Kumpulan Soal Turunan [PDF]

Citation preview

1. Tentukan interval dari fungsi f(x) = x2 – 6x jika fungsinya : a. naik b. turun Jawab; f(x) = x2 – 6x f (x) = 2x – 6



a. Fungsi naik jika f (x ) > 0. 2x – 6 > 0 2x > 6 x>3 Jadi fungsi naik pada interval x > 3. b. Fungsi turun jika f (x) < 0. 2x – 6 < 0 2x < 6 x 3. 2. Diketahui f(x) = 3x5 – 5x3, tentukan : a. interval dimana f(x) naik b. interval dimana f(x) turun c. titik stasioner dan jenisnya Jawab: f(x) = 3x5 – 5x3 f (x) = 15x4 – 15x2 f (x) > 0 15x4 – 15x2 > 0 4 Pembuat nol : 15x – 15x2 = 0 15x2(x2 – 1) = 0 15x2(x – 1)(x + 1) = 0 x = 0  x = 1  x = -1 Titik uji:



a. Fungsi naik



+







-1



0



+ 1



Untuk x < -1, misal x = -2  f  (-2) = 15(-2)2(-2 – 1)(-2 + 1) > 0 1 1 1 1 1       f 2 Untuk -1 < x < 0, misal x = 2  ( 2 ) = 15( 2 ) ( 2 – 1)( 2 + 1) < 0 1 1 1 1 1 Untuk 0 < x < 1, misal x = 2  f  ( 2 ) = 15( 2 )2( 2 – 1)( 2 + 1) < 0



Untuk x > 1, misal x = 2  f  (2) = 15(2)2(2 – 1)(2 + 1) > 0 Jadi fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 1. f (x) < 0 b. Fungsi turun  Fungsi turun pada interval -1 < x < 0 atau 0 < x < 1.



c. Syarat stasioner  f (x) = 0 Diperoleh pembuat nol : x = -1, x = 0, x = 1 Untuk x = -1  f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2  (-1, 2) titik maksimum Untuk x = 0  f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0  (0, 0) titik belok Untuk x = 1  f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2  (1, -2) titik minimum Cara lain: f(x) = 3x5 – 5x3 f (x) = 15x4 – 15x2 f (x) = 60x3- 30x



Nilai stasioner tercapai jika f (x) = 0. 15x4 – 15x2 = 0 15x2(x2 – 1) = 0 15x2(x – 1)(x + 1) = 0 x = 0  x = 1  x = -1 Titik stasionernya : x1 = 0  y = f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0  (0, 0) x2 = 1  y = f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2  (1, -2) x3 = -1  y = f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2  (-1, 2) Jenisnya :



x1 = 0  f  (0) = 60(0)3 – 30(0) = 0  (0, 0) titik belok x = 1  f  (1) = 60(1)3 – 30(1) = 30 > 0  (1, -2) titik balik minimum 2



x3 = -1  f  (-1) = 60(-1)3 – 30(-1) = -30 < 0  (-1, 2) titik balik maksimum



Penggunaan Maksimum / Minimum Contoh: 1. Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah : h(t) = 500t – 5t2. a. Setelah berapa detik roket mencapai tinggi maksimum? b. Berapa meter tinggi maksimum itu? Jawab: h(t) = 500t – 5t2 h (t ) = 500 – 10t



a. Roket mencapai tinggi maksimum  h (t ) = 0 500 – 10t = 0 10t = 500 t = 50 Jadi roket mencapai tinggi maksimum setelah 50 detik. b. t = 50  h(50) = 500(50) – 5(50)2 = 25.000 – 12.500 = 12.500 Jadi tinggi maksimum = 12.500 m. 1 2. Fungsi y = x2 + 2x - m mempunyai minimum 2. Carilah m ! Jawab: 1 y = x2 + 2x - m y  = 2x + 2



Minimum dicapai  y  = 0 2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1



1 y = 2  x = -1  2 = (-1)2 + 2(-1) - m 1 3=- m 1  m= 3 Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini :



1. f(x) =3 2. f(x) = 2x 3. f(x) = 3x2 1 4 x  5 x3  7 x  1 4. f(x) = 2 5. f(x) = 3 x 6. f(x) = (2x + 5)(x3- 3x + 5) x3 2 7. f(x) = 5  x 8. f(x) = (10x3 – 2x)5 PENYELESAIAN



1. f(x) = 3  f’(x) = 0 2. f(x) = 2x  f’(x) = 2 3. f(x) = 3x2  f’(x) = 6x 1 4 x  5x 3  7 x  1 4. f(x) = 2  f’(x) = 2x3 + 15x2 - 7 3 1 1 5. f(x) = 3 x  f(x) = 3x 2  f’(x) = x 2  2 x 6. f(x) = (2x + 5)(x3- 3x + 5)  f(x) = 2x4 – 6x2 + 10x + 5x3 – 15x + 25 f(x) = 2x4 + 5x3 – 6x2 – 5x + 25 f’(x) = 8x3 + 15x2 - 12x - 5 x3 2 7. f(x) = 5  x  U = x + 3 , V = 5 – x2 U’ = 1 dan V’ = -2x U ' V  V 'U V2 f’(x) =



1(5  x 2 )  (2 x)( x  3) (5  x 2 ) 2  f’(x) = 5  x 2  2x 2  6x x 2  6x  5 2 4 4 f’(x) = 25  10 x  x  f’(x) = x  10 x  25



8. f(x) = (2x3 – 3)8  U = 2x3 - 3 U’ = 6x2 n-1 f’(x) = n.U .U’ = 8(2x3 – 3 )7. 6x2 = 8(6x2)(2x3 – 3)7 = 48x2 (2x3 – 3)7 FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN 1. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 8x – 9. Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi f(x) turun. Jawab: f(x) = x2 – 8x – 9 f’(x) = 2x – 8 fungsi naik : f’(x) = 0 2x – 8 = 0 2x = 8  x = 4 jadi fugsi naik intervalnya : x > 4 Fungsi turun : f’(x) < 0 2x < 8 maka fugsi turun intervalnya : x < 4 2. Diketahui fungsi f(x) = x3 – 6x2 – 36x + 30 . Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik



dan fungsi f(x) turun. Jawab : f(x) = x3 – 6x2 – 36x + 30 f’(x) = 3x2 – 12x – 36 f”(x) = x2 – 4x – 12 fungsi naik : f’(x) > 0 x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 x = 6 atau x = -2 +++++ ++++++++------------------+++++++++++ ₒₒ -26



Fungsi naik : x < -2 atau x > 6 Fungsi turun : -2 < x < 6 Tentukan nilai stasioner , titik stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi berikut : 1. f(x) = 2x2 + 5x - 3 1 2. f(x) = 3 x3 – 2x2 – 21x + 7 Penyelesain : 1. f(x) = 2x2 + 5x – 3 syarat stasioner f’(x) = 0 4x + 5 = 0 5 4x = -5  x = - 4 5 5 5 2 Nilai stasioner : f(- 4 ) = 2.( - 4 ) + 5. - 4 - 3 49 =- 8 5 49 Titik stasioner : (- 4 , - 8 ) jenis stasioner : titik balik minimum 1 2. f(x) = 3 x3 – 2x2 – 21x + 7 syarat stasioner f’(x) = 0 x2 – 4x – 21 = 0



(x - 7 )(x + 3 ) = 0 x = 7 atau x = -3 1 Nilai stasioner : f(7) = 3 .(7)3 – 2(7)2 – 21.(7) + 7 = 43 1 f(-3) = 3 (-3)3 – 2(-3)2 – 21.(-3) + 7 371 =- 3 371 Titik stasioner : ( 7, 43) atau ( -3, - 3 ) Jenis stasioner : f’’(x) > 0 titik balik minimum f’’(x) < 0 titik balik maksimun 2x – 4 = 2. -3 – 4 371 = - 10  f’’(x) < 0 maka x = -3 adalah titik balik maksimum ( -3, - 3 ) 2x – 4 = 2.7 – 4 = 14 – 4 = 10  f’’(x) > 0 maka x = 7 adalah titik balik minimum (7, 43)