Kalkulus II - Fungsi Transenden [PDF]

Citation preview

Oleh : Khairul IQbal, ST, MT



JURUSAN TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS SYIAH KUALA



Fungsi Transenden Fungsi real secara umum dibagi atas dua kelas yaitu: • fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, harga mutlak). • fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (contoh sin x). Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertai sifat-sifatnya. 



FUNGSI INVERS







FUNGSI LOGARITMA ASLI (LOGARITMA NATURAL)







FUNGSI EKSPONEN







FUNGSI LOGARITMA







FUNGSI TRIGONOMETRI







FUNGSI HIPERBOLIK



Fungsi Invers Sebuah fungsi disebut fungsi satu-satu (invers), bila untuk setiap titik y berpasangan hanya dengan satu titik x.



Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.



Fungsi Invers Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f-1



Fungsi Invers Teorema : jika f monoton murni (selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers



Fungsi Invers Contoh : Diketahui a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab :



Fungsi Invers Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.



Grafik Fungsi Invers Prinsip: misalkan titik (a, b) pada grafik f(x), maka titik (b,a) berada pada grafik f−1 (lihat gambar di bawah, sebelah kiri).



Dengan demikian grafik f−1(x) dapat diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya (titik demi titik) terhadap garis y = x (gambar kanan).



Turunan Fungsi Invers



Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai



Contoh Diketahui f ( x ) = x 5 + 2 x + 1 tentukan ( f -1 )' (4)



Fungsi Logaritma Asli (Natural) 



Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :



x1



ln x  



1







t



dt , x  0



Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :



x1  1 Dx ln x   D x   dt   1 t  x 



Secara umum, jika u = u(x) maka



 u ( x ) 1  1 du Dx ln u   Dx   dt    1 t  u dx



Fungsi Logaritma Asli (Natural) Contoh : Diberikan f ( x)  ln(sin(4 x  2)) maka f ' ( x) 



1 Dx (sin(4 x  2))  4 cot(4 x  2) sin(4 x  2)



Jika y  ln | x | , x  0



 ln x , x  0  ln(  x) , x  0 Jadi, d



dx



(ln | x |) 



y  ln x  y ' 



y  ln(  x)  y ' 



1 , x  0. x



Dari sini diperoleh : 1



 x dx  ln | x |  C



ln(a/b)=ln(a) – ln(b)



1 x



1 1  x x



Contoh : Hitung



4



 0



Jawab : Misal



 sehingga, 4



Jadi



 0



x2 dx 3 x 2



u  x 3  2  du  3x 2 dx



x2 1 du 1 1 3 dx   ln | u |  c  ln | x  2 | c 3  3 u 3 3 x 2







4 1 x2 1 1 3 dx  ln | x  2 |  (ln 66  ln 2 )  ln 33. 3 0 3 3 3 x 2



Grafik fungsi logaritma asli : Y=ln x



1



Sifat Logaritma Natural 



ln 1 = 0







ln(ab) = ln a + ln b







ln(a/b)=ln(a) – ln(b)







ln a r = r ln a



Contoh :



Contoh : Hitung Jawab :



Sehingga,



Grafik Fungsi Logaritma Asli Misalkan f(x) = lnx, x > 0. Grafik memotong sumbu-x pada x = 1



Fungsi Eksponen 1. Fungsi eksponen natural Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan dinotasikan :



y = exp( x)  x = ln y Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh



er = exp(ln er ) = exp r ln e = exp r







exp (x) = ex



Turunan Dan Integral Fungsi Eksponen Asli Secara umum



Contoh : Hitung



Jawab : Misalkan Sehingga :



Grafik Fungsi Eksponen Asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x Untuk mengamati sifat-sifat



lanjut dari fungsi exponen, kita definisikan bilangan baru, yaitu e yang bersifat ln e = 1 (lihat



ilustrasi). e = 2.71828182845904......



Sifat Fungsi Eksponen Asli



Contoh :



D (e3x lnx ) = e3x lnx .Dx (3x ln x) = e3x ln x (3ln x + 3).



Fungsi Eksponen Umum Fungsi f (x) = ax, a > 0 disebut fungsi eksponen umum Untuk a > 0 dan x ϵ R, didefinisikan



ax = ex ln a



Turunan dan Integral



Dx (ax) = Dx (ex ln a) = ex ln a ln a = ax ln a Jika u = u (x), maka



Dx (au) = Dx (eu ln a) = eu ln a ln a.u’ = au u’ ln a Dari sini diperoleh :



Fungsi Eksponen Umum Contoh : Hitung turunan pertama dari



1. f (x) = 32x+1



2. ∫ 4x2 . xdx Jawab :



1. f’(x) = 2.32 x+1 ln 3



2. Misal : u = x2  du = 2x dx  dx = ½(x) du



Sifat Eksponen Umum



Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers



dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi alog x, sehingga berlaku :



y = alog x







Dari hubungan ini, didapat



x = ay



Fungsi Logaritma Umum Contoh : Hitung turunan pertama dari



1. f (x) = 3log (X2+ 1)



2. f (x) = 4log (x + 1)/(x – 1) Jawab :



Grafik Fungsi Logaritma Umum Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x



Fungsi Invers Trigonometri



Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.



a. Invers fungsi sinus



a. Invers fungsi sinus



b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤ π monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcus cosx, notasi arc cosx atau cos-1 (x) Berlaku hubungan



y = cos-1 x   x = cosy



Dari y = cos-1 x   x = cosy , -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π



diperoleh



b. Invers fungsi cosinus



Fungsi Invers Trigonometri Contoh : Hitunglah



Jawab



c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx ,(-π/2) ≤ x ≤ π/2 monoton murni(selalu naik), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi tan x disebut arcus tan x, notasi arc tan x atau tan-1 (x)



Berlaku hubungan



y = tan-1 x   x = tan y Dari y = tan-1 x   x = tan y , - π/2 ≤ y ≤ π/2, diperoleh



d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x) = cot x , 0 ≤ x ≤ π monoton murni (selalu turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cot x disebut arcus cot x, notasi arc cot x atau cot-1 (x)



Berlaku hubungan



y = cot-1 x   x = cot y Dari y = cot-1 x   x = cot y , 0 ≤ x ≤ π, diperoleh



Contoh :



Contoh hitung:



Jawab :



Contoh : Jawab :



e. Invers fungsi sec



f. Invers fungsi cosec



Contoh A. Hitung turunan pertama dari a. f(x) = sec-1 (x2 )



b. f(x) = sec-1 (tan x)



Jawab



B. Hitung :



Jawab



Fungsi Hiperbolik Di dalam matematika, kombinasi tertentu dari ex dan e-x muncul demikian sering, sehingga diberi penamaan khusus



Definisi



Turunan Fungsi Hiperbolik