Makalah Statistik Rekam Medis [PDF]

Citation preview

MAKALAH DISTRIBUSI SAMPLING Makalah ini disusun untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Hospitally Biostatistical yang dibimbing oleh Miss Aulia Nirmala, SE, MM



Disusun Oleh :



1. Ayu Condro Kartiko Marsudiana (417155) 2. Sitti Sarah (417161) 3. Yuyun Maghfirah (417157)



SEKOLAH TINGGI TEKNIK MALANG PROGAM STUDI TEKNIK ELEKTRO KOSENTRASI KOMPUTER APLIKASI REKAM MEDIS DAN INFORMASI KESEHATAN Tahun Ajaran 2018/2019



DISTRIBUSI SAMPLING



A. Pengertian Distribusi Sampling Distribusi sampling adalah distribusi dari mean-mean yang diambil secara berulang kali dari suatu populasi. Bila pada suatu populasi tak terhingga dilakukan pengambilan sampel secara acak berulang-ulang hingga semua sampel yang mungkin dapat ditarik dari populasi tersebut. Sampel yang diambil dari populasi terbatas dan sebelum dilakukan pengambilan sampel berikutnya sampel unit dikembalikan kedalam populasi. Untuk mempelajari populasi kita memerlukan sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Meskipun kita dapat mengambil lebih dari sebuah sampel berukuran n dari sebuah populasi berukuran N, pada prakteknya hanya sebuah sampel yang biasa diambil dan digunakan untuk hal tersebut. Sampel yang diambil ialah sampel acak dan dari sampel tersebut nilai-nilai statistiknya dihitung untuk digunakan seperlunya. Untuk ini diperlukan sebuah teori yang dikenal dengan nama distribusi sampling. Distribusi sampling biasanya diberi nama bergantung pada nama statistik yang digunakan. Demikianlah umpamanya kita kenal distribusi sampling rata-rata, distribusi sampling proporsi, distribusi simpangan baku, dan lain-lain. Nama-nama tersebut biasa disingkat lagi berturutturut menjadi distribusi rata-rata, distribusi proporsi, distribusi simpangan baku, dan lain-lain.



B. Distribusi Rata-Rata Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berkukuran terhingga N dengan parameter rata-rata µ dan simpangan baku σ. Dari populasi ini diambil secara acak berukuran n. Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian, kita tahu semuanya ada (𝑁 ) buah sampel yang berlainan. Untuk semua sampel yang didapat, masing𝑛 masing dihitung rata-ratanya. Dengan demikian diperoleh (𝑁 ) buah rata-rata. 𝑛 Anggap semua rata-rata ini sebagai data baru, jadi didapat kumpulan data yang terdiri atas rata-rata dari sampel-sampel. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung



2



rata-rata dan simpangan bakunya. Jadi didapat rata-rata daripada rata-rata, diberi simbol 𝜇𝑥̅ (baca: mu indeks eks garis), dan simpangan baku daripada rata-rata, diberi simbol 𝜎𝑥̅ (baca: sigma indeks eks garis). Beberapa notasi : n : ukuran sampel N : ukuran populasi x : rata-rata sampel μ : rata-rata populasi s : standar deviasi sampel σ : standar deviasi populasi μx: rata-rata antar semua sampel σx : standar deviasi antar semua sampel = standard error = galat baku Contoh : Diberikan sebuah populasi dengan N=10 yang datanya : 98, 99, 97, 98, 99, 98, 97, 97, 98, 99. Jika dihitung, populasi ini mempunyai µ = 98 dan σ = 0,78. Diambil sampel berukuran n=2 . Semuanya ada (10 ) = 45 buah sampel. Untuk setiap 2 sampel kita hitung rata-ratanya. Data dalam tiap sampel dan rata-rata tiap sampel diberikan dalam daftar berikut ini. Semua Sampel Berukuran n = 2 Rata-ratanya Diambil dari Populasi Berukuran N = 10 Sampel



Rata-



Sampel



Rata-rata



Sampel



Rata-rata



rata (98,99)



98,5



(99,98)



98,5



(99,98)



98,5



(98,97)



97,5



(99,99)



99



(99,97)



98



(98,98)



98



(97,98)



97,5



(99,97)



98



(98,99)



98,5



(97,99)



98



(99,98)



98,5



3



(98,98)



98



(97,98)



97,5



(99,99)



99



(98,97)



97,5



(97,97)



97



(98,97)



97,5



(98,97)



97,5



(97,97)



97



(98,97)



97,5



(98,98)



98



(97,98)



97,5



(98,98)



98



(98,99)



98,5



(97,99)



98



(98,99)



98,5



(99,97)



98



(98,99)



98,5



(97,97)



97



(99,98)



98,5



(98,98)



98



(97,98)



97,5



(99,99)



99



(98,97)



97,5



(97,99)



98



(99,98)



98,5



(98,97)



97,5



(97,98)



97,5



(99,97)



98



(98,98)



98



(97,99)



98



(99,97)



98



(98,99)



98,5



(98,99)



98,5



Jumlah semua rata-rata = 4410 Jumlah ke-45 buah rata-rata = 4.410. maka rata-ratanya untuk ke-45 rata-rata ini =



4.410 45



= 98.



Jadi, 𝜇𝑥̅ = 98. simpangan baku ke-45 rata-rata di atas juga dapat dihitung. Besarnya adalah: 𝜎𝑥̅ = 0,52 Tetapi rata-rata populasi 𝜇 = 98 dan simpangan baku 𝜎 = 0,78. Selanjutnya kita hitung:



𝜎 𝑁 − 𝑛 0,78 10 − 2 √ √ = = 0,52 𝑛 𝑁−1 √2 10 − 1



4



Ternyata berlaku bahwa:



𝜇𝑥̅ = 𝜇 𝜎𝑥̅ =



𝜎



𝑁−𝑛 √ √𝑛 𝑁 − 1



Jika N cukup besar dibandingkan terhadap n, maka berlaku hubungan:



𝜇𝑥̅ = 𝜇 𝜎𝑥̅ =



𝜎 √𝑛



Untuk penggunaan, rumus (2) cukup baik apabila (n/N) ≤ 5%. Jika sampel acak berukuran n diambil dari sebuah populasi berukuruan N dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ, maka distribusi rata-rata sampel mempunyai rata-rata dan simpangan baku seperti dalam rumus (1) jika (n/N) > 5%, seperti dalam rumus (2) jika (n/N) ≤ 5%. 𝜎𝑥̅ dinamakan kekeliruan standar ratarata atau kekeliruan baku rata-rata atau pula galat baku rata-rata. Ini merupakan ukuran variasi rata-rata sampel sekitar rata-rata populasi µ. 𝜎𝑥̅ mengukur besarnya perbedaan rata-rata yang diharapkan dari sampel ke sampel. Dalil limit pusat : Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata µ dan simpangan baku σ yang besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n cukup besar, distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata 𝜇𝑥̅ = 𝜇 dan simpangan baku 𝜎𝑥̅ =



𝜎 . √𝑛



Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu distandarkan agar daftar distribusi noramal baku dapat digunakan. Ini perlu untuk perhitunganperhitungan. Untuk ini digunakan transformasi. 𝑧=



𝑥̅ − 𝜇



𝜎𝑥̅



5



Contoh : Tinggi badan mahasiswa rata-rata mencapai 165 cm dan simpangan baku 8,4 cm. Telah diambil sebuah sampel acak terdiri atas 45 mahasiswa. Tentukan berapa peluang tinggi rata-rata ke-45 mahasiswa tersebut : a) antara 160 cm dan 168 cm. b) paling sedikit 166 cm. Jawab: Jika ukuran populasi tidak dikatakan besarnya, selalu dianggap cukup besar untuk berlakunya teori. Ukuran sampel n= 45 tergolong sampel besar sehingga dalil limit pusat berlaku. Jadi rata-rata 𝑥̅ untuk tinggi mahasiswa akan mendekati distribusi normal dengan : Rata-rata 𝜇𝑥̅ = 165 cm Simpangan baku 𝜎𝑥̅ =



8,4 √45



cm = 1,252 cm.



a) Dari rumus X(3) dengan 𝑥̅ = 160 cm dan 𝑥̅ = 168 cm didapat : 𝑧1 =



160−165 1,252



= −3,99 dan 𝑧2 =



168−165 1,252



= 2,40



Penggunaan daftar distribusi normal baku memberikan luas kurva = 0,5 + 0,4918 = 0,9818. Peluang rata-rata tinggi ke-45 mahasiswa antara 160 cm dan 168 cm adalah 0,9918. b)



Rata-rata tinggi paling sedikit 166 cm memberikan angka z paling sedikit =



166−165 1,252



= 0,80



Dari daftar normal baku, luas kurva = 0,5-0,2881 = 0,2119. Peluang yang dicari = 0,2119



6



Apabila dari populasi diketahui variansnya dan perbedaan antara rata-rata dari sampel ke sampel diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku hubungan.



𝜎𝑥̅ ≤ 𝑑



Dari rumus X(4) ini, ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-rata, dapat ditentukan. Contoh : Untuk contoh diatas, misalkan harga-harga 𝑥̅ dari sampel yang satu dengan sampel yang lainnya diharapkan tidak lebih dari 1 cm. Jika populasi cukup besar, maka : 𝜎 √𝑛



≤ 𝑑 yang menghasilkan



8,4 √𝑛



≤1



atau n ≥ 70,58. Paling sedikit perlu diambil sampel terdiri atas 71 mahasiswa.



C. Distribusi Proporsi Uraian untuk distribusi proporsi sejalan dengan untuk distribusi rata-rata. Misalkan populasi diketahui berukuran N yang didalamnya didapat peristiwa A sebanyak Y di antara N. Maka didapat parameter proporsi A sebesar µ = (Y/N). Dari populasi ini diambil sampel acak berukuran n dan dimisalkan didalamnya ada peristiwa A sebanyak x. Sampel ini memberikan statistik proporsi peristiwa A = x/n. Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi itu maka didapat sekumpulan harga-harga statistik proporsi. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol µx/n. Untuk ini ternyata bahwa, jika ukuran populasi kecil dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) > 5%, maka :



7



𝜇𝑥 = 𝜋 𝑛



𝜋(1 − 𝜋) 𝑁 − 𝑛 √ 𝜎𝑥 = √ 𝑛 𝑁−1 𝑛



dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) ≤ 5% maka :



𝜇𝑥 = 𝜋 𝑛



𝜋(1 − 𝜋) 𝜎𝑥 = √ 𝑛 𝑛



σx/n dinamakan kekeliruan baku proporsi atau galat baku proporsi. Untuk ukuran sampel n cukup besar, berlakulah sifat berikut : Jika dari populasi yang berdistribusi binom dengan parameter π untuk peristiwa A, 0 < π < 1, diambil sampel acak berukuran n dimana statistik proporsi untuk peristiwa A (x/n), maka untuk n cukup besar, distribusi proporsi (x/n) mendekati distribusi normal dengan parameter seperti dalam rumus (5) jika (n/N) > 5%, dan seperti dalam rumus (6) jika (n/N) ≤ 5%. Seperi dalam distribusi rata-rata, disini pun akan digunakan n ≥ 30 untuk memulai berlakunya sifat di atas. Untuk perhitungan, daftar distribusi normal baku dapat digunakan dan untuk itu diperlukan transformasi : 𝑥 −𝜋 𝑛 𝑧= 𝜎𝑥 𝑛



Jika perbedaan antara proporsi sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku :



𝜎𝑥 ≤ 𝑑 𝑛



8



Karena σx/n mengandung faktor π dengan π = parameter populasi, maka rumus (8) berlaku jika parameter π sudah diketahui besarnya. Jika tidak, dapat ditempuh cara konservatif dengan mengambil harga kekeliruan baku atau galat baku yang terbesar, yakni π (1 – π ) = ¼. Contoh : Ada petunjuk kuat bahwa 10% anggota masyarakat tergolong ke dalam golongan A. Sebuah sampel acak terdiri atas 100 orang telah diambil. a) Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang itu akan ada paling sedikit 15 orang dari golongan A. b) Berapa orang harus diselidiki agar persentase golongan A dari sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan berbeda paling besar dengan 2%? Jawab: a) Untuk ukuran sampel 100, diantaranya paling sedikit 15 tergolong kategori A, maka paling sedikit x/n = 0,15. Kekeliruan bakunya adalah :



𝜋(1 − 𝜋) 0,10 × 0,90 𝜎𝑥 = √ =√ = 0,03 𝑛 100 𝑛



Bilangan z paling sedikit =



0,15−0,10 0,03



= 1,67



Dari daftar normal baku, luasnya = 0,5 – 0,4525 = 0,0475. Peluang dalam sampel itu aka nada paling sedikit 15 kategori A adalah 0,0475. b) Dari rumus (8) dengan π = 0,1 dan 1 – π = 0,9 sedangkan d = 0,02, maka : 0,1+0,9 𝑛



√



≤ 0,02 yang menghasilkan n ≥ 225



Paling sedikit sampel harus berukuran 225.



9



D. Distribusi Simpangan Baku Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran N. Diambil sampel-sampel acak berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan bakunya, yaitu s. Dari kumpulan ini sekarang dapat dihitung rata-ratanya, diberi simbol𝜇𝑠 dan simpangan bakunya, diberi simbol𝜎𝑠 . Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka distribusi simpangan baku, untuk n besar, biasanya n ≥ 100, sangat mendekati distribusi normal dengan :



𝜇𝑠 = 𝜎 𝜎𝑠 =



𝜎 √2𝑛



dengan σ = simpangan baku populasi. Transformasi yang diperlukan untuk membuat distribusi menjadi normal baku adalah: 𝑧=



𝑠−𝜎 𝜎𝑠



Untuk populasi tidak berdistribusi normal dan untuk sampel berukuran kecil, 𝑛 < 100, rumus- rumusnya snngat sulit dan karena peggunaannya tidak banyak maka disini tidak dijelaskan lebih lanjut. Contoh: Varians sebuah populasi yang berdistribusi normal 6,25. Diambil sampel berukuran 225. Tentukan peluang sampel tersebut akan mempunyai simpangan bakulebih dari 3,5. Jawab:



10



Varians = 6,25 ber = 2,5. Ukuran sampel cukup besar, maka distribusi simpangan baku mendekati distribusi normal dengan rata-rata 𝜇𝑠 = 2,5 dan simpangan baku 𝜎𝑠 =



2,5 √450



= 0,118.



Bilangan z untuk s = 3,5 adalah



𝑧=



3,5 − 2,5 = 8,47 0,118



Praktis tidak menjadi sampel berukuran 225 dengan simpangan baku lebih dari 3,5.



11