![Kalkulus Vektor [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/kalkulus-vektor.jpg)
27 0 228 KB
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
VEKTOR 1. Hasil kali dalam, hasil kali silang dan vektor-vektor basis Definisi Vektor adalah besaran yang mempunyai arah A a1 , a 2 , a 3 , B b1 , b2 , b3 , vektor AB v b1 a1 , b2 a 2 , b3 a 3 vektor BA v a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3
b1 a1 2 b2 a 2 2 b3 a 3 2
panjang vektor AB AB
Vektor basis i = [1,0,0], j = [0,1,0] dan k = [0,0,1] Hasil kali dalam antara dua vektor.
a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3 a b a1b1 a2b2 a3b3 Skalar
i.i = 1, j.j = 1, k.k = 1 a b cos , a b
sudut yang dibentuk oleh a dan b
Hasil kali silang antara dua vektor a a1 , a 2 , a 3 , a b a.b sin u vektor unit atau
b b1 , b2 , b3 u,
arah, sudut yang dibentuk oleh a & b
i j k a b a1 a 2 a 3 a 2 b3 a3 b2 i a1b3 a 3 b1 j a1b2 a 2 b1 k b1 b2 b3 Jika a b 0 dan a , b bukan vektor nol , maka a , b sejajar i i 0, j j 0, k k 0, i j k , i k j , j k i
Hasil kali silang antara dua vektor menghasilkan vektor Contoh 1. Tentukan sudut antara A =2i – 2j – k dan B = 6i –3j – 2k Jawab. A B 2 6 2 3 1 2 4 A cos
2 2 2 2 1 2
3, B
6 2 3 2 2 2
7
7 790 (3)(4)
Contoh 2. Buktikan bahwa luas jajaran genjang dengan sisi Dar-01
a
dan
b
adalah
a b
Hal. 1 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Bukti. Luas jajaran genjang h b a sin b a b
a
Luas segitiga
b
1 ab 2
h
2. Fungsi vektor Misalkan f, g dan h fugsi-fungsi yang didefinisikan dalam selang I (i) Suatu fungsi vektor r didefinisikan dalam I oleh : r (t ) f (t ), g (t ), h(t ) f (t ) i g (t ) j h(t ) k , t I
yang
menyatakan
P f (t ), g (t ), h(t )
vektor posisi dengan titik ujung : dengan persamaan parameter
x f (t ), y g (t ), z h(t )
(ii) Jika
maka limit fungsi vektor r di t adalah vektor lim r (t ) lim f (t ), lim g (t ), lim h(t ) , asalkan ketiga limit ada. (iii) Fungsi vektor r yang didefinisikan r (t ) f (t ), g (t ), h(t ) kontinu di t jika dan hanya jika f, g dan h kontinu di t . (iv) Jika f, g dan h diferensiabel (dapat diturunkan) terhadap t, maka turunan dari fungsi vektor r : r ' (t ) f ' (t ), g ' (t ), h' (t ) t I z t0 I ,
t t 0
0
t t 0
t t 0
t t 0
0
0
P f (t ), g (t ), h(t )
r y x Contoh 3. Diberikan fungsi vektor : r (t ) e cos t i e sin t j e k selidiki apakah fungsi vektor tersebut kontinu, kemudian tentukan turunan pertama dan kedua. Jawab. Karena fungsi eksponen, sinus dan cosinus adalah fungsi kontinu untuk semua bilangan real, maka fungsi vektor r(t) kontinu dimana-mana. t
t
t
Turunan pertama : r ' (t ) e t sin t e t cos t i e t cos t e t sin t j e t k Turunan kedua r" (t ) 2e t sin t i 2e t cos t i e t k
Dar-01
Hal. 2 dari 13
:
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Contoh 4. 2 3 Gambarlah fungsi vektor r (t ) t i 1 2 t j 13 t k dan tentukan persamaan garis singgung di t = 2. Jawab. t x y z
z
-2 -2 2 -8/3
-1 -1 1/2 -1/3
0 0 0 0
1 1 1/2 1/3
2 2 2 8/3
3 3 9/2 9
r (t ) t i 1 t 2 j 1 t 3 k , x t , y 1 t 2 , z 1 t 3 2 3 2 3 t 2, x 2, y 2, z 8 3 2 r ' (t ) i t j t k , t 2 x' 1, y ' 2, z ' 4 8 x2 y2 z 3 Persamaan garis sin ggung : 1 2 4
y x
Jika r dan s fungsi vektor yang diferensiabel dan k konstanta skalar, maka : d dr kr k dt dt d r s dr s r ds ( ii ) dt dt dt d r s dr s r ds ( iii ) dt dt dt (i )
3. Kecepatan dan percepatan Misalkan r (t ) f (t ), g (t ), h(t ) fungsi vektor yang diferensiabel di selang I . Jika t I menyatakan banyaknya waktu yang tlah berlalu dari t t dan P f (t ), g (t ), h(t ) posisi partikel yang bergerak pada r (t ) f (t ), g (t ), h(t ) maka 0
( i ) Kecepa tan sesaat v(t ) r ' (t ) f ' (t ), g ' (t ), h' (t ) ( ii ) Percepa tan sesaat v(t ) r" (t ) f " (t ), g " (t ), h" (t ) (iii ) Besar kecepa tan Dar-01
f ' (t ) 2 g ' (t ) 2 h' (t ) 2 Hal. 3 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Kecepatan merupakan arah garis singgung terhadap lengkungan di P dan besar kecepatan merupakan laju partikel yang bergerak pada saat t z v(t)
a(t)
Contoh 5. Suatu partikel yang bergerak menurut persamaan vektor : r (t ) a cos t i b sin t j t k
Berikan trayektori partikel dan tentukan kecepatan dan pecepatan untuk tiap saat t. Persamaan parameter lintasan : Jawab. x a cos t , y b sin t , z t . Dengan menggambar beberapa nilai t untuk t 0, t 2 maka trayektori akan terletak pada ellips : x2 y 2 1 a 2 b2
yang disebut heliks.
Kec. : v(t ) a sin t i b cos t j k Perc.: a(t ) a cos t i b sin tt j 4. Kelengkungan Pandang fungsi vektor : r (t ) f (t ), g (t ), h(t ) f (t ) i g (t ) j h(t ) dengan persamaan parameter : x f (t ), y g (t ), z h(t ), a t b . Vektor : T (t )
v (t ) v (t )
adalah vektor garis singgung di P(t) dengan panjang 1 dan arahnya sepanjang vektor garis singgung v(t) terhadap legkungan C. Kelengkungan K(t) di titik P(t) adalah besar vektor kelengkungan di P dinyatakan dengan : Dar-01
Hal. 4 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
K (t )
dT (t ) v (t )
atau
K (t )
a (t ) v(t ) v (t )
3
dimana v(t) : vektor kecepatan dan a(t) : vektor percepatan Contoh 6. Tentukan kelengkungan heliks lingkaran : x cos t , y sin t , sebarang Jawab. Vektor satuan singgung terhadap hliks pada saat t adalah : T (t )
pada saat t
zt
v (t ) sin t cos t 1 i j k v (t ) 2 2 2
Kelengkungan heliks pada saat t adalah : K (t )
T (t ) v (t )
cos t sin t 1 i j 2 2 2
Vektor normal dan binormal Pandang fungsi vektor r (t ) f (t ), g (t ), h(t )
v(t ) r ' (t ) vektor garis sin ggung v(t ) T (t ) vektor satuan garis sin ggung v(t )
z B T N y x
f (t ) i g (t ) j h(t ) ,
T ' r (t ) N (t ) vektor satuan normal artinya T ' (t ) N (t ) T (t ) N (t ) T ' (t ) B (t ) vektor satuan binormal artinya B (t ) T (t ), dan B (t ) N (t ) B(t ) T (t ) N (t )
Contoh 7. Dar-01
Hal. 5 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Tentukan vektor satuan garis singgung T(t), vektor satuan normal N(t) dan veektor satuan binormal B(t) terhadap ellips : x = 2cos t, y = 3 sin t, z = t di titik P( 2 ), gambar lengkungan dan trihedron yang dibentuk P. Jawab. r (t ) 2 cos t i 3 sin t j t k v (t ) r ' (t ) 2 sin t i 3 cos t j k
z
v (t )
6
4 sin 2 t 4 cos 2 t 5 cos 2 t 1
5 5 cos 2 t
T (t )
B T
4 sin 2 t 9 cos 2 t 1
T ' (t )
2 sin t 5 5 cos t 20 cos t 2
5 5 cos t 2
2
3 2
i
3 cos t 5 5 cos t 15 sin t 2
5 5 cos t 2
j 3 2
j
1
k 5 5 cos 2 t 5 sin t cos t
5 5 cos t 2
3 2
k
2 1 i k 5 5 2 N j 2
T
N -3
i
3
y
1 i2 5k T N 5 2 2 2
B
x
5. Gradien, Divergen dan Curl Operator (baca: del) didefinisikan dengan : x i y j z k Gradien Ambil fungsi skalar ( x, y, z ) diferensiabel di (x,y,z), gradien dari ditulis ( x, y, z ) atau grad ( x, y, z ) didefinisikan dengan :
( x, y , z )
( x, y , z ) i j k ( x, y , z ) i j k x y z x y z
Gradien merupakan medan vektor Divergen Ambil fungsi vektor v( x, y, z ) v i v j v k diferensiabel di (x,y,z), divergen dari v( x, y, z ) v i v j v k ditulis: v(x,y,z) atau div v(x,y,z) didefinisikan dengan : 1
1
Dar-01
2
v( x, y, z ) i j k y z x
2
3
3
v1 i v2
j v3 k
v1 v2 v3 i j k x y z 6 dari 13 Hal.
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Divergen merupakan besaran skalar. Curl Ambil fungsi vektor v( x, y, z ) v i v j v k diferensiabel di (x,y,z), curl dari v( x, y, z ) v i v j v k ditulis: v( x, y, z ) atau curl v(x,y,z) atau rot v(x,y,z) didefinisikan dengan : 1
1
2
2
3
3
v( x, y , z ) i j k v1 i v2 j v3 k y z x i x v1
j y v2
k z v3
v3 v2 z y
y v2
z i x v1 v3
z j x v3 v1
y v2
v2 v v1 v3 1 k j x y z x
i
Contoh 8. Jika ( x, y, z ) 3x y y z , tentukan di titik (1,2,1) Jawab. 3x y y z i y 3x y y z j z 3x y y z k x 6 xy i 3 x 3 y z j 2 y z k 2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
12 i 9 j 16 k
2
3
z 2 j xy 2 z k ,
2
2
1 2
tentukan
j 2 2
3
Dar-01
2
yz j 2 yz 4 k ,
1
k
2
3
2
2 xz 6 y 2 z 2 xy 2 211 6 1 1 1 1
Contoh 10. Jika A xz i 2 x Jawab.
3
A di titik (1,1,1)
A i j k x 2 z i 2 y 3 z 2 j xy 2 z k x y z 2 3 2 x z 2y z xy 2 z x y z
2
3
61 2 i 31 3 2
Contoh 9. Jika A x z i 2 y Jawab.
3
tentukan
2
2
3
A di titik (1,1,1)
Hal. 7 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor i j k 2 xz 3 i 2 x 2 yz j 2 yz 4 k y z x
A
i x 2 xz 3
j y 2 x 2 yz
k 2 z 4 2 x 2 y i 3 xz 2 j 4 xyz k z 2 yz 4
2 1 2 1 1 4
3 j4 k
2
i 3 1 1
2
j 4 1 1 1 k
6. Integral garis, Teorema Green’s Integral garis Misalkan r (t ) x i y j z k suatu vektor posisi dari P(x,y,z), kemudian A( x, y, z ) A1 x, y , z i A2 x, y, z j A3 x, y, z k fungsi vektor posisi lintasan C, integral garis kurva C dari titik P1 x, y, z ke P2 x, y, z dinyatakan dengan : P2
A dr A x, y, z i A x, y, z j A x, y, z k dx i dy j dz k 1
C
2
3
P1
P2
A x, y, z dx A x, y, z dy A x, y, z dz 1
2
3
P1
Integral garis mempunyai arti : Jika A menyatakan gaya F pada partikel yang bergerak sepanjang lintasan C, maka integral garis menyatakan usaha/kerja yang dilakukan partikel sepanjang lintasan C. Contoh 11. Jika A 3x 2 6 y i 14 yz j 20 xz 2 k , hitunglah A dr dari titik (0,0,0) ke (1,1,1) sepanjang lintasan C: x t , y t , z t Jawab. C
2
Batas : x 0, y 0, z 0 t 0,
3
x 1, y 1, z 1 t 1
x t dx dt , y t 2 dy 2t dt , z t 3 dz 3t 2 dt
A dr 3x
C
2
6 y i 14 yz j dx i dy j dz k
C
3 x 2 6 y dx 14 yz dy 20 xz 2 dz C 1
3(t ) 6(t 2 ) dt 14(t 2 )(t 3 ) 2t dt 20 t (t 3 ) 3t 2 dt 2
0 1
9t 2 28t 5 60t 9 dt 5 0
Dar-01
Hal. 8 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Contoh 12. Jika F 3xy i y j ,hitunglah
f dr
2
C
dimana C kurva
y 2x 2 dari
titik
(0,0)
ke
(1,2)
Jawab.
Batas diambil x : x 0, x 1 r x i y j dr dx i dy j ,
y 2 x 2 dy 4 x dx
F dr 3xy i y j dx i dy j 3xy dx y 2
C
C
2
dy
C
1
3 x 2 x 2 dx 2 x 2
2
4 x dx
0
7 6
Teorema Green’s Jika R daerah tertutup di bidang xy yang dibatasi oleh kurva sederhana tertutup C dengan arah berlawanan jarum jam, dan jika M(x,y) dan N(x,y) fungsi yang dapat diturunkan di R, maka : N ( x, y ) M ( x, y ) dR x y
M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy
C
R
Bukti. x
x d
y f 2 ( x)
x g2 ( y)
c
x g1 ( y )
y f1 ( x)
a
b y
b M ( x, y ) dy dx R y a
y
b d M dx M ( x, y ) f 2 ( x ) dx N ( x, y ) dy dx dy f 1 ( x ) a c x f 1 ( x ) y R
f 2 ( x)
b
N g 2 ( y ), y N g1 ( x), y dy
a
a
a
b
d
d
M x, f 2 ( x) M x, f1 ( x) dx b
N g ( dx dy N ( x, y ) g12 ( x g1 ( y ) c
g2 ( y)
c c
d
d
c
M x, f1 ( x) dx M x, f 2 ( x) dx
N g1 ( y ), y dy N g 2 ( y ), y
M ( x, y ) dx .......................... (1)
N ( x, y ) dy .......................... (
C
C
N ( x, y ) M ( x, y ) dR x y
(1) + (2) didapat : M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy C
R
Contoh 13. Dar-01
Hal. 9 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Gunakan teorema Green’s untuk menghitung : xy y dx x kurva tertutup yang dibatasi : y = x, y = x2 M Jawab. M ( x, y ) xy y x 2y y y x x 2
2
dy,
C
dimana C
2
2
yx
N ( x, y ) x 2
1
N M R x y
dR
N 2x y
1 x
2 x x 2 y dy dx 0 x2
1 x
1
1
x 2 y dy dx 20 0 x2
x
Silahkan dicoba dengan menggunakan integral garis !. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva sederhana tertutup C dinyatakan dengan : L
1 x dy y dx 2 C
Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Green’s sbb: M ( x, y ) y ,
N ( x, y ) x x y dR 2 dR C x dy y dx x y R R 1
dR 2 x dy y dx R
L
C
1 x dy y dx 2 C
Contoh 14. Tentukan luas ellips :
x2 y 2 1 a 2 b2
Jawab.
Pers. parameter ellips : x a cos t , y b sin t , 0 t 2 dx a sin t dt , dy b cos t dt
x b
x dy y dx
C
a
y
2
1 a cos t b cos t dt b sin t a sin t dt 2y 0 1 2
2
ab cos
2
t sin 2 t dt ab
0
7. Teorema Stokes’dan Teorema Divergen dari Gauss. Dar-01
Hal. 10 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
Teorema Stokes’ Ambil permukaan S : z = f(x,y) fungsi yang diferensiabel, proyeksi S pada bidang xoy adalah bidang yang dibatasi oleh kuva sederhana tertutup C. z
Jika A A1 ( x, y, z ) i A2 ( x, y, z ) j A3 ( x, y , z ) k ,
k S
maka :
n
A n
dS
S
A
i A2 j A3 k n dS
1
S
A
1
i A2 j A3 k n
R
dx dy nk
A dr
C
n
y x
S , S
n vektor satuan normal
r x i y jzk
C R
Contoh 15. Uji teorema Stokes’ untuk bagian atas bola : x y z 1 Jawab. 2
2
A 2 x y i yz 2 j y 2 z k
, dimana S adalah ½
2
C : x2 y2 1 i A x 2x y
j y yz 2
k k z y2z
dx dy S A n dS S k n n k
1
1 x 2
0
0
dx dy 4 R
1
dy dx 4 1 x 2 dx 0
C : x 2 y 2 1 , pers. parameter : x cos t , y sin t , z 0, 0 t 2 dx sin t dt , dy cos t dt
r x i y j z k dr i dx j dy k dz
C
A dr
(2 x y ) dx yz
C
2
2
2 cos t sin t sin t dt
dy y 2 z dz
0
Teorema Divergen dari Gauss Jika V adalah volume yang dibatasi oleh kurva tertutup S dan A fungsi vektor posisi z n yang diferensiabel, maka : S2 Dar-01
V
A dV
S
A n dS
Hal. 11 dari 13
dimana n vektor satuan normal
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
S1 n y x R Contoh 16 Uji Teorema Divergen dari Gauss untuk yang dibatasi oleh : x y 4, z 0, z 3 2
terhadap daerah
A 4x i 2 y 2 j z 2 k
2
Jawab : Bentuk permukaan adalah tabung.
Integral volume : 2 2 x 4 x y 2 y z z dV V V Batas int egral : z 0 s / d z 3
V
A dV
x2 y2 4 y 2
V
2 2
2 2
4 x 2 3
4 4 y 2z
4 x2 s / d y 4 x2 4 x 2
2
dz dy dx
2
4 x 2 0 4 x 2
2
12 12 y 9 dy dx
3
4 z 4 yz z 2 dy dx 0
4 x 2
21 y 6 y 2
4 x 2 4 x 2
dx
2
4 x 2
42 4 x 2 dx 84
2
Integral Permukaan z
n=k
A n dS A n dS A n dS 1
S1
S
S3
S1
S2
2
A n dS 3
Pada S1(z = 0): n k , A 4 x i 2 y 2 j 0 2 k , A n 0 A n dS1 0 S1
n x
S2
y Pada S2(z = 3): n k , A 4 x i 2 y 2 j 32 k , A n 9
A n dS Dar-01
S3
S1
2
9 A n dS 2 36 , karena R 4 S2
Hal. 12 dari 13
Vektor:Fungsi vector,Diferensial & Integral vektor
n=-k
Pada S3 ( x
2
y 2 4 ),
Arah vektor yang tegak lurus S3 :
x 2 y 2 4 i y x 2 y 2 4 j z x 2 y 2 4 k 2 x i 2 y j S3 x
Vektor satuan normal : n
S3 S3
2x i 2 y j
2x
2
2y
karena : x 2 y 2 4 n
2
2x i 2 y j 4x 4 y 2
2x i 2 y j 4. 4
2
2x i 2 y j
4( x 2 y 2 )
xi y j 2
xi y j 2 3 2x y 2
A n 4 x i 2 y 2 j z 2k
Substitusi koordinat kutub : r 2, x 2 cos , y 2 sin , 0 s / d 2
A n dS3
S3
2 x
2
y 3 dS3
S3
2
48 cos
2
3
0
0
48 sin d
0
2 2 cos
2
3
2
2
2 sin dz d 3
48 cos 2 d 48
0
A n dS 0 36 48 84
S
Dar-01
Hal. 13 dari 13
