Makalah Limit Kelompok 5... [PDF]

Citation preview

LIMIT MAKALAH MATEMATIKA DASAR Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Matematika Dasar Program Sarjana Universitas Negeri Makassar (UNM) Dosen Pengampu : Dr. Iwan Suhardi ,M.T



Disusun Oleh : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.



ZULKIFLI JULINDA SARI WIWIANI JESIKA ILMA ALYA RASTA AQSHAL BIN ICHSAN NURNABILA HARSIVA MUH. FACHRUDDIN M. NUR ROHIM TOYIB PRASETY



: 210204501015 : 210204501011 : 210204500012 : 210204501013 : 210204501012 : 210204501019 : 210204501017 : 210204501018



JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR (UNM) OKTOBER 2021



KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang maha Esa. Tuhan dari segala makhluk dan seluruh apa yang ada di alam semesta ini, karena berkat rahmat dan hidayahnyalah kami kelompok 5 mampu menyelesaikan tugas matematika kami yang membahas materi Limit. Kami juga berterimakasih kepada bapak dosen yang telah memberikan kami waktu dan kesempatan untuk menyelesaikan dan memaparkan tugas kami kepada teman-teman. Kami menyadari akan ketidak sempurnaan hasil kerja kami dan kami sadar kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Maka dari itu kritik dan saran temanteman sekalian sangatlah bermanfaat bagi kami untuk menjadikan tugas ini menjadi lebih baik lagi dan menambah motivasi dan semangat kami. Kami berharap agar materi yang kami paparkan dapat bermanfaat bagi banyak orang dan dapat digunakan sebagaimana fungsinya.



Parepare, 06 Oktober 2021



Penyusun



ii



DAFTAR ISI



HALAMAN SAMPUL.......................................................................................................i KATA PENGANTAR.......................................................................................................ii DAFTAR ISI....................................................................................................................iii BAB I.................................................................................................................................1 PENDAHULUAN.............................................................................................................1 A.



Latar Belakang.......................................................................................................1



B.



Rumusan masalah...................................................................................................1



C.



Tujuan....................................................................................................................1



BAB II...............................................................................................................................2 PEMBAHASAN................................................................................................................2 A.



Pengertian Limit.....................................................................................................2 1.



Pengertian Limit Secara Umum..........................................................................2



2.



Pengertian Limit Secara Intuitif..........................................................................2



B.



Limit Fungsi Aljabar..............................................................................................3 1.



Dalil L’Hopital...................................................................................................3



2.



Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu .4



3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga6 C.



Teorema Limit........................................................................................................9



D.



Limit Fungsi Trigonometri...................................................................................10



E.



Penerapan Limit Pada Kehidupan Sehari-hari......................................................12



BAB III............................................................................................................................16 PENUTUP.......................................................................................................................16 A.



Kesimpulan..........................................................................................................16



B.



Saran....................................................................................................................16



DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................17



iii



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Limit fungsi merupakan salah satu pokok bahasan yang baru ada di tingkat pendidikan SMA. Pokok bahasan ini merupakan bagian dari pengantar kalkulus. Kalkulus sendiri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting, karena di dalamnya dipelajari tentang hitung differensial dan hitung integral. Hitung differensial dan hitung integral sangat diperlukan pada cabang lain dari matematika seperti statistika maupun bidang-bidang lain di luar matematika seperti fisika, kimia dan teknik.



B. Rumusan masalah Berdasarkan Latar Belakang di atas maka ada beberapa rumusan masalah yang dapat di paparkan sebagai berikut: 1. Apakah yang dimaksud dengan limit ? 2. Apakah yang dimaksud dengan limit fungsi aljabar bila variabelnya mendekati nilai tertentu dan bila variabelnya mendekati tak terhingga ? 3. Apakah yang dimaksud dengan teorema limit ? 4. Apakah yang dimaksud dengan limit fungsi trigonmetri ? 5. Bagaimana pengaplikasian limit dalam kehidupan sehari hari ?



C. Tujuan 1. Mengetahui dan memahami apa yang dimaksud limit 2. Mengetahui dan memahami limit fungsi aljabar bila variabelnya mendekati nilai tertentu dan bila variabelnya mendekati tak terhingga 3. Mengetahui dan memahami teorema limit 4. Mengetahui dan memahami limit fungsi aljabar 5. Mengetahui dan memahami penerapan limit dalam kehidupan sehari hari



1



BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Limit 1. Pengertian Limit Secara Umum Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit. Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:



2. Pengertian Limit Secara Intuitif Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut. Untuk dapat memahami limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut : Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) =



𝑥2−𝑥−2 𝑥−2 0



(tidak dapat ditemukan)



Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =



0



Untuk itu perhatikan tabel berikut: x



0



1,1



1,5



1,9



1,999



2.000



2,001



2,01



2,5



2,7



f(x)



1



2,1



2,5



2,9



2,999



???



3,000



3,01



3,5



3,7



Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f(x) =



𝑥2−𝑥−2 𝑥−2



: mendekati 3. Jika



x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri ( disebut limit kiri) maupun didekati dari kanan ( disebut limit kanan). Dapat ditulis :



2



3



lim =



𝑥→2



𝑥2 − 𝑥 − 2 =3 𝑥−2



B. Limit Fungsi Aljabar 1. Dalil L’Hopital Dalam permasalahan suatu limit sering kali kita dihadapkan pada soal yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 atau ∞. Jika menemukan masalah seperti ini, 0



∞



limit tidak dapat dikerjakan dengan menggunakan cara substitusi langsung. Limit yang menghasilkan bentuk tak tentu seperti ini dapat diselesaiakan dengan cara memfaktorkan, membagi dengan pangkat tertinggi, atau mengelikan dengan faktor kawan/bentuk sekawan untuk fungsi dalam bentuk akar. Selain itu, kita dapat menggunakan aplikasi turunan dalam menentukan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu tersebut. Aplikasi ini dikenal dengan aturan L'Hopital atau lebih populer dikenal sebagai dalil L'Hopital



Contoh : Dengan menggunakan dalil L’Hopital, tentukanlah nilai dari lim berikut : 𝑥+3 lim 2 𝑥→−3 𝑥 − 9 Penyelesaian : 𝑥+3 1 1 1 lim 2 = lim = 𝑥→−3 𝑥 − 9 𝑥→−3 2𝑥 2(−3) = − 6



2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu Dalam menentukan nilai suatu limit dapat ditentukan dalam beberapa cara, yaitu : a. Metode Subtitusi Perhatikanlah contoh berikut! Contoh : Tentukan nilai dari : lim = (𝑥2 − 8)



𝑥→3



Penyelesaian : Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung yaitu dengan cara mensubtitusikan x = 3 ke f(x). lim = (𝑥2 − 8) = 32 − 8 = 9 − 8 = 1 𝑥→3



Artinya bila mana x dekat 3 maka 𝑥2 − 8 dekat pada 32 − 8 = 9 − 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut : 1) Jika f(a) = c, maka lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥→𝑎



2) Jika f(a) = 𝑐 0 3) Jika f(a) = 0 𝑐



,maka lim 𝑓(𝑥) = ~ 𝑥→𝑎



,maka lim 𝑓(𝑥) = 0 𝑥→𝑎



b. Metode Pemfaktoran Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikan contoh berikut! Contoh: Tentukan nilai dari lim 𝑥→3



𝑥2 − 9 𝑥−3



!



Jika x = 3 kita subtitusikan maka f(3) =



32 −9 3−3



0



=0



Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Untuk menentukan nilai lim 𝑥 −9



2



! , kita harus mencari



𝑥→3 𝑥−3



fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu , kita tinggal memfaktorkan fungsi f(x) sehingga menjadi : (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)



= (𝑥 + 3). (



(𝑥 − 3)



𝑥−3 )=1 𝑥−3



2 ( ) Jadi lim 𝑥 − 9 = lim 𝑥 − 3 (𝑥 + 3) 𝑥→3 𝑥→3 𝑥 − 3 (𝑥 − 3)



= lim(𝑥 + 3) 𝑥→3



= 3+3=6 c. Merasionalkan Penyebut Cara yang ketiga ini digunakan apabila penyebutnya berbentuk akar, maka harus dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan angka 0. Perhatikan contoh berikut! Contoh : Tentukan nilai dari lim



𝑥2 − 3𝑥 + 2 √𝑥 − 2



𝑥→2



!



Penyelesaian : lim



𝑥→2



𝑥2 − 3𝑥 + 2 √𝑥 − 2



= lim



𝑥2 − 3𝑥 + 2



𝑥→2



= lim



√𝑥 − 2



.



√𝑥 − 2 √𝑥 − 2



(𝑥2 − 3𝑥 + 2) (√𝑥 − 2



𝑥→2



(√𝑥 − 2)



2



(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(√𝑥 − 2) 𝑥→2 (𝑥 − 2 )



= lim



= lim(𝑥 − 1)√𝑥 − 2 𝑥→2



= (2 − 1). √2 − 2 = 1.0 = 0



d. Merasionalkan Pembilang Perhatikan contoh berikut! Contoh : Tentukan nilai lim √3𝑥 − 2 − √4𝑥 − 3 𝑥→1



𝑥−1



!



Penyelesaian : lim



√3𝑥 − 2 − √4𝑥 − 3 𝑥−1



𝑥→1



√3𝑥 − 2 + √4𝑥 − 3 = lim √3𝑥 − 2 − √4𝑥 − 3 . 𝑥→1 √3𝑥 − 2 + √4𝑥 − 3 𝑥−1 2



= lim



(√3𝑥 − 2) − (√4𝑥 − 3) 2



𝑥→1 (𝑥



= lim



− 1)(√3𝑥 − 2 + √4𝑥 − 3) −𝑥 + 1



𝑥→1 (𝑥



= lim



𝑥→1 (𝑥



= lim



− 1)(√3𝑥 − 2 + √4𝑥 − 3) −(𝑥 − 1) − 1)(√3𝑥 − 2 + √4𝑥 − 3) −1



𝑥→1 (√3𝑥



= =



− 2 + √4𝑥 − 3) −1



(√3.1 − 2 + √4.1 − 3) −1 1+1



=−



3. Menentukan



1 2



Limit



Fungsi



Aljabar



Bila



Variabelnya



Mendekati Tak Berhingga Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga, diantaranya: lim 𝑓(𝑥) 𝑥→~



𝑔(𝑥)



𝑑𝑎𝑛 lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑥→~



Untuk menentukan nilai limit dari bentuk –bentuk tersebut,dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: a. Membagi Dengan Pangkat Tertinggi



Cara ini digunakan untuk mencari nilai lim



𝑓(𝑥)



𝑥→~ 𝑔(𝑥)



.Caranya dengan



membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x) dan g(x). Contoh : Tentukan nilai limit dari : i. ii.



lim



4𝑥−1



𝑥→~ 2𝑥+1 4𝑥+1



lim



𝑥→~ 𝑥2−𝑥



Penyelesaian : i.



Untuk menentukan nilai dari lim



4𝑥−1



perhatikan pangkat tertinggi dari



𝑥→~ 2𝑥+1



x pada f(x) = 4x -1 dan g(x) = 2x+1. Ternyata pangkat tertiggi x adalah satu 4𝑥 1 −1 𝑥 4𝑥 − 1 = lim lim 1 𝑥→~ 2𝑥 + 1 𝑥→~ 2𝑥 + 𝑥 𝑥 1 4 𝑥 = lim − = 1 𝑥→~ 2+𝑥 1 4 − ~ = 1 2+~ =



4−0 2+0 4



=



2 =2 ii.



Perhatikan fungsi h(x) =



4𝑥+1



fungsi tersebut memiliki x dengan



𝑥2−𝑥



pangkat tertinggi 2, yaitu 𝑥2yang terdapat pada 𝑥2 − 𝑥 jadi, untuk menentukan nilai lim



4𝑥+1



𝑥→~ 𝑥2−𝑥



dengan x2.



maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 1 harus dibagi



lim 𝑥→~



4𝑥 1 𝑥 +𝑥



4𝑥 + 1



= lim 2 2 2 𝑥→~ 𝑥 2 𝑥 −𝑥 − 𝑥2 𝑥2 2



𝑥4 + 𝑥1 2 2 𝑥→~ 1− 2 𝑥 4 1 ~ + ~2 = 2 1 − ~2 = lim



0+0 1−0



=



0 =



1



=0 b. Mengalikan Dengan Faktor Lawan Cara ini digunakan untuk menyelesaikan lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]. Jika kita 𝑥→~



diminta menyelesaikan lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] maka kitaharus mengalikan 𝑥→~



[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] dengan lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)].



𝑥→~



lim



𝑥→~



[𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)] [𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥)]



sehingga bentuknya menjadi:



[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]



{[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2} 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)



ataupun sebaliknya.



Contoh : tentukan nilai dari lim √𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 + 𝑥 𝑥→~



Penyelesaian : lim √𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 + 𝑥



𝑥→~



= lim √𝑥2 + 2𝑥 − √𝑥2 + 𝑥 . 𝑥→~



= lim



(𝑥2 + 2) − (𝑥2 + 1)



𝑥→~ √𝑥2



+ 2𝑥 + √𝑥2 − 𝑥



√𝑥2 + 2𝑥 + √𝑥2 − 𝑥 √𝑥2 + 2𝑥 + √𝑥2 − 𝑥



3𝑥



= lim



𝑥→~ √𝑥2



= lim 𝑥→~



=



=



+ 2𝑥 + √𝑥2 − 𝑥 3𝑥 𝑥



𝑥2 2𝑥 𝑥2 𝑥 √2 + 2 +√2 − 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 3



√1 + 0 + √1 − 0 3 2



C. Teorema Limit Teorema limit akan disajikan sebagai berikut ini sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limi. Misalkan n bilangan bulat positif,k sebuah konstanta dan f/g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di a maka : 1. lim 𝑘 = 𝑘 𝑥→𝑎



2. lim 𝑥 = 𝑎 𝑥→𝑎



3. lim 𝐾 𝑓(𝑥) = 𝑘 lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



4. lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



5. lim 𝑉[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥). lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎



6. lim



𝑥→𝑎



𝑓( 𝑥 )



=



𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)



lim𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎



lim𝑔(𝑥)



𝑥→𝑎



, dimana lim 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



𝑛



7. lim[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim𝑓(𝑥)] 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



8. lim 𝑛√𝑓(𝑥) = 𝑛 lim𝑓(𝑥) , dimana lim𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑛 bialngan genap √𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎



lim𝑓(𝑥) ≤ 0 untuk 𝑛 bilangan ganjil.



𝑥→𝑎



Contoh : Carilah a. lim(3𝑥2 − 𝑥)! 𝑥→4



b. lim√ 𝑥→3



𝑥2 + 9 2𝑥



Penyelesaian :



a. lim(3𝑥2 − 𝑥) = lim3𝑥2 − lim 𝑥→4



𝑥→4



𝑥→4 2



= 3 lim𝑥 − lim 𝑥→4



𝑥→4



2



= 3 [lim] − lim 𝑥→4



𝑥→4



= 3. (4)2 − 4 = 3 .16 − 4 = 44



b. lim√ = 𝑥→3



𝑥2 + 9



. lim√𝑥2 + 9 𝑥→3



. lim2𝑥



2𝑥



𝑥→3



=



lim(𝑥2 + 9) √ .𝑥→3 2. lim𝑥 𝑥→3



=



lim𝑥2 + lim9 √𝑥→3 𝑥→3



2lim 𝑥→3 2



√(lim) + lim =



𝑥→3



2lim



𝑥→3



𝑥→3



2



√3 + 9 2.3 1 √18 3 = = √2 = √2 6 6 2 =



D. Limit Fungsi Trigonometri Rumus limit fungsi trigonometri :



1. Limit Fungsi Sinus a. lim



𝑥



𝑥→0 sin



b. lim



𝑥→0



c. lim



𝑥



=1



𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥 𝑎𝑥



𝑥→0 sin



𝑎𝑥



=1 =1



d. lim



sin 𝑎 𝑥



𝑥→0



=1



𝑎𝑥



2. Limit Fungsi Tangens a. lim



𝑥



𝑥→0 tan



b. lim



𝑥→0



c. lim



𝑥→0



=1



𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑥 𝑎𝑥



𝑥→0 tan



d. lim



𝑥



=1 =1



𝑎𝑥



tan 𝑎 𝑥 𝑎𝑥



=1



Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi trigonometri berikut : sin 3𝑥 𝑥→0 2𝑥



a. lim



b. lim sin 5𝑥 𝑥→0 sin 2𝑥



Penyelesaian : sin 3𝑥 sin 3𝑥 . 3𝑥 = lim 2𝑥 𝑥→0 2𝑥 𝑥→0 3𝑥



a. lim



= lim sin 3𝑥 . lim 3𝑥 𝑥→0 3𝑥 𝑥→0 2𝑥 3 =1.



=



2 sin 5𝑥 sin 5𝑥 b. lim = lim 𝑥→0 sin



𝑥



2



2



3



. 𝑥→0



5𝑥



2𝑥



.



5𝑥



𝑠𝑖𝑛2𝑥 5𝑥



= lim sin 5𝑥 . lim 2𝑥 . lim 5𝑥 𝑥→0 5𝑥 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑥→0 5𝑥 5 = 1 .1 .



2



5 =



2



E. Penerapan Limit Pada Kehidupan Sehari-hari Dalam kehidupan sehari – hari kita sering mendengar kata “hampir” atau “mendekati”. Contohnya Moh. Salah hampir mencetak gol, kecepatan mobil itu mendekati 150 Km/jam dan sebagainya. Kata “hampir” atau “mendekati” dalam matematika disebut dengan limit. Sehingga limit dapat diterapkan dalam berbagai bidang seperti berikut : 1. Bidang Fisika Dalam bidang fisika limit dapat digunakan dalam menentukan kecepatan dan percepatan suatu benda 



Kecepatan Rumus : 𝑣(𝑡) = lim ∆𝑠 ( ) = lim 𝑠 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑠(𝑡) ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡







Percepatan Rumus : 𝑎(𝑡) = lim ∆𝑣 = lim 𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡) ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡 Contoh Soal : Perpindahan suatu benda pada saat t detik diberikan



oleh



persamaan s = 10.sin 2t , sengan s adalah jarak yang dinyatakan dalam meter . Tentukan kecepatan benda tersebut pada saat 𝑡 = 𝜋



6



detik dan percepatan benda tersebut pada saat 𝑡 =



3𝜋 4



detik



Pembahasan : 𝑠(𝑡) = 10 . sin 2𝑡 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) = 10. 𝑠𝑖𝑛2(𝑡 + ∆𝑡) ( ) 𝑣(𝑡) = lim ∆𝑠 = lim 𝑠 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑠(𝑡) ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡 10 . sin(2𝑡 + 2∆𝑡) − 10. sin = lim 2𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 10 [sin(2𝑡 + 2∆𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2𝑡] ∆𝑡 = lim 10 [2. cos(2𝑡 + 2∆𝑡) − 𝑠𝑖𝑛2𝑡] ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑠𝑖𝑛∆𝑡 = lim 20. cos(2𝑡 + ∆𝑡) . lim ∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡 = 2. cos 2𝑡 𝜋



Jadi kecepatan benda saat 𝑡 = detik adalah : 6



𝜋 𝜋 𝑣 = ( ) = 20. cos 2 . 6 6 𝜋 = 20 . cos 3 1 = 20. 2 = 10 𝑚/𝑑𝑒𝑡 𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡) ∆𝑡→0 ∆𝑡 20 . 𝑐𝑜𝑠 (2𝑡 + 2∆𝑡) − 20 . cos 2𝑡 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡 20 [cos(2𝑡 + 2∆𝑡) − cos = lim 2𝑡] ∆𝑡→0 ∆𝑡 20 [−2 . sin(2t + ∆t). sin = lim ∆t ∆𝑡→0 ∆𝑡



𝑎(𝑡) = lim



= lim − 40 . sin(2𝑡 + ∆𝑡). lim ∆𝑡→0



𝑠𝑖𝑛∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡



= −40 . sin 2𝑡 Jadi percepatan benda saat 𝑡 =



3𝜋 4



:



3𝜋 3𝜋 𝑎 ( ) = −40 . sin 2 4 . 4 3𝜋 = −40 . sin = −40. −1



4



= 40 𝑚2/𝑑𝑒𝑡 2. Bidang Kedokteran Limit juga berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest. Pada kasus ini sang dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak bisa menentukan dengan cepat bagian sel mana yang rusak di jantung sementara sel jantung itu sangat banyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan penghitungan limit untuk menebak



luas



area



sel



jantung



yang



rusak. Contoh lain adalah populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit. 3. Bidang Kimia Dalam bidang kimia, limit dapat digunakan untuk menentukan tanggal kadaluwarsa. Contohnya : Tentukan tanggal kadaluarsa atau waktu maksimum dari sebuat produk susu sapi, jika setelah pengujian didapatkan persamaan 45 𝑓(𝑡) = 15 + 𝑡 sin 𝑡 dengan f(t) jumlah hari dan t satuan waktu dalam sekon. Penyelesaian : lim (15 + 𝑡 sin



𝑡→∞



Misalkan 𝑡 =



45



45 ) 𝑡 45 → 𝑝=



𝑝



Karena 𝑡 → ∞ , maka𝑝 =



𝑡 45 ∞



=0



15



= lim (15 + 𝑝→0



45 𝑝



sin 𝑝) 4 = 15 + 5 lim 𝑝→0 s i = 15 n + 45 .1 � = 60 � hari � � Maka tanggal kadaluarsa/waktu maksimum produk susu kemasan tersebut adalah 60 hari 4. Bidang Ekonomi Dalam



bidang



ekonomi



limit



fungsi



sering



digunakan oleh pemerintah dalam menentukkan pajak yang harus dibayar oleh masyarakat. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi juga sering digunakan dalam menghitung biaya rata-rata dan bunga.



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan Dalam bahasa matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi



jika



didekatkan dari titik tertentu . Mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu? Hal ini deisebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada semua titik. Faktor terpenting adalah memahami konsep dan definisi dari limit itu sendiri dan juga sifat - sifatnya



B. Saran Dengan demikian lah makalah ini , dan tentunya makalah ini masih banyak kekurangan yang harus dilengkapi untuk mencapai kesempurnaan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu kami memohon segala kerendahan hatinya, untuk memberikan saran dan kritikannya yang membangun, dengan harapan makalah ini bisa lebih sempurna



16



DAFTAR PUSTAKA



Albab, U. (2015, Maret 03). Manfaat Limit Dalam Kehidupan Sehari-hari. Dipetik Oktober 07, 2021, dari ululalbab31n.blogspot.com: https://ululalbab31n.blogspot.com/2015/03/manfaat-limit-dalam-kehidupansehari.html APIQ, P. (2009, November 09). CARA MUDAH MENGHITUNG LIMIT DENGAN DALIL L’HOSPITAL. Dipetik Oktober 06, 2021, dari apiqquantum.com: https://apiqquantum.com/2009/11/09/cara-mudah-menghitung-limit-dengan-dalillhospital/ Indonesia, S. B. (2020, Maret 17). Materi Limit Fungsi Aljabar. Dipetik Oktober 06, 2020, dari materi-limit-fungsi-aljabar: http://bunyan.co.id/materi-limit-fungsi-aljabar/ MT, E. (2021, April 20). Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-sifatnya. Dipetik Oktober 06, 2012, dari ruangguru.com/blog: https://www.ruangguru.com/blog/konsep-limitfungsi-aljabar-dan-sifat-sifatnya Setiawati, I. (2021, September 08). Aplikasi Penerapan Limit Fungsi Trigonometri Dalam Bidang Ilmu kimia. Dipetik Oktober 15, 2021, dari Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=Oex27Mz50u4 Wisnu. (2021, Juli 26). Limit Trigonometri: Pengertian, Rumus, Contoh Soal. Dipetik Oktober 07, 2021, dari rumuspintar.com: https://rumuspintar.com/limit-trigonometri/ Zayyan, S. (2020, Agustus 19). Aplikasi Limit Trigonometri pada Kecepatan dan Percepatan Suatu Benda. Dipetik Oktober 15, 2021, dari Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=RQC_etrIJ80



17