Makalah Logika Matematika [PDF]

Citation preview

A. LATAR BELAKANG Merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari. Merupakan matakuliah penting terutama bagi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam seperti Ilmu Komputer. Topik ini sangat penting karena dapat meningkatkan daya nalar mahasiswa dan dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata dan pada saat mempelajari matakuliah lainnya. Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para mahasiswa memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang matakuliah ini. Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme. B. TUJUAN Makalah ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan sekaligus sebagai tugas matakuliah itu sendiri.



BAB II PEMBAHASAN VALIDITAS PEMBUKTIAN A. Premis Dan Argumen Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal.suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan- pernyataan yang saling berelasi. Suatu penalaran disebut valid ( tepat, konsisten) jika kesimpulannya ditarik dari premis-premis yang ada. Premis adalah pernyataan-pernyataan, data, bukti atau dasar yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan. Sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedangkan yang dimaksud dengan argument adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung buktibukti (evidence) dan suatu ( satu ) konklusi. Konklusi ( kesimpulan ) adalah pernyataan yang dihasilkan berdasarkan data yang terdapat dalam premis-premis. Dengan demikian, logika menaruh perhatian pada penalaran validitas atau ketepatannya tanpa memandang apakah premis-premis itu sesuai atau tidak sesuai dengan fakta-fakta. Logika tidak menaruh perhatian pada kebenaran premis-premis, juga tidak pada ketentuan dengan mana premis-premis itu diketahui. Contoh : Semua orang Lamaholot adalah orang Indonesia. Semua orang Flores Timur adalah orang lamaholot. Jadi, Semua Orang Flores Timur adalah orang Indonesia. Penalaran ini valid dan benar. Dikatakan valid karena kesimpulannya ditarik berdasarkan premis-premis yang ada. Dikatakan benar karena pernyataan semua orang flores Timur



adalah Orang lamaholot itu sesuai dengan kenyataan. Perlu diperhatikan bahwa kebenaran adalah kesesuaian suatu proposisi atau pernyataan dengan fakta. Dalam hala ini fakta berarti sesuatu yang secara actual ada atau terjadi. Contoh : Semua orang Flores adalah orang katolik. Yohanes adalah orang Flores. Jadi, Yohanes adalah orang katolik. Penalaran ini valid tetapi kesimpulannya salah. Penalaran ini valid karena Yohanes adalah orang katolik ditarik berdasarkan premis-premis yang ada. Kesimpulannya salah karena premis-premis dan kdesimpulannya tidak sesuai dengan kesimpulannya. Kesalah terjadi karena pernyataan.



Semua orang Flores adalah orang katolik



itu tidak sesuai dengan



kenyataan. Uraian-uraian diatas memperlihatkan bahwa logika menaruh perhatian pada validitas atau ketepatan penalaran. Namun karena tujuan logika adalah memperoleh kebenaran baik kebenaran formal (valid) maupun kebenaran material (benar), maka suatus argument atau penalaran disebut logis jika ia valid dan benar. B. Validitas Pembuktian Konklusi sebaiknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi. Dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah. Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu



pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens dan Modus tolens. 1. Modus Ponens Jika benar dan p benar maka q benar.



Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut : . . . . . . premis 1 p



. . . . . . premis 2 . . . . . kesimpulan / konklusi



Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Tabel nilai kebenaran dari p B B S S



q B S B S



B S B B



B S S S



B B B B



Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa merupakan tautologi, jadi argumen tersebut sah.



Contoh : Tentukan konklusi dari tiap premis-premis berikut ini. Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian Premis 2 : saya belajar Jawab : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian P



q



saya belajar \q



……… premis 2 ……… Konklusi



Jadi, konklusinya adalah “saya lulus ujian “. 2. Modus Tollens Jika benar dan benar maka p benar Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut: . . . . . premis 1 ~q



……… premis 1



. . . . . premis 2



~p . . . . . . kesimpulan / konlusi Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut ! Tabel nilai kebenaran p B B S S



q B S B S



~p S S B B



~q S B S B



B S B B



S S S B



B B B B



Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwamerupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah . Contoh : Tentukan konklusi dari tiap premis-premis berikut. Premis 1 : jika hari hujan maka saya memakai jas hujan Premis 2 : saya tidak memakai jas hujan Jawab : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan P



………. premis 1



q



Saya tidak memakai jas hujan



………….. premis 2



~q \~p



………….. Konklusi



Jadi, Konklusinya adalah “ hari tidak hujan “.



3. Silogisme Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut : .....



premis 1



.....



premis 2



...



kesimpulan / konklusi



Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :



Tabel nilai kebenaran . p B B B



q B B S



r B S B



B B S



B S B



B S B



B S S



B B B



B S S S S



S B B S S



S B S B S



S B B B B



B B S B B



S B B B B



S B S B B



B B B B B



Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah. Contoh; Tentukan konklusi dari premis berikut ini. Jika x bilangan real maka x2 ≥ 0



…………. Premis 1



Jika x2 ≥ 0, maka ( x2+1) > 0



………… premis 2



Jawab : Jika x bilangan real maka x2 ≥ 0 P



q



Jika x2 ≥ 0, maka ( x2+1) > 0 P



…………. Premis 1



………… premis 2



r



\ :pÞr Jadi konklusinya adalah “ jika x bilangan real, maka ( x2 +1) > 0 “.



4. Silogisma Disjungtif Premis 1 : p ∨ q Premis 2 : ~ q Konklusi : p Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid. Premis 1 : p ∨ q Premis 2 : q Konklusi : ~ p Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan



p dan q tidak sekaligus bernilai benar



(disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid. Contoh : Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B) Premis 2: Pengalaman ini tidak berbahaya (B) Konklusi: Pengalaman ini membosankan (B)



2.



Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)



Premis 2: Air ini panas (B)



Konklusi : Air ini tidak dingin (B)



5. konjungsi Premis 1



:p



Premis 2



:q



Konklusi



:pÙq



Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar. 6. Tambahan (Addition)



Premis 1 : p Premis 2 : q Konklusi : p ∨ q Artinya : p benar, maka p ∨ q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).



Dua bentuk argumen valid yang lain adalah Dilema Konstruktif dan Dilema Destruktif. Dilema Konstruktif



Premis 1 : (p ⇒ q) ∧ ( r ⇒ s) Premis 2 : p ∨ r Konklusi : q ∨ s Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argument modus ponen (periksa argument modus ponen). Contoh : Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja. Premis2: Hari ini hujan atau pacar datang. Konklusi



: Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.



Dilema Destruktif Premis 1 : (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) Premis 2 : ~ q ∨~ s Konklusi : ~p ∨ ~r



Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tollens). .Contoh : Premis 1: Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung;



dan jika



aku tutup mulut, aku akan ditembakmati. Premis 2:Aku tidak akan ditembak mati atau digantung. Konklusi



: Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut.



C. Validitas Pembuktian (II) (Hanya untuk pengayaan) Sekarang kita akan membicarakan pembuktian argumen yang lebih kompleks dengan menggunakan bentuk-bentuk argumen valid di atas. Contoh : Diberikan argumen : (p∧q) ⇒ [p ⇒(s ∧ t)] (p ∧q) ∧ r s∨t Apakah argumen di atas valid ? Jawab : Berikut ini adalah langkah-langkah pembuktian yang dilakukan : (p ∧ q) ⇒ [p ⇒ (s ∧ t)



Premis



(p ∧ q) ∧ r



Premis



P∧q



2, Penyederhanaan



p⇒ (s ∧ t)



1, 3, Modus Ponen



p



3, Penyederhanaan



s∧t



4, 5, Modus Ponens 6, Penyederhanaan



∴s ∨ t



7, Tambahan



Jadi argumen tersebut di atas adalah absah (valid). Contoh : Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua mahasiswa akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas ? Jawab : Kita akan menerjemahkan argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol. Misal : l



= pengetahuan logika diperlukan, a



= pengetahuan aljabar diperlukan,



m



= Semua orang akan belajar matematika,



g



= pengetahuan geometri diperlukan.



Maka : (l ∨ a)⇒ m L∧g



Premis Premis



L



2, Penyederhanaan



L∨a



3, Tambahan



∴m



1, 4, Modus Ponen



Jadi argumen di atas adalah valid.



Demikianlah, kita dapat membuktikan argumen – argumen yang tampaknya berbelit-belit dengan menggunakanargumentasi valid yang telah kita miliki. Perhatikan baik-baik cara menerjemahkan argumentasi itu menjadi simbol-simbol. C. Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah. Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum. Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan



dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya. Contoh : Premis 1 :



Semua manusia tidak hidup kekal (Benar)



Premis 2 :



Chairil Anwar adalah manusia (Benar)



Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan pembuktian tidak langsung .Bukti : Kita misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai benar). Maka berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5). Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima kebenarannya. Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah. Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3 bernilai benar. Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”.



Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasidari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasipernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan Premis adalah pernyataan-pernyataan, data, bukti atau dasar yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan. Sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedangkan yang dimaksud dengan argument adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu ( satu ) konklusi. Konklusi ( kesimpulan ) adalah pernyataan yang dihasilkan berdasarkan data yang terdapat dalam premis-premis. Konklusi sebaiknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi. Dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Validitas berasal dari kata valid (kata sifat) yang berarti tepat, benar, shahih,dan abasah, yang selanjutnya dibendakan menjadi validitas yang mempunyai arti ketepatan, kebenaran,



kesahihan, dan keabsahan. ketika kita akan menarik suatu kesimpulan dari premis-premis beberapa cara yang digunakan



diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan



Silogisme.



B. Saran Diharapkan mahasiswa dapat



memahamai mata kuliah logika matematika dan



mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.



DAFTAR PUSTAKA Raga Marga, Rafael.2007. Pengantar Logika. Jakarta : Grasindo. Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Untuk SMA Kelas X. Jakarta : Erlangga. Kesimpulan. Swf. (application/ x- es.) http : // www. Scribd. Com/doc/3591392/ Bab-VI-Validitas Pembuktian.