Materi Fluks Dan Hukum Gauss [PDF]

Citation preview

Pada pembahasan sebelumnya, Anda mengetahui cara menentukan kuat medan listrik akibat adanya partikel-partikel bermuatan. Bagaimanakah menentukan kuat medan listrik yang tersebar dalam suatu benda, misalnya bola? Untuk menentukan kuat medan listrik akibat distribusi muatan tertentu dipergunakan hukum Gauss. Gauss menurunkan hukumnya berdasarkan pada konsep-konsep garis-garis medan listrik. Kita bahas terlebih dulu konsep fluks listrik. Fluks listrik didefinisikan sebagai jumlah garisgaris medan listrik yang menembus tegak lurus suatu bidang. Perhatikan medan listrik serba sama yang arahnya seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.17a. Garis-garis medan menembus tegaklurus suatu bidang segiempat seluas A. Jumlah garis-garis medan per satuan luas sebanding dengan kuat medan listrik, sehingga jumlah garis medan listrik yang menembus bidang seluas A sebanding dengan EA. Hasil kali antara kuat nedan listrik tersebut dinamakan fluks listrik Φ. Φ=E×A



(4.1.5)



Satuan untuk E adalah N/C, sehingga satuan untuk fluks listrik (dalam SI) adalah (N/C)(m2) yang dinamakan weber (Wb). 1 weber = 1 NC-1m2 Untuk medan listrik menembus bidang tidak tegak lurus, perhatikan Gambar 4.1.17b. Φ = EA’ Dengan A’ = A cos θ, sehingga: Φ = EA cos θ ............................................................(4.1.6) Dengan θ adalah sudut antara arah E dan arah normal bidang n. Arah normal bidang adalah arah yang tegaklurus terhadap bidang (lihat gambar 4.1.17c).



(a)



(b)



(c)



Gambar 4.1.17. (a) Garis-garis medan medan antara listrik menembus bidang, (b) Garis-garis medan listrik menembus bidang dengan sudut θ, (c) θ adalah sudut antara arah medan listrik dan arah normal bidang n. Berdasarkan konsep fluks listrik ini, muncullah hukum Gauss, sebagai berikut:



Jumlah garis-garis medan listrik (fluks listrik) yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu dibagi dengan permitivitas udara.



Φ = EA cos θ =



............................................................(4.1.7)



dengan A=luas permukaan tertutup, θ=sudut antara E dan arah normal n, dan Σq = muatan total yang dilingkupi oleh permukaan tertutup.



Fluks Listrik Fluks berkaitan dengan besaran medan yang “menembus” dalam arah yang tegak lurus suatu permukaan tertentu. Fluks listrik menyatakan medan listrik yang menembus dalam arah tegak lurus suatu permukaan. Ilustrasinya akan lebih mudah dengan menggunakan deskripsi visual untuk medan listrik (yaitu penggambaran medan listrik sebagai garisgaris). Dengan penggambaran medan seperti itu (garis), maka fluks listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya “garis” medan yang menembus suatu permukaan. Fluks listrik yang dihasilkan oleh medan E pada permukaan yang luasnya dA adalah



Fluks listrik



Rumus Fluks Listrik Arah elemen luas dA ditentukan dari arah normal permukaan tersebut.



Hukum Gauss Fluks listrik disebabkan adanya medan listrik, berarti adanya muatan menimbulkan fluks listrik. Tinjau suatu muatan titik q yang berada di titik pusat suatu permukaan yang berbentuk kulit bola.



Di setiap bagian pada permukaan bola E arahnya tegak lurus permukaan dan besarnya sama. Fluks total pada permukaan kulit bola tersebut adalah



Fluks Total Permukaan Bola



Secara umum dapat diperluas bahwa untuk sembarang permukaan hasil yang didapat adalah sama (tidak bergantung pada permukaan yang dipilih). Dengan demikian berarti fluks total pada suatu permukaan sebanding dengan muatan total yang dilingkupi oleh permukaan itu. --> hukum Gauss Dapat dinyatakan kembali



Pernyataan H.Gauss Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan listrik dari sistem yang mempunyai kesimetrian yang tinggi (misalnya simetri bola, silinder, atau kotak). Untuk menggunakan hukum gauss perlu dipilih suatu permukaan khayal yang tertutup (permukaan gauss). Bentuk permukaan tertutup tersebut dapat sembarang.



Konduktor dan Isolator



Konduktor dicirikan sebagai bahan yang mempunyai muatan bebas. Bila suatu penghantar (konduktor) diberi medan listrik maka muatan bebasnya akan mengatur diri mengikuti medan listrik eksternal tersebut hingga tercapai keadaan setimbang.



Konduktor dan Isolator Dengan demikian, pada keadaan setimbang (statik) kuat medan listrik di dalam konduktor adalah sama dengan nol. Elektron-elektron pada bahan isolator terikat kuat pada atomnya sehingga tidak dapat bergerak bebas, artinya muatan-muatan pada bahan isolator tersebar di seluruh bagian benda.



Beberapa contoh Dengan menggunakan hukum Gauss, tentukan kuat medan listrik di dekat permukaan bermuatan yang rapat muatannya Jika permukaan cukup besar dan yang ditinjau adalah medan di dekat permukaan maka E dapat dianggap homogen dengan arah tegak lurus permukaan.



Permukaan Gaus Kulit Silinder



Gunakan hukum Gauss



Penyelesaian



Menggunkan hukum gauss, tentukan medan listrik pada jarak (ι) dari sebuah kawat panjang yang mempunyai rapat muatan (λ). Kawat panjang mempunyai bentuk simetri silinder. Pilih permukaan gauss berupa kulit silinder yang jarijarinya l dan berpusat pada kawat.



Karena kawat panjang, maka efek pinggirnya dapat diabaikan dan medan listrik mempunyai arah radial.



Hukum Gauss



Penyelesaian



Sebuah bola isolator yang bermuatan dengan rapat muatan yang merupakan fungsi dari jarak terhadap pusat bola, yaitu



Tentukan medan listrik di dalam dan di luar bola!



Misalkan jari-jari bola adalah a. Untuk menentukan medan listrik di dalam bola, buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r



Pada permukaan gauss tersebut arah medan listrik sejajar dengan arah normal permukaan , sehingga



sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah



Sehingga, (di dalam bola, r < a)



Untuk menentukan medan listrik di luar bola, buat permukaan gauss berbentuk kulit bola yang jari-jarinya r > a.



sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah



Sehingga, (di luar bola, r > a)



Bola konduktor yang jari-jarinya a diberi muatan sebesar −Q. Tentukan medan listrik di dalam dan di luar bola.



Untuk menentukan medan listrik di dalam bola, buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di dalam bola



sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah sama dengan nol (karena pada konduktor muatan hanya berada di permukaannya saja). Sehingga E = 0 (di dalam bola). Untuk menentukan medan listrik di luar bola, buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di luar bola



sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah q (dalam) = Q, sehingga



Dua buah kulit bola konduktor yang tersusun sepusat masing-masing dengan jarijari a dan b (a < b). Kulit bola yang berjari-jari a mempunyai muatan +2q sementara kulit bola yang berjari-jari b mempunyai muatan −q. Tentukan medan listrik di dalam dan di luar kulit-kulit bola tersebut. Untuk r < a



Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di dalam kulit bola berjari-jari a sehingga, E = 0 (untuk r < a)



Untuk a < r < b Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di antara kedua kulit bola



Untuk r > b Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r dengan r > b



Hukum mengenai gaya elektrostatis dikemukakan oleh Charles Augustin de Coulomb dalam Hukum Coulombnya. Kita dapat menyatakan Hukum Coulomb di dalam bentuk lain, yang dinamakan Hukum Gauss, yang dapat digunakan untuk menghitung kuat medan listrik pada kasus-kasus tertentu yang bersifat simetri. Hukum Gaus menyatakan : “jumlah aljabar garis-garis gaya magnet (fluks) listrik yang menembus permukaan tertutup sebanding dengan jumlah aljabar muatan listrik di dalam permukaan tersebut” Dalam persamaan matematisnya dapat ditulis :



1. Fluks Medan Listrik



Fluks medan listrik yang disimbolkan ΦE , dapat dinyatakan oleh jumlah garis yang melalui suatu penampang tegak lurus. kerapatan fluks listrik pada titik tersebut adalah jumlah per satuan luas pada titik itu. Untuk permukaan tertutup di dalam sebuah medan listrik maka kita akan melihat bahwa ΦE adalah positif jika garis-garis gaya mengarah ke luar, dan adalah negatif jika garis-garis gaya menuju ke dalam. Sehingga, ΦE adalah positif untuk permukaan S1 dan negatif untuk S2. ΦE untuk permukaan S3 adalah nol. Seperti yang diperliahtkan pada gambar di bawah ini.



Perhatikan hambar dibawah ini.



Pada gambar (a) menunjukkan sebuah permukaan tertutup yang dicelupkan di dalam medan listrik tak uniform. Misalnya, permukaan tersebut dibagi menjadi segiempat-segiempat kuadratis ΔS yang cukup kecil, sehingga dianggap sebagai bidang datar. Elemen luas seperti itu dinyatakan sebagai sebuah vektor ΔS , yang besarnya menyatakan luas ΔS . Arah ΔS sebagai normal pada permukaan yang digambarkan ke arah luar. Sebuah vektor medan listrik



E digambarkan oleh tiap segiempat kuadratis. Vektor-vektor E dan ΔS membentuk sudut θ terhadap satu sama lain. Perbesaran segiempat kuadratis dari Gambar (b) ditandai dengan x, y, dan z, di mana pada x, θ > 90o (E menuju ke dalam); pada y, θ = 90o (E) sejajar pada permukaan); dan pada z, θ < 90o (E menuju ke luar). Sehingga, definisi mengenai fluks adalah:



Dengan menggantikan penjumlahan terhadap permukaan pada persamaan di atas dengan sebuah integral terhadap permukaan akan diperoleh: ΦE = ∫ E ⋅ dS kita dapat menentukan bahwa satuan SI yang sesuai untuk fluks listrik (ΦE ) adalah newton.meter2/coulomb (Nm2/C). Hubungan antara ΦE untuk permukaan dan muatan netto q, berdasarkan Hukum Gauss adalah: ∈0 ΦE = q dengan menggunakan persamaan ΦE = ∫ E ⋅ dS diperoleh: ∈0 ∫ E ⋅ dS = q jika sebuah permukaan mencakup muatan-muatan yang sama dan berlawanan tandanya, maka fluks ΦE adalah nol. Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung E jika distribusi muatan adalah sedemikian simetris sehingga kita dapat dengan mudah menghitung integral di dalam persamaan ∈0 ∫ E ⋅ dS = q.



2. Medan di Sebuah Titik



Perhatikan gambar di atas. Gambar tersebut merupakan bola Gaus di mana q sebagai titik pusat dari bola tersebut dengan jari-jari r dan medan listrik E. Medan listrik yang terjadi pada permukaan bola yang jari-jarinya r dan berpusat pada muatan tersebut, dapat ditentukan dengan menggunakan Hukum Gauss. Pada gambar tersebut, E dan dS pada setiap titik pada permukaan Gauss diarahkan ke luar di dalam arah radial. Sudut di antara E dan dS adalah nol dan kuantitas E dan dS akan menjadi E.dS saja. Dengan demikian, Hukum Gauss dari persamaan (4.11) akan menjadi: ∈0 ∫ E ⋅ dS = ∈0 ∫ E.dS = q karena E adalah konstan untuk semua titik pada bola, maka E dapat dikeluarkan dari integral, yang akan menghasilkan: ∈0 .E∫ dS = q dengan integral tersebut menyatakan luas bola, sehingga: ∈0 E (4πr2 )= q atau



karena k = 1/4πε0 maka persamaannya menjadi :



3. Medan Listrik pada Keping Sejajar



Perhatikan gambar di atas. Pada gambar tersebut terdapat dua plat yang memiliki muatan yang berbeda. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya benda yang memiliki muatan memiliki medan listrik pada benda tersebut. Sama halnya dengan plat ini, plat sebelah kanan memiliki muatan negatif dan plat sebelah kiri memiliki muatan positif. Sehingga medan listrik yang terjadi pada kedua plat tersebut bersifat homogen. Jika luas keping A, masing-masing keping bermuatan +q dan -q, medan listrik dinyatakan oleh banyaknya garis-garis gaya, sedangkan garis-garis gaya dinyatakan sebagai jumlah muatan yang menimbulkan garis gaya tersebut (Hukum Gauss). Muatan listrik tiap satu satuan luas keping penghantar didefinisikan sebagai rapat muatan permukaan diberi lambang σ (sigma), yang diukur dalam C/m2. Sehingga persamaannya dpat dihintung dengan :



atau dengan persamaan



karena N = ε0.E.A maka dapat di subtitusikan ke persamaan σ sehingga menjadi



Persamaan tersebut dapat disederhanakan karena memiliki nilai yang sama yaitu A sehingga persamaannya menjadi :



σ=ε0.E Sehingga medan listrik pada keping sejajar dapat dicari dan hasilnnya menjadi :



Keterangan : E : Medan Listrik ( N/C) σ : rapat muatan keping (C/m2) A : Luas