![Kuliah 13 - Peubah Acak Ganda [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/kuliah-13-peubah-acak-ganda.jpg)
4 0 546 KB
PEUBAH ACAK GANDA Pengantar Hitung Peluang | Pertemuan ke-11 [email protected]
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA Dari suatu ruang contoh percobaan bisa didefinisikan lebih dari satu peubah acak
Misalkan pada percobaan melempar koin setimbang sebanyak 3 kali = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
Jika p.a. X didefinisikan sebagai frekuensi Angka (A) muncul, maka : X = {0, 1, 2, 3} Jika p.a. Y didefinisikan sebagai frekuensi Angka (A) muncul pada dua lemparan terakhir, maka : Y = {0, 1, 2} 2
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA Y X
0
1
2
0
{GGG}
1
{AGG}
{GGA,GAG}
2
{AAG, AGA}
{GAA}
3
{AAA}
Y X
0
1
2
0
1/8
0
0
1
1/8
2/8
0
2
0
2/8
1/8
3
0
0
1/8 3
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA Y
X Total
Total
0
1
2
0
1/8
0
0
1/8
1
1/8
2/8
0
3/8
2
0
2/8
1/8
3/8
3
0
0
1/8
1/8
2/8
4/8
2/8
Sama dengan P(Y=y)
Sama dengan P(X=x)
f.m.p bersama X,Y P(X=x, Y=y) 4
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA Jika Y1 dan Y2 adalah masing-masing peubah acak,
maka (Y1, Y2) kita sebut peubah acak ganda dua Secara umum, jika Y1, Y2, Y3, …, Yn adalah peubah
acak, maka (Y1, Y2, Y3, …, Yn ) adalah peubah acak ganda n.
Untuk selanjutnya dalam pembahasan akan difokuskan pada peubah acak ganda dua. 5
PEUBAH ACAK GANDA - DISKRET Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak diskret, fungsi peluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asal bagi(Y1, Y2). Syarat fungsi bersama :
tersebut
merupakan
fungsi
peluang
6
PEUBAH ACAK GANDA - KONTINU Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu, fungsi kepekatan peluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah
𝑓𝑌1 𝑌2 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1 𝑌2 untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asal (Y1, Y2).
Syarat fungsi tersebut merupakan fungsi kepekatan peluang bersama adalah :
1) fY1Y2 y1 , y2 > 0, 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1 𝑌2 2)
∞ ∞ f −∞ −∞ Y1 Y2
y1 , y2 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2 = 1 7
HUBUNGAN FUNGSI SEBARAN & FKP Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama 𝑓𝑌1,𝑌2 𝑦1 , 𝑦2 , fungsi sebaran bersamanya adalah : 𝑦2
𝑦1
𝐹𝑌1 𝑌2 𝑦1 , 𝑦2 =
fY1Y2 t1 , t 2 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 , 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1 𝑌2 −∞ −∞
fkp dapat diperoleh dengan cara mendiferensialkan fungsi tsb. 𝜕2 𝑓𝑌1𝑌2 𝑦1 , 𝑦2 = 𝐹 𝑦 ,𝑦 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 𝑌1𝑌2 1 2 Peluang (Y1, Y2) ∈ A, untuk 𝐴 ⊂ ℛ2 dalah
𝑃 𝑌1 , 𝑌2 ∈ 𝐴 =
fY1Y2 y1 , y2 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2 𝑦1 ,𝑦2
8
ILUSTRASI - 1 Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama sbb :
(a) Tentukan c (b) Hitung P(Y1 > 15, Y2 < 1) (c) Hitung P(Y2 > Y1/5)
9
ILUSTRASI – 1 (CONT’D) (a)
Syarat fungsi kepekatan peluang bersama adalah : 𝑑𝑦2 𝑑𝑦1
𝑑𝑦2 𝑑𝑦1
sehingga :
dan
10
ILUSTRASI – 1 (CONT’D) (b) Misalkan
, maka : 𝑑𝑦2 𝑑𝑦1
11
ILUSTRASI – 1 (CONT’D) (c) Misalkan
, maka : 𝑑𝑦2 𝑑𝑦1
12
LATIHAN - 1
13
FKP BERSAMA 2 PEUBAH ACAK YANG SALING BEBAS
14
ILUSTRASI - 2 A man and a woman decide to meet at a certain location. If each of them independently arrives at a time uniformly distributed between 12 noon and 1 P.M., find the probability that the first to arrive has to wait longer than 10 minutes.
15
ILUSTRASI - 2
16
FMP MARGINAL PEUBAH ACAK DISKRET PX ( X x) P( X x, Y y ) y
PY (Y y ) P( X x, Y y ) x
17
FKP MARGINAL PEUBAH ACAK KONTINU
18
ILUSTRASI - 3 Diberikan fkp bersama peubah acak (Y1, Y2)
Tentukan fkp marginal masing-masing Y1 dan Y2
19
LATIHAN - 2 Suppose that a point is uniformly chosen on a square of area 1 having vertices (0,0), (0,1), (1,0), and (1,1). Let X and Y be the coordinates of the point chosen. a)
Find the marginal distributions of X and Y
b)
Are X and Y independent?
20
SEBARAN PELUANG BERSYARAT •
Kasus diskret, f.m.p X dengan syarat Y didefinisikan sebagai
•
Jika dilanjutkan diperoleh
•
Analog untuk kasus kontinu diperoleh
NILAI HARAPAN •
Kasus diskret
•
Kasus Kontinu
NILAI HARAPAN Dapat ditunjukkan bahwa untuk sembarang X dan Y, E(X+Y) = E(X) + E(Y) Dapat pula ditunjukkan bahwa jika X dan Y saling bebas maka E(XY) = E(X) E(Y).
23
PERAGAM (COVARIANCE) Peragam antara X dan Y didefinisikan sebagai
Formula bentuk
tersebut
dapat
disederhanakan
dalam
Sehingga jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
KORELASI (CORRELATION) Peragam antara X dan Y didefinisikan sebagai
dengan
25
REFERENSI 1.
Aidi, M.N., Djuraidah, A. Peluang. Bogor: IPB Press.
2012.
Pengantar
2.
Baron, M. 2014. Probability and Statistics for Computer Scientist, Second Edition. Boca Raton: CRC Press Taylor & Francis Group.
3.
Montgomery, D.C, Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for Engineers, Third Edition. New Jersey: John Wiley & Sons.
4.
Ross, S.M. 2010. A First Course in Probability, 8th Edition. New Jersey: Prentice Hall.
5.
Referensi lain yang relevan. 26
