Makalah Matematika Chapter 7 [PDF]

Citation preview

Nama NIM Bab



: Rizal Fahlevi : 16070855079 : 7. Desimal, Rasio, Proporsi, dan Persen



BAB I PENDAHULUAN Rasio Emas Rasio Emas, juga disebut proporsi Ilahi, dikenal Pythagorean pada tahun 500 sebelum masehi dan memiliki banyak aplikasi menarik dalam geometri. Rasio emas dapat ditemukan dengan menggunakan Fibonacci yang urut, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...., 𝑎𝑛 ,...., dimana 𝑎𝑛 diperoleh dengan menambahkan dua angka sebelumnya. Yaitu, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, dan seterusnya. Jika hasil bagi masing-masing pasangan berturut-turut angka,



𝑎𝑛 𝑎𝑛−1



, adalah bentuknya, angka menghasilkan urutan baru.



Beberapa istilah pertama urutan baru ini adalah 1, 2, 1.5, 1.66..., 1.6, 1.625,1.61538..., 1.61904..., .... angka-angka ini mendekati desimal 1.61803..., yang merupakan rasio emas, teknis∅ =



1+√5 2



. (Akar persegi dibahas dalam Bab 9)



Berikut ini adalah beberapa sifat yang luar biasa terkait dengan rasio emas. 1. Estetika. Pada persegi panjang emas, rasio dari panjang ke lebar adalah rasio emas. ∅. Persegi panjang emas dianggap oleh orang Yunani sebagai sangat menyenangkan mata. Kuil Parthenon di Athena telah dikelilingi oleh persegi panjang tersebut.



Sepanjang garis-garis, perhatikan bagaimana kartu indeks pada umumnya berdimensi 3 x 5 dan 5 x 8, dua pasang angka pada urutan Fibonacciyang hasil pembagian diperkirakan∅. 2. Geometri Terbalik. Jika salah satu memotong persegi yang ditampilkan gambardi sebelah kiri dan menata kembali ke dalam persegi panjang yang ditampilkan gambar yang kanan, hasil yang mengejutkan mengenai daerah yang diperoleh.



1



2



Perhatikan bahwa angka, 5, 8, 13, dan 21 yang didapatkan. Jika angka tersebut merupakan dari urutan Fibonacciyang diganti dengan 8, 13, 21, dan 34, berturut-turut, bahkan lebih mengherankan hasil yang didapatkan.Hasil tersebut terus terjadi ketika menggunakan urutan Fibonacci. Namun, jika empat angka diganti dengan 1, ∅, ∅ + 1, dan 2∅ + 1, berturut-turut, semua adalah keselarasan. 3. Kedudukan yang Menakjubkan. Bagian dari segitiga pascal yang ditampilkan.



Namun, jika ditata ulang dengan hati-hati, urutan Fibonacci muncul kembali



Bentuk tersebut hanyalah beberapa dari banyak keterikatan yang timbul dari rasio emas dan pasangannya, urutan Fibonacci



3



BAB II DESIMAL



A. Desimal Desimal digunakan untuk menunjukkan bilangan pecahan yang biasanya menggunakan basis sepuluh tempat nilai yang ditulis.Metode yang digunakan untuk menunjukkan desimal ditunjukkan pada Gambar 7.1.



Gambar 7.1.



Pada gambar bilangan 3457.968 menunjukkan bahwa titik desimal ditempatkan antarakolom satuan dan kolom persepuluh untuk menunjukkan ketika bagian semuabilangan berakhirdan ketikabagian desimal baru dimulai. Desimal dibaca seolah-olahditulis sebagai pecahan dan titik desimal dibaca "dan." Bilangan 3457.968ditulis dalam bentuk yang diperluas sebagai berikut. 1



1



1



3 (1000) + 4 (100) + 5 (10) + 7 (1) + 9 (10) + 6 (100) + 8 (1000) 968



Dari uraian diatas kita dapat melihat bahwa 3457.968 = 3457 1000 dan dibaca "Tiga ribu Empat ratus Lima puluh Tujuh dan Sembilan ratus Enam puluh Delapan perseribu."Perhatikan bahwa kata dan hanya boleh digunakan untuk menunjukkan di mana titik desimal berada. Gambar 7.2 menunjukkan bagaimana ratusan persegi dapat digunakan untuk menunjukkan persepuluh dan perseratus.Perhatikan bahwa persegi besar merupakan 1, satu arsir vertikal menunjukkan 0,1, dan tiap satu persegi terkecil menunjukkan 0,01.



4



Gambar 7.2



Sebuah garis bilangan juga dapat digunakan untuk menentukan desimal. Garis bilanganpada Gambar 7.3menunjukkan lokasi berbagai desimal antara 0 dan 1.



Gambar 7.3



Contoh 7.1 Tulislah kembali pecahan-pecahan dibawah ini dalam bentuk desimal, dan tentukan bacaan desimal. 7



123



a. 100



7



b. 10.000



c.18



Penyelesaian 7



a. 100 = 0,07, dibaca “tujuh perseratus” 123



100



20



3



1



2



3



b. 10.000 = 10.000 + 10.000 + 10.000 = 100 + 1000 + 10.000 = 0,0123 dibaca “seratus dua puluh tiga persepuluh ribu” 7



7



7𝑥5𝑥5𝑥5



875



800



70



5



8



7



c. 18 = 1 + 8 = 1 + 2𝑥2𝑥2𝑥2𝑥5𝑥5𝑥5 = 1 + 1000 = 1 + 1000 + 1000 + 1000 = 1 + 10 + 100 + 5 1000



= 1,875, dibaca “satu dan delapan ratus tujuh puluh lima perseribu



Semua pecahan-pecahan pada Contoh 7.1 memiliki penyebut yang hanya faktor prima 2 atau 5. Pecahan-pecahan tersebut selalu dapat dinyatakan dalam



5



bentuk desimal, karena pecahan tersebut memiliki kesetaraan bentuk pecahan dengan penyebut bernilai 10. Pernyataan ini dicontohkan pada Contoh 7.2.



Contoh 7.2 Tentukan sebagai pecahan desimal 3



7



a. 24



43



b. 23 𝑥 5



c. 1250



Penyelesaian 3



3 𝑥 54



1875



a. 24 = 24 𝑥 54 = 10.000 = 0,1875 43



c. 1250 =



43



43 𝑥 23



7



7 𝑥 53



175



b. 23 𝑥 5 = 23 𝑥 53 = 1000 = 0,175



344



= 24 𝑥 54 = 10.000 = 0,0344 2 𝑥 54



Pecahan desimal tersebut telah dipelajarai hingga sekarang disebut desimal terminasi,karena desimal tersebut dapat ditunjukkan dengan menggunakan sebuah bilangan terbatasmulai dari digit nolhingga ke kanan sampaititik desimal. Kita akan mempelajari desimal non-terminasiberikutnyapada bab ini.



TEOREMA 7. 1 Pecahan dengan menggunakan desimal terminasi 𝑎



Misalkan𝑏pada bentuk pecahan sederhana. Kemudian



𝑎 𝑏



memiliki makna



desimal terminasi jika dan hanya jika b hanya mengandung 2s dan / atau 5s di faktorisasikan prima (karena bdapat diperluas dengan nilai 10).



Membandingkan Desimal Desimal dapat dibandingkan dengan menggunakan ratusan persegi, menggunakan garis bilangan,dengan membandingkan tersebut dalam bentuk pecahan sederhana, atau dengan membandingkan nilai-nilai satu pada satu waktudari kiri ke kanan seperti kita membandingkan angka keseluruhan. Contoh 7.3 Tentukan mana yang lebih besar dari tiap-tiap pasangan desimal berikut dalamempat cara yang dibahas pada paragraf sebelumnya a. 0,7 ..... 0,23



b. 0,135 ..... 0,14



6



a. Ratusan Persegi : Lihat Gambar 7.4. karenalebih banyak arsirdi 0,7 persegi, dapat menyimpulkan bahwa 0,7 > 0,23.



Gambar 7.4



Garis Bilangan : Lihat Gambar 7.5. karena 0,7 berada di sebelah kanan 0,23, dapat disimpulkan bahwa 0,7> 0,23.



Metode pecahan: pertama, 0,7 = 70



>



23



7



23



, 0,23 = 10



7



. berikutnya10 = 100



70 100



dan



karena 70> 23. Oleh karena itu, 0,7> 0,23.



100 100



Metode nilai-tempat : 0,7>0,23, karena 7>2. Alasan di balik metode ini karena 7>2, memiliki 0,7>0,2. Selain itu, dalam desimal terminasi, Angka yang muncul setelah 2 tidak bisa memberikan nilai yang cukup besar dalam sebuah desimal 0,3 belum memiliki 2 di tempat persepuluhnya. Cara ini berlaku untuk semua desimal terminasi.



b. Ratusan Persegi : Bilangan 0,135 sama dengan 1 persepuluh ditambah 3 perseratus ditambah 5 perseribu. Karena



5 1000



=



1 200



=



1 2



x



1



1



, 132 persegi pada



100



ratusan persegi harus diarsir untuk menunjukkan 0,135. Bilangan 0,14 ditunukkan oleh 14 kotak pada ratusankotak. Lihat Gambar 7.6. Karena setengah dari seluruh persegi yang diarsir pada 0,14, mempunyai 0,14>0,135.



7



Gambar 7.6



Gari Bilangan : Lihat Gambar 7.7. Karena 0,14 adalah di sebelah kanan 0,135 pada garis bilangan,0,14> 0,135.



Gambar 7.7



Metode pecahan: 0,135 =



135



dan 0.14 =



1000



14 100



=



140



.adalah 140>135,



1000



menjadi014>0135. Banyak sekali anak-anak menulis 0,135>0,14 karena mereka tahu 135>14 dan percaya bahwa keadaan ini adalah sama. Bukan itu! Di sini kita membandingkandesimal, bukanjumlah bilangan. Perbandingan desimal dapat menggunakanjumlah bilangan



yaitu perbandingan dengan mendapatkan



penyebut setara atau, sama, dengan memiliki penyebut yang sama dari posisi 140



135



desimal. Misalnya, 0,14>0,135 karena1000>1000, atau 0.140>0,135. Metode Nilai-tempat: 0,14>0,135, karena (1) persepuluhnya sama (keduanya adalah 1), tetapi(2) tempat perseratus di 0,14, yaitu 4, lebih besar dari tempat perseratus di 0,135, yaitu 3.



8



Matematika mental dan Perkiraan Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang melibatkan desimal hampirsama dengan operasi bilangan bulat. Khususnya,nilai tempat menunjukkan peran kunci. Misalnya, untuk menentukan jumlah 3,2 + 5,7, salah satu bagian bilangan bulat ditambahkan, 3 + 5 = 8, dan kemudian persepuluh, 0,2 + 0,7 = 0,9, untuk menghasilkan8.9. Mengamati bahwa bagian-bagian awal bilangan bulat ditambahkan, setelah itu persepuluhnya,Selain menambahkan tempat dari kiri ke kanan. Padamasalahditemukan penjumlahan 7,6 + 2,5, salah satunyadapat menambahkan awal persepuluh, 0,6 + 0,5 = 1,1, kemudian menggabungkan



dengan



penjumlah



ini



7



+



2



=



9



untuk



mendapatkanpenjumlahan 9 + 1,1 = 10,1. Dengan demikian, seperti pada bilangan bulat, desimal dapat ditambahkandari kiri ke kanan atau kanan ke kiri Sebelum mengembangkan algoritma untuk operasi yang melibatkan desimal, beberapa teknik matematika mental dan perkiraanhampir sama dengan yang digunakan pada bilangan bulatdan pecahan akan diuraikan ke desimal perhitungan.



Contoh 7.4



Gunakan kompatibel (desimal) bilangan, sifat, dan / atau



kompensasi untuk menghitung berikut. a. 1, 7 + (3,2 + 4,3)



b. (0,5 x 6,7) x 4



d. 3,76 + 1,98



e. 7,32 – 4,94



c. 6 x 8,5 f. 17 x 0,25 + 0,25 x 23



Penyelesaian a.1,7 + (3,2 + 4,3) = (1,7 + 4,3) + 3,2 = 6 + 3,2 = 9,2. Disini 1,7 dan 4,3 adalahbilangan-bilangan kompatibel sehubungan dengan penjumlahan, karena jumlahnya adalah 6. b. (0,5 × 6,7) × 4 = 6,7 × (0,5 × 4) = 6,7 × 2 = 13,4. Karena 0,5 × 4 = 2, akan lebih mudahmenggunakan komutatif dan asosiatif untuk menentukan 0,5 × 4 daripada menentukan 0,5 × 6,7 untuk yang pertama. c. Menggunakan distributif, 6 × 8,5 = 6 (8 + 0,5) = 6 × 8 + 6 × 0,5 = 48 + 3 = 51. d. 3,76 + 1,98 = 3,74 + 2 = 5,74 menggunakan penjumlahan kompensasi. e. 7,32-4,94 = 7,38- 5 = 2,38 dengan pengurangan sama.



9



f. 17 × 0,25 + 0,25 × 23 = 17 × 0,25 + 23 × 0,25 = (17 + 23) × 0,25 = 40 × 0,25 = 10 menggunakan distributif dan kenyataan bahwa 40 dan 0,25 adalah bilangan kompatibel sehubungan denganperkalian.



Karenabiasanya desimal menunujukkan pecahan, pecahan sederhana ini ditunjukkan pada Tabel 7.1 sering juga digunakan untuk menyederhanakan perhitungan desimal.



Contoh 7.5 Tentukan desimal-desimal dibawah ini dengan menggunakan pecahan sederhana. a. 68 x 0,5



b. 0,25 x 48



c. 0,2 x 375



d. 0,05 x 280



e. 56 x 0,125



f. 0,75 x 72



Penyelesaian 1



a. 68 x 0,5 = 68 x 2 = 34 1



b. 0,25 x 48 = 4 x 48 = 12 1



c. 0,2 x 375 = 5 x 375 = 75 1



1



d. 0,05 x 280 = 20 x 280 = 2 x 28 = 14



10



1



e. 56 x 0,125 = 56 x 8 = 7 3



1



f. 0,75 x 72 = 4 x 72 = 3 x 4 x 72 = 3 x 18 = 54 Mengalikan dan membagi desimal dari kekuatan nilai 10 dapat ditunjukkan dengan cara yang sama yaitu dengan cara mengalikan dan membagi bilangan bulat dari kekuatan nilai 10.



Contoh 7.6 menentukan desimal-desimal berikut dan hasil bagi dengan mengkonversi ke pecahan. a. 3,75 x 104



b. 62,013 x 105



c. 127,9 ÷ 10



d. 0,53 ÷ 104



Penyelesaian 375



a. 3,75 x 104 = 100 x b. 62,013 x 105 = c. 127,9 ÷ 10 =



10.000 1



62.013 1000



1279 10



x



100.000



÷ 10 =



53



= 37.500 1 1279 10 53



= 6.201.300 1



x 10 = 12,79 1



d. 0,53 ÷ 104 = 100 ÷104 = 100 x 10.000 = 0,000053 Perhatikan bahwa pada Contoh 7.6 (a), mengalikan dengan 104 setara dengan memindahkan titik desimal 3,75 empat tempat ke kanan untuk mendapatkan 37.500. Demikian pula, pada bagian (b), karena 5 didalam105 , memindahkan titik desimal lima tempat ke kanan di 62,013 hasil dalam jawaban yang benar, 6.201.300. Ketika membagi dengan kekuatan nilai 10, titik desimaldipindahkan ke kiri bilangan yang sesuai tempat. Uraian tersebut diringkas sebagai berikut.



Teorema 7.2 Mengalikan / membagi desimal dengan nilai 10 Misalkan nadalahsetiap bilangan desimal dan mmenunjukkanbilangan bulat nol.Mengalikansebuah bilangann dengan10𝑚 adalahsama dengan membentuk sebuah bilangan baru dengan memindahkantitik desimal dari n ke kanan sesuai banyaknya m. Membagi bilanganndengan 110𝑚 adalah sama dengan



11



membentuk sebuah bilangan baru dengan memindahkan titik desimal dari nke kiri sesuai banyaknya m.



Mengalikan / membagi dengannilai 10 dapat digunakan dengan perkalian kompensasi untuk membagi beberapa desimal. Misalnya, tentukan hasil 0.003 × 41.000, pertama dapat membagi 0,003 dengan 1000 (menghasilkan 3) dan setelah itu membagi 41.000 dengan 1000 (menghasilkan41) untuk mendapatkan hasil 3 × 41 = 123. Sebelumnya perhitungan dengan bilangan bulat dan pecahan komputasi juga bisa diterapkan untuk memperkirakan hasil operasi desimal.



Contoh 7.7 Mengestimasi masing-masing berikut menggunakan tekhnik indikasi perkiraan. a. $1,57 + $4,36 + $8,78 menggunakan (i) Kisaran, (ii) Paling depan dengan penyesuaian, dan (iii) tekhnik pembulatan b. 39,37 x 5,5 menggunakan (i) Kisaran dan (ii) teknik pembulatan



Penyelesaian a. Kisaran: Estimasi rendah untuk rentang $ 1 + $ 4 + $ 8 = $ 13, dan estimasi tinggi $ 2 + $ 5 + $ 9 = $ 16. Kisaran Estimasi tersebutberjumlah dari $ 13 sampai $ 16. Paling depan : salah satu kolom paling depan estimasinya adalah sederhana dari kisaran estimasi rendah, yaitu $ 13. Jumlah 0,57, 0,36, dan 0,78 adalah sekitar $ 1,50, sehingga perkiraan yang tapat adalah $ 14,50. Pembulatan: pembulatan ke seluruh yang terdekat atau setengah hasil perkiraan dari $ 1,50 +$ 4,50 + $ 9,00 = $ 15.00. b. Kisaran: Estimasi rendah yaitu 30 × 5 = 150, dan perkiraan tinggi adalah 40 × 6 = 240. Oleh karena ituKisaran estimasi adalah 150-240. Pembulatan : salah satu pilihan untuk mengestimasihasil ini adalah membulatkan 39,37 × 5,5 ke 40 × 6 untuk menghasilkan 240. Estimasi yang tepatdengan membulatkan 40 × 5,5 = 220.



12



Desimal dapat dibulatkan ke tempat yang telah ditentukan seperti yang dilakukan pada bilangan bulat.



Contoh 7.8 bulatkan 56,94352 dari yang terdekat a. persepuluh



b. perseratus



c. perseribu



d. Persepuluh ribu



Penyelesaian a. Pertama, 56,9