Makalah Keterbagian Kel 1 [PDF]

Citation preview

MAKALAH TEORI BILANGAN KETERBAGIAN DIAJUKAN DALAM RANGKA PEMENUHAN TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA Dosen Pengampu: Nursiwi Nugraheni S.Si., M.Pd. dan Siti Maryatul Kiptiyah, S. Si., S.Pd., M.Pd.



Oleh 1.



Wilda Selma Amalia (1401420003)



2.



Muhammad Ircham Sholahudin (1401420153)



3.



Milda Qothruntina Ismadelia (1401420343)



PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2021



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan yang maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayahNya sehingga saya dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul Sifat-sifat keterbagian ini tepat pada waktunya. Adapun tujuan dari penulisan dari makalah ini adalah untuk memenuhi tugas Dosen pada Mata Kuliah Pendalaman Materi Matematika. Selain itu, makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan tentang Matematika bagi para pembaca dan juga bagi penulis. Saya mengucapkan terima kasih kepada Nursiwi Nugraheni, S. Si., M. pd. Dan Siti Maryatul Kiptiyah, S. Si., S. Pd., M. Pd. selaku Dosen Mata Kuliah Pendalaman Materi Matematika yang telah memberikan tugas ini sehingga dapat menambah pengetahuan dan wawasan sesuai dengan bidang studi yang kami tekuni. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membagi sebagian pengetahuannya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Kami menyadari, makalah yang Kami tulis ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan kami nantikan demi kesempurnaan makalah ini.



Penulis,



DAFTAR ISI Daftar Isi ........................................................................................................................ i Kata Pengantar................................................................................................................ ii BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang...............................................................................................1 B. Rumusan Masalah.........................................................................................1 C. Tujuan Pembahasan........................................................................................2 BAB II. PEMBAHASAN A. Definisi Keterbagian Bilangan.......................................................................3 B. Sifat-Sifat Keterbagian Bilangan....................................................................4 C. Ciri Suatu Bilangan yang Habis Dibagi.........................................................5 BAB III PENUTUP A.     Simpulan.....................................................................................................7 B.     Saran...........................................................................................................7 Daftar pustaka.................................................................................................................8



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Dalam menyelesaikan soal dalam matematika penting untuk diketahuitentang teori yang berlaku dalam penyelesaian sebuah soal. Hal ini pentingdilakukan supaya dalam penyelesaiannya memperhatikan prosedurpenyelesaian soal . seperti dalam penyelesaian soal keterbagian.Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalamteori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagianbilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, olehkarenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi pendidikan matematikaharus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi haltersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalambentuk catatan yang akan menambah pengetahuan kita semua sebagaimahasiswa pendidikan matematika. Keterbagian (divisibility) merupakan bahan dasar dalam uraian lebih lanjut tentang pembahasan teori bilangan. Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, maka hasil pembagiannya adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat. Keadaan inilah yang



mendasari definisi keterbagian. Jadi Keterbagian adalah Sebuah



bilangan bulat b dapat dibagi sebuah bilangan bulat a, jika ada bilangan x sedemikian hingga b= ax dan dapat dituliskan a|b Atau dapat dikatakan b kelipatan dari a atau juga a pembagi b B. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah :



1. Apa definisi dari keterbagian bilangan? 2. Apa saja sifat-sifat keterbagian bilangan? 3. Bagaimana ciri suatu bilangan yang habis dibagi?



C. Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah : 1. Menjelaskan apa yang dimaksud keterbagian bilangan 2. Menjelaskan apa saja sifat-sifat keterbagian bilangan 3. Pembaca mengetahui ciri suatu bilangan yang habis dibagi dan dapatmenerapkannya dalam soal keterbagian.



BAB II PEMBAHASAN A. Definisi Keterbagian Bilangan Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain. Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, maka hasil pembagiannya adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat. Keadaan inilah yang mendasari definisi keterbagian. Sebuah bilangan bulat b dapat dibagi sebuah bilangan bulat a, jika ada bilangan x sedemikian hingga b= ax dan dapat dituliskan a| b Atau dapat dikatakan b kelipatan dari a atau juga a pembagi b Kita menulis 5┼12 untuk menyatakan bahwa 12 tidak dapat dibagi (tidak habis dibagi) oleh 5, atau 5 tidak membagi 12. Penulisan 5┼12 juga untuk menyatakan bahwa 12 adalah bukan kelipatan 5 dan 5 adalah bukan faktor dari 12. Di dalam operasi pembagian seperti 12 : 3 = 4, semua pernyataan pada kolom kiri di bawah ini adalah benar. Setiap pernyataan pada kolom kiri tersebut dapat dituliskan sebagai 3|12. Contoh



Pernyataan Umum



12 dibagi oleh 3



a dibagi oleh b



3 adalah pembagi 12



b adalah pembagi 12



12 adalah kelipatan dari 3



a adalah kelipatan dari b



3 adalah fak tor dari 12



b adalah faktor dari a



3 membagi 12



b membagi a



Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x. Contoh : 1)      3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3. 2)      3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga –30 = (-10)3.



3)      –6 │ 42, karena ada bilangan bulat 7 sedemikian sehingga  42 = (7)-6 B. Sifat- Sifat Keterbagian Jika a,b,c   bilangan bulat maka berlaku: 1)



a│ b →  a │bc,  untuk setiap c bilangan bulat. Bukti Jika d│a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n) = dk(n). Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan ketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadi d│na



2)



(a │ b, b │c) → a │ c. Bukti a│b dan b│k maka menurut definisi, terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut definisi, a│k.



3)     (a │ b, b │a) → a = ± b. 4)     (a │ b, a │c) → a │ (b ± c). Bukti d│a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d│b mengakibatkan b = nd, suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)d Karena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d│ (a + b). Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d│ (a + b). 5)     (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap  x,y  bilangan bulat. Bukti j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j│(ka+lb). Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c 6)     ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b. 7)     a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0 8)    ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.



C. Ciri Suatu Bilangan Yang Habis Dibagi Ada beberapa teorema yang berkaitan dengan ciri suatu bilangan yang habis dibagi, yaitu a. Teorema 7-10 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka (a+b+c) juga habis dibagi x b. Teorema 7-11 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka (a-b-c) juga habis dibagi x c. Teorema 7-12 : untuk a,b,c € Z jika a | c, maka c | ab



 KETERBAGIAN OLEH 2, 2n, 3, 5, DST 



Bilangan yang habis dibagi oleh 2Setiap bilangan genap habis dibagi 2. Contohnya 4, 6, 8, dan masih banyak lagi.







Bilangan yang habis dibagi oleh 2n  Untuk n=1 maka suatu bilangan yang habis dibagi 2 jika satu bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.  Untuk n=2 maka suatu bilangan yang habis dibagi 4 jika dua bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4. Apakah 11348 habis dibagi 4? Kita ambil dua digit terakhir 48 ternyata habis dibagi 4, jadi 11348 habis dibagi 4  Utuk n=3 maka suatu bilangan yang habis dibagi 8 jika tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8. Apakah 532096 habis dibagi 8? Kita ambil tiga digit terakhir yaitu bilangan 096 ternyata habis dibagi 8, jadi 532096 habis dibagi  3







Suatu bilangan habis dibagi 3, jika jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angkanya habis dibagi 3. Bukti : misalkan a € Z dengan 1< a9, maka Bilangan puluhan bisa ditulis a(9+1) Bilangan ratusan dapat ditulis a(99+1) Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1) Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999+ 1) dan seterusnya.



Contoh : 123 = 1(99+1) + 2(9+1) + 3 = (1.99 +2.9) + (1+2+3) 1.99 2.9 habis dibagi 3, maka 123 habis dibagi 3. 



Suatu bilang an habis dibagi lima, jika angka paling kanan dari bilangan tersebut adalah 5 atau 0. Bukti : i.



misalkan bilangan tersebut ab, yang berarti ab = a.10 + b. dengan b=5, karena ada a.10 merupakan kelipatan 5, berarti a.10 habis dibagi 5, sedangkan b=5 juga habis dibagi 5, sehingga secara keseluruhan ab habis dibagi 5.



ii.



10 habis dibagi 5, setiap bilangan yang angka terakhirnya nol berarti puluhan atau kelipatan sepuluh, maka jelas bilangan tersebut habis dibagi 5.



Contoh : 235 = 2.100 + 3.10+ 5 2.100 habis dibagi 5, 3.10 habis dibagi 5 dan 5 juga habis dibagi 5. Oleh sebab itu, 235 habis dibagi 5



BAB III PENUTUP



A.



Simpulan Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sembarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Keterbagian juga memiliki beberapa sifat-sifat khusus yang sudah dijelaskan diatas.



B.



Saran Setelah membaca makalah ini  kita semua dapat mengatakan bahwa matematika itu asyik. Setelah kita belajar tentang keterbagian kita akan lebih tertantang lagi dan lebih bersemangat dalam belajar khususnya matematika. Namun seperti apa kata pepatah pasti tidak ada gading yang tak retak apalagi mengenai sesuatu yang diciptakan manusia pastilah tidak ada yang sempurna. .



DAFTAR PUSTAKA



Aulia, L. N. (2012, Mei 7). Teori Bilangan Keterbagian. Retrieved from Teori Bilangan: http://lutfi-nurul-aulia.blogspot.com/2012/05/makalah-teori-bilangan-keterbagian.html Salim, A. (2015, February 6). Keterbagian Bilangan Bulat. Retrieved from asbarsalim009.blogspot.com: https://asbarsalim009.blogspot.com/2015/02/keterbagianbilangan-bulat.html



Feriyanto, M., Pd, S., & Pd, M. (2016). Modul Teori Bilangan.