 0 . (Buktikan!)
9 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
Latihan 1 a. Gunakan metode substitusi untuk menghitung integral berikut! 1
1.
3x 1
3
9.
dx
2
x
0
9
2
10.
dx
x sin x dx
2 x 1 dx
11.
0
x cos 2 x 4
5
x 9 x 2 dx
12.
0
dx
2 x dx
2
dx
19.
0
x2 3 3 2
9 x
dx
4.
1 x2
2
0
5
1
2
18.
2
0
0
4
3.
17.
1
x
2
sin 2 x dx
1 3 2
0
0
2.
1 2
4
sin 2 x cos 2 x dx
20.
0
2
cos
4
x sin x dx
0
x2
1
5.
2 0 x 4 x 1
2
dx
13.
2
sin x sin cos x dx
e2
21.
1
x ln e
0
2
x
dx
6.
1
6
sin
3
14.
x cos x dx
x cos x sin x dx 3
2
2
0
0
7.
4
6
sin x 0 cos3 x dx
15.
x
1
1
x 1
3
dx
1
8.
cos 3x 3 dx
16.
0
2
cos x cos sin x dx
2
b. Gunakan kesimetrian untuk menghitung integral di bawah ini!
1.
sin x cos x dx
4.
x sin x cos x dx 2
2
3
3
2
2.
3
2
sin x 1 cos x dx
5.
x 2 cos x3 dx
3
2
3.
sin x cos x
1
2
dx
6.
1
x3
1 x2
4
dx
10 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
Integral Tentu
c. Tunjukkan bahwa 2
1.
sin
2
x cos 2 x dx 2
4
4.
2
0 2
2.
2 sin x dx
2
0
2 cos x dx
1
5.
0
x
6.
x dx 10
2
1 1 dx 1 4
2014
13 sin x dx 0
4
2
0
3.
x dx 6 dan
ax
3
bx 2 cx dx 2
2014
bx 2 dx
0
1
d. Buktikan untuk a dan b konstanta positif maka
2014
1
a b x 1 x dx x 1 x dx ! b
0
a
0
e. Diketahui f adalah fungsi kontinu dan naik tegas pada [0,5] . Misalkan f 1 menyatakan invers dari fungsi f . Jika f 0 0 dan f 5 2014 , hitunglah 5
0
2014
f ( x) dx
f 1 ( x) dx !
0
11 Purcell & Varberg. Kalkulus Jilid I
