Kalkulus Lanjut Kurva Dan Permukaan Ruang [PDF]

Citation preview

KURVA RUANG DAN PERMUKAAN DI RUANG



A. GARIS TANGEN (TANGENT LINE) DAN BIDANG NORMAL (NORMAL PLANE) PADA SEBUAH KURVA RUANG Kurva ruang dapat didefinisikan dalam bentuk parametrik sebagai berikut : x = f(t), y = g(t), z = h(t). Pada titik



P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )



di kurva (determinan di



t=t 0 ), maka,



1) Persamaan garis tangen adalah



x−x 0 dx dt



=



y− y 0 dy dt



=



z−z 0 dz dt



2) Persamaan bidang normal (bidang yang melalui titik



P0



dan tegak



lurus dengan garis tangen) adalah :



dx dy dz x−x 0 ) + ( y− y 0 ) + ( z −z 0 ) =0 ( dt dt dt Persamaan 1) dan 2) dipahami bahwa derivatif telah dievaluasi pada titik



P0 Contoh : 1. Tentukan persamaan garis tangen dan bidang normal pada : a) Kurva x = t, y = t2, z = t3 dititik t = 1 b) Kurva x = t – 2, y = 3t2+1, z = 2t3 dititik t = 2 Penyelesaian : a) Langkah 1 : Mencari Turunan Parsial



1



Di titik t = 1 atau (1,1,1) dx =1 dt dy = 2t dt dz = 3t2. dt Langkah 2 : Masukkan Nilai t Kemasing-masing Turunan Parsial dx =1 dt dy = 2t = 2(1) = 2 dt dz = 3t2 = 3(1)2 = 3 dt Langkah 3 : Mencari Persamaan Bidang Tangen Untuk persamaan garis tangen dengan rumus :



x−x 0 dx dt



=



y− y 0 dy dt



Menghasilkan :



=



z−z 0 dz dt



x−1 y−1 z−1 = = 1 2 3



Langkah 4 : Mencari Persamaan Bidang Normal Persamaan bidang normalnya dengan menggunakan rumus :



dx dy dz x−x 0 ) + ( y− y 0 ) + ( z −z 0 ) = ( dt dt dt 0 Menghasilkan : (x – 1) + 2 (y - 1) + 3 (z – 1) = 0



2



x + 2y + 3z – 6 = 0



b) Kurva diketahui x = t – 2, y = 3t 2+1, z = 2t3. Yaitu dititik t = 2 atau (0,13,16) Langkah 1 : Mencari Turunan Parsial Lalu Masukkan Nilai t = 2 Kemasing-masing Turunan Parsial Dititik ini



dx dy dz = 1, = 6t = 12, dan = 6t2 = 24. dt dt dt



Langkah 2 : Mencari Persamaan Garis Tangen Persamaan garis tangen dengan rumus :



x−x 0 dx dt



=



y− y 0 dy dt



Menghasilkan :



=



z−z 0 dz dt



x y−13 z−16 = = 1 12 24



Langkah 3 : Mencari Persamaan Bidang Normal Persamaan bidang normalnya dengan rumus



dx dy dz x−x 0 ) + ( y− y 0 ) + ( z−z 0 ) = ( dt dt dt 0 Menghasilkan : x + 12 (y-13) + 24 (z-16) = 0 x + 12y – 156 +24z – 384 = 0 x + 12y +24z – 540 = 0



3



B. BIDANG TANGEN ( TANGENT PLANE) DAN GARIS NORMAL (NORMAL LINE) PADA SEBUAH PERMUKAAN RUANG Sebuah permukaan dalam ruang dapat dituliskan sebagai F(x, y, z) = 0 , maka dititik



P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )



pada permukaan, diperoleh :



1) Persamaan bidang tangen adalah



∂F ∂F ∂F x−x 0 ) + y− y 0 ) + z−z 0 )=0 ( ( ∂x ∂y ∂z ( 2) Persamaan garis normal adalah



x−x 0 ∂F ∂x



=



y− y 0 ∂F ∂y



=



z−z 0 ∂F ∂z



Dengan memahami bahwa turunan parsial telah dievaluasi pada titik Contoh : 1) Carilah bidang tangent dan garis normal pada permukaan ruang 2 2 z=3 x +2 y −11 dengan titik ( 2,1,3 ) 2



2



Tempatkan F(x,y,z) 3 x +2 y −11=0 Jawab : Pada titik



P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )



=



( 2,1,3 )



Langkah 1 : Mencari turunan parsial



4



pada titik



( 2,1,3 )



P0 .



∂F =4 y ∂y



∂F =6 x ∂x



∂F =−1 ∂z



( x 0 , y 0 , z 0)



Langkah 2 : Masukkan nilai



ke masing-masing turunan



parsial



∂F =4 y=4 (1 )=4 ∂y



∂F =6 x=6(2)=12 ∂x ∂F =−1 ∂z



Langkah 3 : Mencari persamaan bidang tangen



∂F ∂F ∂F x−x 0 ) + y− y 0 ) + z−z 0 )=0 ( ( ∂x ∂y ∂z (



12 ( x−2 )+4 ( y−1 )−( z−3 )=0 12 x−24+4 y−4−z+3=0 12 x +4 y−z−24−4+3=0 12 x +4 y−z−25=0 12 x +4 y−z=25 Langkah 4 : Mencari persamaan garis normalnya



x−x 0 ∂F ∂x



=



y− y 0 ∂F ∂y



=



z−z 0 ∂F ∂z



x−2 y −1 z−3 = = 12 4 −1



5



C. SEBUAH KURVA PERMUKAAN Dapat juga ditulis sebagai pasangan persamaan : F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 1) Dititik



P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )



x−x 0



=



pada kurva, maka persamaan garis tangen adalah



y− y 0



=



z−z 0



∂F ∂ F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y | | | | | | ∂G ∂ G ∂G ∂G ∂ G ∂G ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y 2) Dan pada persamaan bidang normal adalah



∂F ∂ F ∂F ∂ F ∂F | ∂ y ∂ z |( x−x 0 )+| ∂ z ∂ x |( y− y 0 )+| ∂ x ∂G ∂ G ∂G ∂ G ∂G ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x



∂F ∂ y |(z−z )=0 0 ∂G ∂y



Di 1) dan 2) itu memahami bahwa semua derivatif parsial telah dievaluasi pada titik



P0 .



Contoh : 1) Carilah persamaan garis tangent dan bidang normal kurva 2



2



2



x + y +z =14 ,



x+ y+ z=6 di titik (1,2,3) 6



Pasanglah



2



2



2



x + y +z =14 ,



F( x , y, z)=



dan



G( x , y , z )=



x+ y+ z−6=0 Di titik (1,2,3). Langkah 1 : Mencari Turunan parsial



∂F =2 y ∂y



∂F =2 x ∂x ∂G =1 ∂x



∂F =2 z ∂z



∂G =1 ∂y



Langkah 2 : Masukkan nilai



∂G =1 ∂z



( x 0 , y 0 , z 0)



∂F =2 x=2 .1=2 ∂x



yaitu titik



∂F =2 y=2 . 2=4 ∂y



( 1,2,3 ) ∂F =2 z=2 .3=6 ∂z



Langkah 3 : Mencari persamaan garis tangent



∂F ∂ F ∂F ∂ F ∂F | ∂ y ∂ z |( x−x 0 )+| ∂ z ∂ x |( y− y 0 )+| ∂ x ∂G ∂ G ∂G ∂ G ∂G ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x



∂F ∂ y |(z−z )=0 0 ∂G ∂y



2 y 2z 2z 2x 2x 2 y | |( x−1)+| |( y−2)+| |( z−3)=0 1 1 1 1 1 1 2y – 2z (x – 1) + 2z – 2x (y – 2) + 2x – 2y (z – 3) = 0 4 – 6 (x – 1) + 6 – 2 (y – 2) + 2 – 4 (z – 3) = 0 -2 (x – 1) + 4(y – 2) – 2(z – 3) = 0 (x – 1) – 2(y – 2) + (z – 3) = 0 x – 1 – 2y + 4 + z – 3 = 0 x – 2y + z – 1 + 4 – 3 = 0 x – 2y + z = 0



7



8