Makalah ANALISIS GALAT [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1.1



Latar Belakang Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analitis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya. Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai GALAT (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi. Masalah-masalah matematika yang sering kita hadapi merupakan masalah matematika yang diselesaikan dengan metode analitik atau metode sejati, yaitu suatu metode yang memberikan solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, karena memiliki galat (error) yang bernilai nol. Tetapi penyelesaian dengan menggunakan metode analitik hanya terbatas pada masalah tertentu saja. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusinya masih dapat dicari yaitu dengan menggunakan metode numerik. Pada metode numerik solusinya merupakan hampiran (pendekatan) terhadap solusi sejati.



1.2



Rumusan Masalah a. Apa itu Galat ? b. Bagaimana yang dimaksud Galat pada Taylor ? c. Apa saja sumber-sumber Galat ? d. Bagaimana perambatan dalam Galat ?



Analisis Galat



1



1.3



Tujuan a. Untuk mengetahui apa itu Galat. b. Untuk mengetahui bagaimana yang dimaksud Galat pada Taylor. c. Untuk mengetahui apa saja sumber-sumber Galat. d. Untuk mengetahui bagaimana perambatan dalam Galat.



Analisis Galat



2



BAB II PEMBAHASAN 3.1



Analisis Galat Kesalahan (error/galat) adalah besarnya perbedaan atau selisih antara nilai taksiran (hampiran/aproksimasi) dengan nilai sesungguhnya (eksak), kesalahan ini biasa timbul karena proses pengukuran atau penggunaan aproksimasi. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak Galat dalam metode numerik disebabkan oleh dua hal, yaitu galat pembulatan (round off error ) dan galat pemotongan (truncation error ). Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut Kesalahan Absolut. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan Kesalahan Relatif. Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai hubungan antara nilai perkiraan dan nilai kesalahan sebagai berikut : 𝒗 = 𝒗′ + 𝜺 Dimana : v = nilai eksak, v’ = nilai perkiraan 𝜺 = nilai kesalahan/eror



2.1.1



Kesalahan Absolut Kesalahan absolut menunjukkan besarnya perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan : 𝜀𝑎 = |𝑣 − 𝑣′| Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan. Analisis Galat



3



2.1.2



Kesalahan Relatif Kesalahan relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam % ) εa x 100 % v



||



ε r= dimana : v = Nilai Eksak 𝜀𝑟 = Kesalahan Relatif 𝜀𝑎 = Kesalahan Absolut



Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai perkiraan yang diperoleh akan semakin baik. Contoh soal 1 : Gusti membeli kabel listrik 30 meter dari sebuah toko alat-alat elektronika. Setelah diukur ulang oleh Isna sesampainya di rumah, kabel tersebut ternyata hanya mempunyai panjang 29,97 meter. Berapa kesalahan absolut dan kesalahan relatif hasil pengukuran yang dilakukan oleh Gusti ? Penyelesaian : Diketahui : v=30 meter v' =29,97 meter Kesalahan absolut : ε a=|30−29,97|=0,03 meter Kesalahan relatif : ×100 %=0,1 % |0,03 30 |



ε r=



Contoh soal 2 :



Analisis Galat



4



Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif ! Penyelesaian : a. Kesalahan absolut : Jembatan : ε a=|v−v '|=|10.000−9999|=1 cm Pensil



: ε a=|v−v '|=|10−9|=1 cm



b. Kesalahan relatif :



Pensil



εa 1 x 100 %= x 100 %=0,1 % v 10000



|| ||



Jembatan : ε r=



: ε r=



|



|



εa 1 x 100 %= x 100 %=10 % v 10



| |



Secara matematis, jika x adalah solusi hampiran x 0 dan solusi eksak, galat dinyatakan oleh e=x 0−x Galat Mutlak, dapat bernilai positif dan negatif. Jika tanda galat tidak seimbang galat mutlak didefenisikan sebagai



|e|=|x 0−x| Ungkapan galat menggunakan rumus di atas kurang begitu bermakna karena tidak menunjukkan secara langsung seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai eksaknya. Sebagai contoh, jika nilai eksaknya x 0=10 dan nilai hampirannya x=7,8. Ketika seseorang melaporkan hasil hitungannya 0,2 tanpa menyebutkan nilai eksaknya, kita tidak mendapatkan informasi yang lengkap. Galat Relatif, istilah galat reatif muncul untuk menghindari salah interpretasi terhadap nilai galat galat relatif didefenisikan sebagai, er =



e x0



Analisis Galat



5



Akan tetapi, dalam metode numerik, kita tidak mengetahui nilai sejatinya sehingga sulit untuk mendapatkan galat relatif ini. Untuk mengatasi hal tersebut, galat dibandingkan dengan nilaihampirannya (disebut galat relatif hampiran), yaitu : e e rh = x 100 % x



3.2 Galat pada Taylor Formula Taylor dengan sisa ditulis sebagai berikut.



f ( x )=f ( a ) + f ' ( a )( x−a )+ f (a)} over {2!} {left (x-a right )} ^ {2} +…+ {{f} ^ {n} left (a right )} over { ¿ Pn ( x ) + Rn (x ) Dengan Pn ( x ) adalah hampiran Taylor untuk fungsi dan Rn (x ) adalah galat atau sisnya, yakni :



Pn ( x ) =f ( a )+ f ' ( a ) ( x−a ) + f (a)} over {2!} {left (x-a right )} ^ {2} +…+ {{f} ^ {n} left (a right )} over Rn ( x )=



f n +1 ( x ) ( x−a )n+1 n+1!



Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusihampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : 



Bagaimana menghitung galat







Bagaimana galat timbul



Misalkan, a^ adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a , maka : ε =a−^a disebut galat. Contoh : Diketahui : a=10,45



a^ =10,5



Penyelesaian : ε =a−^a ε =10,45−10,5=−0,05 Analisis Galat



6



Galat Mutlak



= |ε|=|a− a^|



Galat Relatif Hampiran



ε = ε RA = x 100 % a



Galat Reatif



ε = ε R = x 100 % a



Dalam penerapan dunia maya, tentu saja nilai sebenarnya tidak diketahui sebelumnya, alternatifnya adalah dengan mengambil nilai taksiran (proksimasi). Untuk menghitung aproksimasi yang lebih baik, galat sering ditaksir dengan selisih aproksimasi sekarang dan sebelumnya. 3.3 Sumber-sumber Galat Secara umum terdapat beberapa sumber penyebab galat dalam perhitungan numerik. a) Galat pembulatan Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal ini komputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam komputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333. Komputer tidak dapat menyatakan secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer hanya mampu mempresentasikan sejumlah digit atau bit (1 byte = 8 bit) b) Galat Pemotongan Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang Analisis Galat



7



jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n. Hasil penghitungan sampai langkah ke n akan menjadi hasil hampiran dan nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. dalam hal ini galat pemotongan akan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar. Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak. Namun, kita dapat menghampiri galat pemotongan dengan perhitungan deret Taylor dengan rumus suku sisa : Rn ( x )