22 0 783 KB
PERKALIAN VEKTOR
2.3.2 PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor
Hasilnya vektor
k : Skalar A : Vektor
C=kA
Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan
:
Jika k positif arah C searah dengan A Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3,
A
C = 3A
2.8
2. Perkalian Vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product)
AB
=C
Hasilnya skalar
C = skalar
Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B Θ = sudut antara vektor A dan B θ B
A cos θ
2.9
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product)
1. Komutatif : A B = B A 2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)
Catatan : 1. Jika A dan B saling tegak lurus A B = 0 2. Jika A dan B searah AB=AB 3. Jika A dan B berlawanan arah A B = - A B
2.10
b. Perkalian Silang (Cross Product)
Hasilnya vektor
C=AxB B θ A B
θ A C=BxA Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ Sifat-sifat : 1. Tidak komutatif A x B
B = xA
2. Jika A dan B saling tegak lurus A x B = B x A 3. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0 2.11
2.4 VEKTOR SATUAN Vektor yang besarnya satu satuan
A Aˆ A
Notasi
Aˆ Aˆ
A A
1
Besar Vektor
Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z k
A j
Arah sumbu x
:
Arah sumbu y
:
iˆ ˆj
Arah sumbu z
:
kˆ
Y i X
A Axiˆ Ay ˆj Az kˆ 2.12
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan i i
=
j j =
k k
=
1
i j
=
j k =
k i
=
0
Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan
ixi
jxj
= kxk
ixj
=
k
jxk
=
i
kxi
=
j
=
=
0 k i
j 2.13
Contoh Soal 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : Besar dan arah vektor pada gambar di samping :
X C
B
Vektor
Besar (m)
Arah (o)
A
19
0
B
15
45
C
16
135
D
11
207
E
22
270
A Y
D E
Hitung : Besar dan arah vektor resultan. Jawab :
Vektor
Besar (m)
Arah(0)
Komponen X(m)
Komponen Y (m)
A B C D E
19 15 16 11 22
0 45 135 207 270
19 10.6 -11.3 -9.8 0
0 10.6 11.3 -5 -22
RX = 8.5
RY = -5.1
Besar vektor R :
=
R 2 +R y2 = X
8.52+ ( - 5 .1)2
=
Arah vektor R terhadap sumbu x positif : - 5.1 tg = = - 0,6 8.5 =
329.030
(terhadap x berlawanan arah jarum jam )
94. . 01 = 9.67 m
2.14
2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Jawab : Vektor A =
A =
2i – 3j + 4k A
=
2
2
2 + (-3) + 4
2
=
29
satuan
3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : A = 2i – 2j + 4k B = i – 3j + 2k Jawab : Perkalian titik : A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2 = 16
Perkalian silang : AxB =
i 2 1
j - 2 - 3
k 4 2
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k = (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k = 8i – 0j – 2j = 8i – 2k
Besaran Vektor: Besaran yang memiliki besar (nilai/angka) dan arah
Contoh besaran Vektor: Besaran Skalar:
Perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya,dll
Besaran yang hanya memiliki besar (nilai/angka) saja
Gambar Vektor
Garis kerja Vektor Arah Vektor
Besar Vektor Titik tangkap/titik pangkal Vektor Garis kerja Vektor
PENULISAN VEKTOR A
=
AB A
Vektor A
= Vektor AB B
PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR Vektor hasil penjumlahan & pengurangan = Vektor Resultan ( R )
Cara Poligon
Penjumlahan & Pe ngurangan Vektor Cara Jajaran Genjang
Soal-soal
Nilai dan Arah Resultan Dua Buah Vektor Yang Membentuk Sudut α a. α ≠ 90º A α
R
A2 B 2 2 AB cos
B R
R
A2 B 2 2 AB cos 90
A2 B 2
a. α = 90º
cos 90 0 A B
Penguraian Vektor Menjadi KomponenKomponennya Y
Besar Sudut ....?
Ay
Tg
Ay Ax
Ay arc tg Ax X
α Ax
Ax A cos
Ay Asin ???
Dari Mana
Kesimpulan Dari Beberapa Kasus Besar Resultan yang mungkin dari dari dua buah vektor A dan B adalah:
ΙA–BΙ≤R≤ΙA+BΙ Ι3Ι= 3 Ι-3Ι= 3
Ι5Ι= 5 Ι-5Ι= 5
Ι 100 Ι = 100 Ι - 100 Ι = 100
Keterangan: Bila sebuah bilangan diberi tanda mutlak ( Ι …. Ι ), maka diambil nilai yang positif