Interpolasi Invers [PDF]

Citation preview

TUGAS METODE NUMERIK



“INTERPOLASI INVERS”



oleh: KELAS 2010 A / KELOMPOK V 1. M. MISBACHUL MUNIR A.



103174009



2. NUR ALFIYAH



103174023



3. SUKHOLIFAH



103174047



4. NUR AZLINA



103174068



UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2012



KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga kami bisa menyelesaikan makalah yang berjudul “ Interpolasi Invers “ ini dengan tepat waktu. Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Metode Numerik. Untuk itu, kami mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Budi Rahajeng. selaku dosen mata kuliah Metode Numerik. 2. Orang tua kami yang senantiasa memberikan dukungan moral dan material pada kami. 3. Teman-teman Pendidikan Matematika 2010 A yang telah membantu dan memotivasi kami dalam proses penyelesaian makalah ini. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Sehingga kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna memperbaiki makalah ini. Semoga makalah kami yang berjudul “ Interpolasi Invers “ ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya.



Surabaya, November 2012



Penulis



PENDAHULUAN Interpolasi merupakan suatu teknik untuk mencari nilai suatu fungsi pada suatu titik di antara dua titik yang nilai fungsi pada kedua titik tersebut sudah diketahui. Dengan kata lain, kita bisa menentukan nilai fungsi f di titik x*



[x0 ,xn]



dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui.



x



x0



x1



x2



…….



xn



f(x)



f(x0)



f(x1)



f(x2)



…….



f(xn)



Pada umumnya, teknik yang digunakan adalah: i. Membentuk polinomial berderajat kurang dari sama dengan n yang mempunyai nilai fungsi di titik-titik yang diketahui (Polinomial Interpolasi). ii. Memasukkan titik yang akan dicari nilai funsinya ke dalam polinomial interpolasi. Akan tetapi, ketika kita berkepentingan untuk menentukan nilai x* sedemikian hingga memenuhi nilai fungsi f ( x*), maka digunakan interpolasi invers.



PEMBAHASAN Dalam interpolasi, kita memperkirakan nilai yang akan dicari dari fungsi y=f(x) sesuai dengan nilai x yang berada di antara dua nilai yang diberikan. Sebaliknya, dalam interpolasi invers, kita menginterpolasi x sesuai dengan nilai sesuai dengan nilai y yang diberikan. Untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi invers, terdapat dua pendekatan yaitu:



i. Memperlakukan y sebagai variabel dengan diferensi tidak uniform dan menggunakan teknik interpolasi linear atau interpolasi Lagrange untuk memperoleh penyelesaiannya. ii. Mendapatkan fungsi pendekatan dari y dan menggunakan teknik-teknik untuk menyelesaikan persamaan tidak linear untuk memperoleh penyelesaiannya. Dalam Lagrange, interpolasi y dinyatakan dalam fungsi x sebagai ( )



(



)( )(



( (



) ( ) ( )( )(



( (



)



) )



)( )(



(



) ( (



) )



) ( ) (



)



( )



)



Dengan menukar x dan y pada persamaan ( 1 ), maka kita dapat menyatakan x dalam fungsi y sebagai berikut. (



)( )(



(



) ( ) (



(



) )



(



)( )(



(



(



)( )(



) ( ) (



) ( ) (



)



) ) ( )



)



Sehingga, untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi invers bisa menggunakan persamaan ( 2 ).



Contoh 1. Tabel berikut memberikan nilai-nilai y yang sesuai dengan nilai-nilai x tertentu. Tentukan nilai x saat y = 7,34 dengan menerapkan rumus interpolasi invers Lagrange! X



1,6



1,9



2,2



2,5



2,8



y=f(x)



2,3756



3,2682



4,4571



6,0502



8,1919



Jawab: Diketahui x0 = 1,6 , x1 = 1,9 , x2 = 2,2 , x3 = 2,5 , x4 = 2,8 y0 = 2,3756 , y1 = 3,2682 , y2 = 4,4571 , y3 = 6,0502 , y4 = 8,1919 Dengan menggunakan invers dari interpolasi Lagrange (



)( )(



(



)( )( (



( ( ( ( ( ( (



)( )(



)( )( )( )( )( )( )( )(



) ) )( )( )( )( )( )( )( )(



)( )( )( )( )( )( )( )(



) ) ) ) ) ) ) )



maka diperoleh (



)(



(



)( (



)(



(



)( (



)(



(



)( (



)(



(



)( )( )(



( ( ( (



)( )( )( )( )( )( )( )( )( )(



)( )(



)( )( ( ( ( ( ( ( ( (



)( )( )( )( )( )( )( )(



)( )( )( )( )( )( )( )( )( )(



2,694.



) )( )( )( )( )( )( )( )(



) )(



)( )( )( )( )( )( )( )(



)



= 2,694213931 Jadi, y bernilai 7,34 ketika x



)(



) ) ) ) ) ) ) )



) ) ) ) ) ) ) ) )



Teknik tersebut sepertinya bisa memberikan hasil langsung, tetapi pada beberapa kasus akan memberikan hasil yang jelek sebab menyatakan x sebagai suatu fungsi dari y mungkin tidak cukup baik untuk diaproksimasi dengan suatu polinom, misalnya y = x2, untuk y bernilai negative, maka kita akan gagal untuk mengaproksimasi nilai dari x. Oleh karena itu, untuk permasalahan interpolasi invers bisa juga diselesaikan dengan menggunakan teknik Gauss Maju.



Contoh 2. Diberikan tabel sebagai berikut. x



1



2



3



y



3,2



2,0



1,6



Carilah nilai x jika f ( x ) = 2,5 ! Jawab: Dengan menggunakan teknik Gauss Maju, maka diperoleh y



x



3,2



1



-0,8333



2,0



2



-2,5



1,6



3



1,0417



sehingga



x  f 2 ( y)  1  0.8333( y  3.2)  1.0417( y  3.2)( y  2) x  f 2 (2.5)  1  0.8333(0.7)  1.0417(0.7)(0.5)  1.2187 Jadi, f ( x ) bernilai 2,5 ketika x



1,2187.



PENUTUP Interpolasi invers digunakan untuk menentukan nilai x yang bersesuaian dengan suatu nilai f ( x ) berdasarkan seluruh atau sebagian informasi dari data yang diberikan. Dalam penyelesaiannya, bisa menggunakan formula Lagrange atau Gauss Maju.



DAFTAR PUSTAKA Fuad, Jusuf. 1997. Metode Numerik. Surabaya: University Press IKIP Surabaya.