MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI HIMPUNAN - Khairunisa Damar Wulan [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI HIMPUNAN, FUNGSI LINIER, FUNGSI NON LINIER DAN PERSAMAAN GARIS LURUS Dosen Pengampu : Ali Rahmad Hasibuan, S.Pd, M.Pd.



Disusun oleh : Khairunisa Damar Wulan 2005170235 E1 Akuntansi Pagi



FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS JURUSAN AKUNTANSI UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 2020



DAFTAR ISI JUDUL …………………………………………………………………………………… i DAFTAR ISI …………………………………………………………………………….. ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang …………………………………………………………………….. 1 B. Rumusan Masalah …………………………………………………………………. 1 C. Tujuan Penulisan …………………………………………………………………... 1 BAB II PEMBAHASAN HIMPUNAN ……………………………………………………………………………. 5 A. Pengertian Himpunan ……………………………………………………………… 5 B. Jenis-jenis Himpunan ………………………………………………………………. 5 C. Pengertian Himpunan Semesta ……………………………………………………... 6 D. Pengertian Diagram Venn ………………………………………………………….. 6 E. Notasi dan Anggota Himpunan …………………………………………………….. 7 F. Menyatakan Suatu Himpunan ………………………………………………………. 7 G. Himpunan Bagian …………………………………………………………………… 8 H. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian Dari Suatu Himpunan ………………… 9 FUNGSI ………………………………………………………………………………….. 9 A. Pengertian Fungsi …………………………………………………………………… 9 B. Jenis-jenis Fungsi ……………………………………………………………………. 9 C. Menggambarkan Fungsi Linier ………………………………………………………. 13 D. Menggambarkan Fungsi Non Linier …………………………………………………. 15 PERSAMAAN GARIS LURUS …………………………………………………………. 16 A. Pengertian Persamaan Linier atau Fungsi Linier …………………………………… 16 B. Menentukan Persamaan Linier ………………………………………………………. 16 a. Cara Dwi-Koordinat ………………………………………………………………. 16 b. Cara Koordinat Lereng ……………………………………………………………. 16



c. Cara Penggal Lereng ……………………………………………………………… 17 d. Cara Dwi-Penggal ………………………………………………………………… 17



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan …………………………………………………………………………… 18 B. Saran ………………………………………………………………………………….. 18 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………………. 19



BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan salah satu ilmu yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya konsep dasar himpunan yang hampir mendasari seluruh cabang matematika. Adapun fungsi, hubungan antara satu elemen himpuna tepat dengan satu elemen pada himpunan yang lain.



B. Rumusan Masalah Menjelaskan tentang himpunan Menjelaskan tentang fungsi Menjelaskan tentang persamaan garis lurus



C. Tujuan Penulisan Untuk mengetahui tentang himpunan, fungsi dan persamaan garis lurus



BAB II PEMBAHASAN HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefenisikan dengan jelas, atau lebih jelasnya adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hamper semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan. B. Jenis-jenis Himpunan 1. Himpunan Kosong Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 atau { } Contoh : Diketahui himpunan A = {3, 9, 15, 17} dan himpunan B = {5, 7, 21}. Sebutkan bilangan genap yang ada ! Penyelesain : Karena tidak terdapat bilangan genap pada himpunan tersebut maka jawabannya { } atau ø 2. Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian atau subset dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Sehingga B dapat dikatakan superset dari A. Simbol untuk himpunan bagian ⸦ untuk subset dan ⸧ untuk superset. Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {1, 3, 5} Seluruh anggota himpunan B ada dalam himpunan A, maka B⸦A dan A⸧B. 3. Himpunan Sama Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Maksudnya A sama dengan B jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak seperti itu, maka tidak bias dikatakan himpunan A tidak sama dengan himpunan B. Notasi : A = B



Contoh : - Jika A = {5, 6, 7, 8, 9} dan B = {7, 5, 6, 9, 8} Maka A ⸦ B dan B ⸦ A, maka A = B - Jika A = {1, 2, 1, 3} dan B = {1, 2, 3} Maka A ⸦ B dan B ⸦ A, maka A = B 4. Himpunan Saling Lepas Dua himpunan yang tidak kosong bias dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama satu pun. Simbol : // Contoh : Himpunan A = {1, 2 3, 4} dan B = {6, 7, 8, 9} Maka A // B 5. Himpunan Ekuivalen Himpunan dikataka ekuivalen jika dua himpunan mempunyai jumlah anggota yang sama walaupun objek/benda nya tidak sama. Simbol : ~ Contoh : Jika A = {7, 8, 9, 20} dan B = {d, e, f, g} Maka A ~ B, karena n(A) = 4 dan n(B) = 4.



C. Pengertian Himpunan Semesta Himpunan Semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota ataupun objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S. Contoh : A = {3, 5, 7, 9} maka himpunan semsta yang mungkin adalah S = {bilangan ganjil} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah}.



D. Pengertian Diagram Venn Diagram Venn ialah gambar yang digunakan untuk mengekspresikan hubungan Antara himpunan dalam sekelompok objek yang memiliki kesamaan nilai atau jumlah.



E. Notasi dan Anggota Himpunan Notasi himpunan yaitu cara memberi simbol pada suatu himpunan. Dalam matematika, himpunan dinyatankan dengan huruf kapital seperti A, B, C atau P, Q, R. Benda atau objek yang termasuk ke dalam himpunan ditulis dengan menggunkan pasangan kurung kurawal dan diberi koma seperti {…, …, …}. Contoh :  



Q merupakan himpunan nama hari dimualai dari huruf S. Maka dinyatakan Q = {Senin, Selasa, Sabtu} A merupakan bilang ganjil Antara 1 – 10. Maka dinyatakan A = {1, 3, 5, 7, 9}



Penulisan Himpunan 











Dengan kata-kata 1. B merupakan himpunan bilangan genap antara 1 – 20. Maka ditulis A = {bilangan genap antara 1 sampai 20} Dengan Notasi Pembentuk Himpunan 1. A merupakan himpunan bilangan negative antara -15 hingga -5. Maka notasi pembentuk himpunannya A = {-15 < y < -5, y € bilangan negatif} Dengan mendaftar Anggotanya 1. C merupakan himpunan bilangan ganjil dari 1 – 15 . Maka penulisannya C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}



F. Menyatakan Suatu Himpunan Ada dua cara dalam menyatakan himpunan, yaitu dengan cara deskripsi dan cara tabulasi. 



Cara Deskripsi



Cara ini menyatakan suatu himpunan dengan deskripsi dan dibedakan menjadi dua cara, yaitu dengan kata-kata atau dengan notasi pembentuk himpunan. - Dengan kata-kata Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanyaa. Contohnya : Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan menggunakan kata-kata! 1. Himpunan bilangan bulat kurang dari 5 2. Himpunan huruf vocal Penyelesaian : 1. A adalah himpunan bilangan bukat kurang dari 5 2. B adalah himpunan huruf vocal - Dengan Notasi Pembentuk Himpunan



Bentuk umum dari notasi pembentuk himpunan adalah {x | P (x)} dimana x mewakili anggota himpunan, dan P(x) adalah syarat yang harus dipenuhi oleh x agar menjadi anggota himpunan tersebut. Variable x dapat diganti dengan variabel lain seperti y,z dan sebagainya. Contoh : Nyatakanlah himpunan-himpunan berikut menggunakan notasi pembentuk himpunan! 1. A adalah himpunan bilangan bulat kurang dari 5 2. B adalah himpunan bilangan asli antar 1 dan 5 Penyelesain : 1. A = {x | x < 5, x € bilangan bulat} 2. B = {x |1 < x < 5, x € bilangan asli}



 Cara Tabulasi Menyebutkan setiap anggota yang termasuk dalam suatu himpunan yang sedang dibahas. Contoh : 1. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari lima A = {0, 1, 2, 3, 4} 2. B = {x | 1 < x < 5, x € bilangan asli} B = {2, 3, 4}



G. Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian atau subset dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Sehingga B dapat dikatakan superset dari A. Simbol untuk himpunan bagian ⸦ untuk subset dan ⸧ untuk superset. Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {1, 3, 5} Seluruh anggota himpunan B ada dalam himpunan A, maka B⸦A dan A⸧B.



H. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian Dari Suatu Himpunan



Berdasarkan tabel tersebut, banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan membentuk pola bilangan yaitu 2, 4, 8, dan 16. Secara umum, pola tersebut dapat kita nyatakan sebagai 2n dengan n merupakan banyaknya anggota himpunan. Banyaknya himpunan bagian dapat ditentukan dengan rumus 2n , n merupakan banyaknya anggota himpunan. Jika suatu himpunan memiliki anggota himpunan sebanyak 5, maka himpunan tersebut memiliki 25 himpunan bagian. Perlu kalian ingat bahwa himpunan kosong { } juga merupakan anggota himpunan bagian. Contoh: Diketahui himpunan A = { 1, 2 }. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A. Penyelesaian: Himpunan bagian dari A adalah { }, {1}. {2}, dan {1, 2}. Banyaknya himpunan dari A adalah 4 atau 22 dengan 2 adalah banyaknya anggota himpunan A.



FUNGSI A. Pengertian Fungsi Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (domain) kepada anggota himpunan yang lain (kodomain) yang dapat dinyatakan dengan lambang y = f (x), atau dapat menggunakan lambang g (x), P (x).



B. Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)



Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, dimana C bilangan konstan. Contoh : Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}.



2. Fungsi Linear Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Contoh : Diketahui f(x) = 2x + 3



3. Fungsi Kuadrat Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Contoh : Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.



4. Fungsi Identitas Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Contoh Fungsi pada R didefenisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(3) f(x) = x



f(-2) = -2



f(-1) = -1



f(0) = 0



f(1) = 1



f(3) = 3



5. Fungsi Tangga (bertingkat) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar. Contoh : Diketahui fungsi :



Tentukan interval f(-2), f(0), f(3), f(5) Penyelesain : f(-2) = -1



f(0) = 0



f(3) = 2



f(5) = 3



6. Fungsi Modulus Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Contoh : f : x → | x | atau f ; x → | ax + b | f(x) = | x | artinya :



Grafik :



7. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f (-x) = -f (x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f (-x) = f (x). Jika f (-x) ≠ -f (x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. Contoh : Termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau fungsi tidak genap dan tidak ganjil - f (x) = 2x3 + x f (-x) = 2 (-x)3 + (-x) = -2x3 – x = - (2x3 + x) = - f (x) Jadi fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil



C. Menggambarkan Fungsi Linier Bentuk umum persamaan fungsi linier : y = ax + b dengan a dan b € R, a ≠ 0. Ada dua cara untuk menggambar grafik fungsi linier yaitu tabel dan menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y. Contoh :



Gambarkan grafik yang persamaannya y = 3x – 4. Penyelesain : 1. Tabel y = 3x – 4 Y -4 -1 2 5 8



x 0 1 2 3 4



2. Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y a. Perpotongan dengan sumbu X, syaratnya y = 0 y = 3x – 4 0 = 3x – 4 3x = 4 x=



4 3



Jadi koordinat titik potongnya (



4 , 0) 3



b. Perpotongan dengan sumbu Y, syaratnya x = 0 y = 3x – 4 y = 3.0 – 4 y=-4 Jadi koordinat titik potongnya (0, -4)



Titik (0, -4) (1, -1) (2, 2) (3, 5) (4, 8)



D. Menggambarkan Fungsi Non Linier Cara menggambar fungsi non linier 1. Cara Sederhana (Curve Traicing Process) Yaitu menggunakan tabel x dan y, dimana ditentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x akan memperoleh nilai y.



2. Cara Matematis Yaitu menggambarkan ciri-ciri penting dari fungsi kuadrat, diantaranya : - Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x = 0, maka y = d. Jadi titiknya adalah A (o,d). - Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y = 0, maka harus mencari nilai deskriminan (D) terlebih dahulu. Nilai deskrimanan ini akan menentukan apakah parabola vertical memotong, menyinggung dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.



PERSAMAAN GARIS LURUS (Gradien / Lereng Garis Lurus) A. Pengertian Persamaan Linier atau Fungsi Linier



Persamaan linier adalah sebuah persamaan alajabr, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Bentuk umum persamaan linier adalah y = mx + c . Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradient garis, dan konstanta c merupakan titik potong garis dengan sumbu y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan xy bukanlah persamaan linier



B. Menentukan Persamaan Linier a. Cara dwi-Koordinat Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x 1, y1) dan (x2, y2), maka persamaan liniernya adalah : y− y 1 x−x 1 = y 2− y 1 x 2−x 1



Contoh : Diketahui titik A (2, 3) dan titik B (6, 5) maka persamaan liniernya y− y 1 x−x 1 = y 2− y 1 x 2−x 1 y−3 x−2 = 5−3 6−2 y−3 x−2 = 2 4 Jadi 4y – 12 = 2x – 4 atau 4y = 2x + 8 Sehingga persamaan yang dimaksud adalah y = 2 + 0,5 x



b. Cara Koordinat Lereng



Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah :



y – y1 = b (x – x1) Contoh :



Diketahui titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah y – y1 = b (x – x1) y – 3 = 0,5 (x – 2) y – 3 = 0,5 x – 1 y = 2 + 0,5 x Persamaan yang dimaksud adalah y = 2 + 0,5 x



c. Cara Penggal Lereng Sebuah perssamman linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu (a) dan lereng garis (b) yang memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan liniernya adalah :



y = a + bx ; a = penggal, b = lereng



d. Cara Dwi-Penggal Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masingmasing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) dan penggal sumbu horizontal (ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah :



y=



−a x c



a = penggal vertical, b = penggal horizontal Contoh : Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu vertical dan sumbu horizontal masing-masing 2 dan -4 , maka persamaan liniernya adalah y=



−a x c



y = 2−



2 x (−4)



y = 2 + 0,5 x



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefenisikan dengan jelas, atau lebih jelasnya adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hamper semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan. Jenis-jenis Himpunan : himpunan kosong, himpunan bagian, himpunan sama, himpunan ekuivalen, himpunan saling lepas. Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (domain) kepada anggota himpunan yang lain (kodomain) yang dapat dinyatakan dengan lambang y = f (x), atau dapat menggunakan lambang g (x), P (x). Jenis-jenis fungsi : fungsi konstan, fungsi linier, fungsi identitas, fungsi kuadrat, fungsi tangga, fungsi mutlak (modulus), fungsi ganjil dan fungsi genap. Persamaan linier adalah sebuah persamaan alajabr, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.



B. Saran Pelajari matematika dari berbagai sumber yang tepat dan terpercaya.



DAFTAR PUSTAKA https://id.m.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika) https://www.zinergi.id/2018/04/himpunan.html?m=1 https://www.google.co.id/amp/s/nusacaraka.com/2019/10/21/notasi-himpunan-dan-carapenulisannya/amp/ https://www.google.co.id/amp/s/www.kelaspintar.id/blog/edutech/dua-cara-menyatakanhimpunan-5605/amp/ https://www.madematika.net/2015/08/jenis-jenis-fungsi-dan-sifat-sifat.html?m=1 https://www.beni95h.com/2017/03/grafik-fungsi-linear-fungsi-linear.html?m=1