13 0 989 KB
Oleh : Khairul IQbal, ST, MT
JURUSAN TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SYIAH KUALA
Fungsi Transenden Fungsi real secara umum dibagi atas dua kelas yaitu: • fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, harga mutlak). • fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (contoh sin x). Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertai sifat-sifatnya.
FUNGSI INVERS
FUNGSI LOGARITMA ASLI (LOGARITMA NATURAL)
FUNGSI EKSPONEN
FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI
FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi Invers Sebuah fungsi disebut fungsi satu-satu (invers), bila untuk setiap titik y berpasangan hanya dengan satu titik x.
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Fungsi Invers Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f-1
Fungsi Invers Teorema : jika f monoton murni (selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers
Fungsi Invers Contoh : Diketahui a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab :
Fungsi Invers Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
Grafik Fungsi Invers Prinsip: misalkan titik (a, b) pada grafik f(x), maka titik (b,a) berada pada grafik f−1 (lihat gambar di bawah, sebelah kiri).
Dengan demikian grafik f−1(x) dapat diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya (titik demi titik) terhadap garis y = x (gambar kanan).
Turunan Fungsi Invers
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
Contoh Diketahui f ( x ) = x 5 + 2 x + 1 tentukan ( f -1 )' (4)
Fungsi Logaritma Asli (Natural)
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x1
ln x
1
t
dt , x 0
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
x1 1 Dx ln x D x dt 1 t x
Secara umum, jika u = u(x) maka
u ( x ) 1 1 du Dx ln u Dx dt 1 t u dx
Fungsi Logaritma Asli (Natural) Contoh : Diberikan f ( x) ln(sin(4 x 2)) maka f ' ( x)
1 Dx (sin(4 x 2)) 4 cot(4 x 2) sin(4 x 2)
Jika y ln | x | , x 0
ln x , x 0 ln( x) , x 0 Jadi, d
dx
(ln | x |)
y ln x y '
y ln( x) y '
1 , x 0. x
Dari sini diperoleh : 1
x dx ln | x | C
ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
1 x
1 1 x x
Contoh : Hitung
4
0
Jawab : Misal
sehingga, 4
Jadi
0
x2 dx 3 x 2
u x 3 2 du 3x 2 dx
x2 1 du 1 1 3 dx ln | u | c ln | x 2 | c 3 3 u 3 3 x 2
4 1 x2 1 1 3 dx ln | x 2 | (ln 66 ln 2 ) ln 33. 3 0 3 3 3 x 2
Grafik fungsi logaritma asli : Y=ln x
1
Sifat Logaritma Natural
ln 1 = 0
ln(ab) = ln a + ln b
ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
ln a r = r ln a
Contoh :
Contoh : Hitung Jawab :
Sehingga,
Grafik Fungsi Logaritma Asli Misalkan f(x) = lnx, x > 0. Grafik memotong sumbu-x pada x = 1
Fungsi Eksponen 1. Fungsi eksponen natural Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan dinotasikan :
y = exp( x) x = ln y Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
er = exp(ln er ) = exp r ln e = exp r
exp (x) = ex
Turunan Dan Integral Fungsi Eksponen Asli Secara umum
Contoh : Hitung
Jawab : Misalkan Sehingga :
Grafik Fungsi Eksponen Asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x Untuk mengamati sifat-sifat
lanjut dari fungsi exponen, kita definisikan bilangan baru, yaitu e yang bersifat ln e = 1 (lihat
ilustrasi). e = 2.71828182845904......
Sifat Fungsi Eksponen Asli
Contoh :
D (e3x lnx ) = e3x lnx .Dx (3x ln x) = e3x ln x (3ln x + 3).
Fungsi Eksponen Umum Fungsi f (x) = ax, a > 0 disebut fungsi eksponen umum Untuk a > 0 dan x ϵ R, didefinisikan
ax = ex ln a
Turunan dan Integral
Dx (ax) = Dx (ex ln a) = ex ln a ln a = ax ln a Jika u = u (x), maka
Dx (au) = Dx (eu ln a) = eu ln a ln a.u’ = au u’ ln a Dari sini diperoleh :
Fungsi Eksponen Umum Contoh : Hitung turunan pertama dari
1. f (x) = 32x+1
2. ∫ 4x2 . xdx Jawab :
1. f’(x) = 2.32 x+1 ln 3
2. Misal : u = x2 du = 2x dx dx = ½(x) du
Sifat Eksponen Umum
Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers
dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi alog x, sehingga berlaku :
y = alog x
Dari hubungan ini, didapat
x = ay
Fungsi Logaritma Umum Contoh : Hitung turunan pertama dari
1. f (x) = 3log (X2+ 1)
2. f (x) = 4log (x + 1)/(x – 1) Jawab :
Grafik Fungsi Logaritma Umum Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
a. Invers fungsi sinus
b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤ π monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcus cosx, notasi arc cosx atau cos-1 (x) Berlaku hubungan
y = cos-1 x x = cosy
Dari y = cos-1 x x = cosy , -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π
diperoleh
b. Invers fungsi cosinus
Fungsi Invers Trigonometri Contoh : Hitunglah
Jawab
c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx ,(-π/2) ≤ x ≤ π/2 monoton murni(selalu naik), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi tan x disebut arcus tan x, notasi arc tan x atau tan-1 (x)
Berlaku hubungan
y = tan-1 x x = tan y Dari y = tan-1 x x = tan y , - π/2 ≤ y ≤ π/2, diperoleh
d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x) = cot x , 0 ≤ x ≤ π monoton murni (selalu turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cot x disebut arcus cot x, notasi arc cot x atau cot-1 (x)
Berlaku hubungan
y = cot-1 x x = cot y Dari y = cot-1 x x = cot y , 0 ≤ x ≤ π, diperoleh
Contoh :
Contoh hitung:
Jawab :
Contoh : Jawab :
e. Invers fungsi sec
f. Invers fungsi cosec
Contoh A. Hitung turunan pertama dari a. f(x) = sec-1 (x2 )
b. f(x) = sec-1 (tan x)
Jawab
B. Hitung :
Jawab
Fungsi Hiperbolik Di dalam matematika, kombinasi tertentu dari ex dan e-x muncul demikian sering, sehingga diberi penamaan khusus
Definisi
Turunan Fungsi Hiperbolik