Makalah Kalkulus Ii [PDF]

Citation preview

MAKALAH “INTEGRAL PARSIAL DAN INTEGRAL FUNGSI RASIONAL” Dosen Pembimbing : Dr. Ir. Ngakan Made Anom Wiryasa, MT.



Disusun Oleh :



I Putu Nando Aditya Permana



(1805511101)



I Nengah Yudi Pradnyadinta



(1805511106)



PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS UDAYANA 2019 i



KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Mahaesa, yang telah memberikan kesempatan dan kemampuan untuk dapat menyusun makalah Kalkulus II tentang Integral Parsial dan Integral Fungsi Rasional ini. Makalah ini telah kami susun secara berkelompok dan mendapat bantuan dari berbagai pihak sehingga bisa memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah mendukung dalam pembuatan makalah ini, sehingga laporan ini dapat kami berikan kepada Dosen Pembimbing. Kami menyadari bahwa laporan ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, kami mohon maaf atas kesalahan-kesalahan tersebut dan tentunya kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami berharap semoga makalah Kalkulus II tentang Integral Parsial dan Integral Fungsi Rasional ini dapat memberikan manfaat untuk pembaca.



Denpasar, 02 April 2019



Penyusun



ii



DAFTAR ISI COVER ...................................................... Error! Bookmark not defined. KATA PENGANTAR ............................... Error! Bookmark not defined. DAFTAR ISI……………………………………………………………...iii BAB I PENDAHULUAN…………………………………………………1 1.2



Latar Belakang…………………………………………………....1



1.3



Rumusan Masalah………………………………………………...1 Tujuan............................................................................................. 2 Manfaat........................................................................................... 2



BAB II PEMBAHASAN ............................................................................. 2 Integral Parsial................................................................................ 3 2.1.1 Contoh Soal................…….…………………………………4 2.2 Integral Fungsi Rasional..................................………...………….7 2.2.1 Contoh Soal………………………………………………….8 BAB III PENUTUP ................................................................................... 10 Kesimpulan................................................................................... 10 3.2



Saran……………………………………………..…..……...…..10



DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 11



iii



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan bendabenda fisika. Matematika secara praktis menjadi salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di seluruh duniasebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis dan ilmu sosial seperti ekonomi dan psikologi. Salah satu cabang dari ilmu matematika yang patut dipelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan, integral tak tentu tidak memiliki batasanbatasan. Penguasaan mata pelajaran matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Integral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. Integral parsial memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan, dan Integral Fungsi Pecahan (Fungsi Rasional) Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan dimana pembilang dan penyebutnya masing-masing merupakan fungsi polinomial. Untuk lebih memahami pembelajaran mengenai integral parsial dan fungsi rasional perlu disusun sebuah makalah yang mampu menjadi wahana bagi setiap individu untuk memperoleh wawasan, pengetahuan yang berhubungan dengan integral parsial dan fungsi rasional. Oleh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis sebuah makalah yang berjudul “Integral Parsial dan Integral Fungsi Rasional”.



B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah sebagai berikut. 1.



Bagaimana rumus integral parsial? 1



2.



Bagaimana menghitung integral tak tentu dengan cara parsial?



3.



Bagaimana rumus integral fungsi rasional ?



C. Tujuan Makalah Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan tujuan untuk: 1.



mengetahui rumus integral parsial



2.



menghitung integral tak tentu dengan cara parsial.



3.



Mengetahui rumus integral fungsi rasional



D. Manfaat Makalah Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk penulis maupun pembaca, yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah pengetahuan tentang integral parsial.



2



BAB II PEMBAHASAN 1.



Integral Parsial Integral Parsial sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali. Disebut integral



parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian operasi integral. Jika kita tidak dapat menyelesaikan integral suatu fungsi dengan metode substitusi, maka mungkin dapat diselesaikan dengan metode subtitusi ganda atau integral parsial. Misalkan: 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑢. 𝑣 Berdasarkan rumus turunan diperoleh: y'= u'.v+ u.v' 𝑑𝑦 𝑑𝑥



=



𝑑𝑢 𝑑𝑥



𝑣+𝑢



𝑑𝑣 𝑑𝑥



dy= v du+ u dv Dengan mengintegralkan masing-masing ruas pada persamaan di atas, diperoleh: ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣 𝑦 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣 𝑢. 𝑣 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣 ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 Jadi, rumus integral parsial adalah: ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢



Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v). Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial sehingga nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi



integral



(v)



dikali



(du).



Syarat umum yang harus dipenuhi: a) pilih fungsi yang paling sederhana untuk dipakai sebagai “u”. b) bagian yang dipilih sebagai “dv” harus dapat di integralkan. 3



c) integral v.du tidak boleh lebih sulit daripada integral u.dv  Contoh Soal dan Pembahasan 1. Hasil dari ∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 dx adalah…. Pembahasan: ∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6



∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢



a) Pilih fungsi paling sederhana yang akan dipakai sebagai u. Disini kita memilih atau memakai 2x sebagai fungsi yang akan kita ganti atau substitusi dengan u.



u = 2x b) Gunakan fungsi yang lainnya sebagai dv. dv = (3x – 5)6 c) Karena dalam rumus kita juga butuh nilai du dan v maka kita cari nilai keduanya dengan:  turunkan u = 2x maka f(u) =



𝑑𝑢



=2



𝑑𝑥



du = 2x



 integralkan dv = (3x – 5)6 maka v = ∫(3𝑥 − 5)6 dx =



1 7



(3𝑥 − 5)7



𝑑𝑢 3



1 1



= . (3𝑥 − 5)7 + C 7 3



=



1 21



(3𝑥 − 5)7 + C



d) Selesaikan rumus dengan menerapkan persamaan: ∫ 𝟐𝒙(𝟑𝒙 − 𝟓)6



∫ 𝒖. 𝒅𝒗 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 1



1



∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 = 2𝑥. 21 (3𝑥 − 5)7 - ∫ 21 (3𝑥 − 5)7. 2𝑑𝑥 = = =



2 21 2 21 2 21



𝑥(3𝑥 − 5)7 𝑥(3𝑥 − 5)7 𝑥(3𝑥 − 5)7 -



2



1 1



. . (3𝑥 − 5)8 + C



21 3 8 2 504 1 252



(3𝑥 − 5)8 + C (3𝑥 − 5)8 + C



Selain dengan cara di atas, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara tanzali. Berikut adalah pembahasannya: 4



∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 Turunkan +



2x



-



2



+



0



Integralkan (3x – 5)6 1



(3x – 5)7



21 1 504



1



(3x – 5)8



1



∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 = 2𝑥. 21 (3𝑥 − 5)7 - 2. 504 (3𝑥 − 5)8 + C = =



2 21 2



21



𝑥(3𝑥 − 5)7 -



𝑥(3𝑥 − 5)7 -



2 504 1



(3𝑥 − 5)8 + C



(3𝑥 − 5)8 + C



252



2. Hasil dari ∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2 dx adalah .......... Pembahasan: ∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥 (3𝑥 − 2)1/2 dx a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 Misal: u = 4x



du = 4dx



dv = (3𝑥 − 2)1/2



v=



1



(3𝑥 − 2)3/2



1 2



3 ( +1) 1



= 9/2 (3𝑥 − 2)3/2 2



= 9 (3𝑥 − 2)3/2 2



2



∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2dx = 4𝑥. 9 (3𝑥 − 2)3/2 – ∫ 9 (3𝑥 − 2)3/2 .4dx 8



= 𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 9



8



1



.



3



9 3 ( +1) 2



8



8



9



9 15



= 𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 8



= 9 𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 -



.



2



16 135



(3𝑥 − 2)5/2 + C



(3𝑥 − 2)5/2 + C



(3𝑥 − 2)5/2 + C



b) Cara Tanzalin ∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2 𝑑𝑥



5



Turunkan +



4x



-



4



+



0



Integralkan (3𝑥 − 2)1/2 2



(3𝑥 − 2)3/2



9



4 135



2



(3𝑥 − 2)5/2



4



∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2dx = 4𝑥. 9 (3𝑥 − 2)3/2 – 4. 135 (3𝑥 − 2) 5/2 + C =



8 9



𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 -



16 135



(3𝑥 − 2)5/2 + C



3. Hasil dari ∫ 3𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 adalah .......... Pembahasan: a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 Misal: u = 3x



du = 3dx



dv = cos 2x



v=



1 2



sin 2x



1



1



∫ 3𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = (3x) ( 2 sin 2𝑥) –∫( 2 sin 2𝑥) (3𝑑𝑥) 3



3



3



3



= 𝑥 sin2x – ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 2 2 = 2 𝑥sin 2x + 4 cos 2x + C b) Cara Tanzalin ∫ 3𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 Turunkan +



3x



-



3



+



0



Integralkan cos 2x 1 2



sin 2x



1



− 4 cos 2x



1



1



∫ 3𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥. 2 sin 2x – 3. (− 4 cos 2x) + C 3



3



= 2 𝑥 sin 2x + 4 cos 2x + C



6



2. Integral Fungsi Rasional



Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk dengan



dan



masing-masing suatu polinom derajat



,



dan ,



disebut polynomial derajat



. .



Teknik Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial Bentuk inilah yang lalu diintegralkan. Jika pangkat P(x) pangkat Q(x) atau n m, maka penyelesaian integral tersebut bergantung pada faktor-faktor dariQ(x). Setiap suku banyak dengan koefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor –faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiaptiap faktor mempunyai koefisien real. Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. 2. 3. 4.



Faktor linear dan tidak berulang. Faktor linear dan berulang. Faktor kuadratik dan tidak berulang. Faktor kuadratik dan berulang.  Contoh Soal dan Pembahasan



KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang



dengan A1, A2 , … , An konstanta yang akan dicari. Contoh :



7



KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang



KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang



8



KASUS 4 : Penyebut terdiri dari factor-faktor kuadrat berulang



9



BAB III PENUTUP



A. Simpulan Berdasarkan uraian bab sebelumnya penulis dapat mengemukakan simpulan sebagai berikut. 1.



Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik substitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢



2.



Integral Parsial adalah suatu cara dimana mengerjakan soal-soal perkalian integral dengan dua fungsi yang berbeda. Integral Parsial menggunakan fungsi u dan dv. Pada integral Parsial dua fungsi tersebut akan diubah untuk menemukan dua hasil fungsi yang baru yang akan digunakan pada rumus Integral Parsial.



3.



Fungsi



rasional



dengan



dan



yang



dimaksud



adalah



fungsi-fungsi



masing-masing suatu polinom derajat



berbentuk



dan ,



disebut polynomial derajat



,



. .



Teknik Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk polinomial



menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.



B. Saran Seharusnya untuk belajar matematika itu tidak dengan menghapal tetapi dengan banyak berlatih.



10



DAFTAR PUSTAKA



https://www.studiobelajar.com/integral-substitusi-parsial/ https://www.materipelajaran.web.id/2017/01/pengertian-dan-rumus-integral-parsial.html https://yos3prens.wordpress.com/2014/08/31/integral-parsial/ https://aimprof08.wordpress.com/2012/04/12/teknik-integral-integral-fungsi-rasional/ https://maths.id/integral-fungsi-rasional-pecahan.php https://inayamathedu.wordpress.com/2017/10/02/integral-fungsi-rasional/



11