6 0 350 KB
Motivasi
Contoh
Metode Deret Pangkat Yunita Septriana Anwar
Desember 2018
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Motivasi: I
Persamaan Cauchy-Euler merupakan kasus khusus dari persamaan diferensial dengan koefisien variabel: a2 (x)y ” + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 dengan a2 (x), a1 (x), dan a0 (x) merupakan fungsi kontinu dan memiliki representasi dalam bentuk deret Taylor
I
Diasumsikan solusi persamaan diferensial berupa deret: y=
∞ X
cn x n
n=0 I
Akan dicari koefisien-koefisien dari deret tersebut
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Contoh Soal 1 Tentukan solusi persamaan diferensial y ” + y = 0.
Penyelesaian I
Ini merupakan persamaan diferensial orde dua homogen dengan persamaan karakteristik r 2 + 1 = 0, sehingga solusinya: y = c1 cos x + c2 sin x
I
Dengan metode deret misalkan solusi yang dicari P pangkat, n , yaitu menentukan berupa deret y = ∞ c x n=0 n koefisien-koefisien pada masing-masing suku pada deret.
I
Nilai: 0
y =
∞ X n=1
Metode Deret Pangkat
ncn x n−1
Motivasi
Contoh
I
dan y” =
∞ X
n(n − 1)cn x n−2
n=2 I
Substitusikan ke persamaan diferensial diperoleh: ∞ X
n(n − 1)cn x
n=2 I
n−2
+
∞ X
cn x n = 0
n=0
Perhatikan tabel berikut: Pangkat x x0 x1
Metode Deret Pangkat
Koefisien 2(1)c2 + c0 = 0 atau c2 = − 12 c0 1 3(2)c3 + c1 = 0 atau c3 = − 3·2 c1
Motivasi
Contoh
I I
Pangkat x x2 x3 x4 .. .
Koefisien 1 4(3)c4 + c2 = 0 atau c4 = − 4·3 c2 1 5(4)c5 + c3 =0 atau c5 = − 5·4 c3 1 6(5)c6 + c4 =0 atau c6 = − 6·5 c4 .. .
x n−2
1 n(n − 1)cn + cn−2 =0 atau cn = − n·(n−1) cn−2
Kita bedakan koefisien cn untuk kasus n = 2k genap dan n = 2k + 1 ganjil Untuk n = 2k, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−2 , dan dari baris akhir pada tabel diperoleh 2k(2k − 1)c2k + c2k−2 = 0 atau c2k = −
Metode Deret Pangkat
1 c2k−2 2k(2k − 1)
Motivasi
Contoh
I
Sehingga: c2k = −
1 2k(2k − 1) (−1)k = c0 (2k)!
I
−
1 1 1 ··· − − c0 (2k − 2)(2k − 3) 4(3) 2
Untuk n = 2k + 1, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−1 , dan dari baris akhir pada tabel diperoleh: (2k + 1)(2k)c2k+1 + c2k−1 = 0 atau c2k+1 = −
Metode Deret Pangkat
1 c2k−1 (2k + 1)(2k)
Motivasi
Contoh
I
Sehingga: 1 1 − ··· c2k+1 = − (2k + 1)(2k) (2k − 1)(2k − 2) 1 1 − − c1 5(4) 3(2) (−1)k = c1 (2k + 1)! Diperoleh solusi umum: ∞ X y= cn x n
I
n=0
=
∞ X k=0
Metode Deret Pangkat
c2k x
2k
+
∞ X k=0
c2k+1 x 2k+1
Motivasi
Contoh
I
dan y = c0
∞ X (−1)k k=0
(2k)!
x 2k + c1
∞ X (−1)k 2k+1 x (2k + 1)! k=0
= c0 cos x + c1 sin x I
sebagai solusi dari persamaan diferensila y ” + y = 0
I
solusi ini sama dengan solusi dengan metode sebelumnya
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Contoh Soal 2 Tentukan solusi persamaan diferensial y ” + xy 0 + y = 0.
Penyelesaian I
Persamaan diferensial ini termasuk persamaan diferensial dengan koefisien variabel, tetapi bukan termasuk persamaan Cauchy-Euler
I
Dengan metode deret pangkat, misalkan solusi yang dicari berupa deret ∞ X y= cn x n n=0
I
Nilai: y0 =
∞ X n=1
Metode Deret Pangkat
ncn x n−1 dan y ” =
∞ X n=2
n(n − 1)cn x n−2
Motivasi
Contoh
I
Substitusikan ke persamaan diferensial diperoleh: ∞ X
n(n − 1)cn x n−2 +
n=2 I
∞ X n=1
ncn x n +
∞ X
cn x n = 0
n=0
Perhatikan tabel berikut:
Pangkat x x0 x1 x2 x3 x4 .. .
Koefisien 2(1)c2 + c0 = 0 atau c2 = − 21 c0 3(2)c3 + c1 + c1 = 0 atau c3 = − 31 c1 4(3)c4 + 2c2 + c2 = 0 atau c4 = − 14 c2 5(4)c5 + 3c3 + c3 =0 atau c5 = − 15 c3 6(5)c6 + 4c4 + c4 =0 atau c6 = − 16 c4 .. .
xn
1 (n + 2)(n + 1)cn+2 + (n + 1)cn =0 atau cn+2 = − (n+2) cn
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
I
Kita bedakan koefisien cn untuk kasus n = 2k − 2 genap dan n = 2k − 1 ganjil Untuk n = 2k − 2, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−2 , dan c2k = −
I
1 c2k−2 2k
Sehingga: 1 1 1 1 1 c2k = − − ··· − − − c0 2k 2k − 2 6 4 2 k (−1) = c0 (2)(4)(6) · · · (2k)
I
Untuk n = 2k − 1, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−1 , dan c2k+1 = −
Metode Deret Pangkat
1 c2k−1 2k + 1
Motivasi
Contoh
I
Sehingga: 1 1 1 1 − ··· − − c1 2k + 1 2k − 1 5 3 k (−1) = c1 (3)(5) · · · (2k + 1)
c2k+1 = −
I
Diperoleh solusi umum: y=
∞ X
c2k x
k=0 ∞ X
= c0
n=1 I
2k
+
∞ X
c2k+1 x 2k+1
k=0 ∞
X (−1)k (−1)k + c1 (2)(4)(6) · · · (2k) (3)(5) · · · (2k + 1) n=1
sebagai solusi dari persamaan diferensila y ” + xy 0 + y = 0
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Latihan
Tentukan solusi persamaan diferensial: x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Titik Ordinary dan Titik Singular I
Misalkan diberikan persamaan diferensial: a2 (x)y ” + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
I
Bentuk standar: y ” + p(x)y 0 + q(x)y = 0 dengan p(x) =
I
a1 (x) a2 (x)
dan q(x) =
a0 (x) a2 (x)
Titik x0 disebut titik ordinary jika p(x) dan q(x) analitik di x0 , yaitu p(x) dan q(x) mempunyai representasi deret Taylor. Sebaliknya, disebut titik singular
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
Persamaan diferensial: d 2y dy + (x 2 − 5)y = 0 +x 2 dx dx
I
dimiliki p(x) = x dan q(x) = x 2 − 5 yang keduanya merupakan polinomial yang analitik disetiap titik
I
Sehingga semua titik merupakan titik ordinary
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
Persamaan diferensial: (x − 1)
I
1 d 2y dy + y =0 +x 2 dx dx x
memiliki bentuk standar: d 2y x dy 1 + + y =0 dx 2 x − 1 dx x(x − 1) x x−1
dimiliki p(x) =
I
fungsi p(x) analitik kecuali di x = 1 dan q(x) analitik kecuali di x = 0 dan x = 1
I
Semua titik merupakan titik ordinary, kecuali x = 0 dan x = 1 merupakan titik singular
Metode Deret Pangkat
dan q(x) =
1 x(x−1)
I
Motivasi
Contoh
I
Misalkan x0 merupakan titik singular pada p(x) dan q(x) di bentuk standar persamaan diferensial: y ” + p(x)y 0 + q(x)y = 0 dengan p(x) =
I
a1 (x) a2 (x)
dan q(x) =
a0 (x) a2 (x)
Jika (x − x0 )p(x) dan (x − x0 )2 q(x) analitik di x0 , maka x0 disebut titik singular regular. Sebaliknya x0 disebut titik singular irregular
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
Persamaan diferensial: 2x 2
I
d 2y dy + (x − 5)y = 0 −x 2 dx dx
Bentuk standar: d 2y x −5 1 dy + − y =0 dx 2 2x dx 2x 2
I I
1 dan q(x) = x−5 diperoleh p(x) = − 2x 2x 2 x = 0 merupakan titik singular, dan
xp(x) = −
1 x −5 dan x 2 q(x) = 2 2
yang keduanya analitik di x = 0 merupakan titik singular regular Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Deret Frobenius Teorema Misalkan x0 adalah titik singular regular dari a2 (x)y ” + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 maka terdapat paling sedikit deret berbentuk y=
∞ X
cn (x − x0 )n+r
n=0
dengan r adalah bilangan real tertentu. Deret ini konvergen pada interval 0 < |x − x0 | < R Deret ini disebut deret Frobenius Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
soal Tentukan solusi persamaan diferensial x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0
Penyelesaian I
Titik x = 0 merupakan titik singular pada x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0
I
Fungsi p(x) = − x1 dan q(x) = − x12 , dan (x − 0)p(x) = −1 dan (x − 0)2 q(x) = −3 yang analitik di x = 0
I
Sehingga x = 0 adalah titik singular regular, dan memiliki solusi dalam deret Frobenius
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
Misalkan solusi: y=
∞ X
cn x
n+r
0
, dan y =
n=0
serta y ” =
∞ X
(n + r )cn x n+r −1 ,
n=0 ∞ X
(n + r )(n + r − 1)cn x n+r −2
n=0 I
Substitusikan ke persamaan diferensial, diperoleh: ∞ ∞ ∞ X X X (n+r )(n+r −1)cn x n+r − (n+r )cn x n+r −3 cn x n+r = 0 n=0
Metode Deret Pangkat
n=0
n=0
Motivasi
Contoh
Pangkat x xr
.. . xn
Koefisien r (r − 1)c0 − rc0 − 3c0 = 0, karena c0 6= 0, maka r (r − 1) − r − 3 = (r − 3)(r + 1) = 0 Sehingga r = −1 atau r = 3 .. . [(n + r )(n + r − 1) − (n + r ) − 3]cn = 0 [(n + r )2 − 2(n + r ) − 3]cn = 0 (n + r − 3)(n + r + 1)cn = 0
I
Jika r = −1 disubstitusikan ke persamaan terakhir pada tabel diperoleh: (n − 4)ncn = 0
I
Diperoleh cn = 0, kecuali untuk n = 0 dan n = 4 sehingga c0 dan c4 sebarang nilai
I
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
Akibatnya, y1 =
∞ X
cn x
n+r
=
n=0
∞ X
cn x n−1
n=0
atau y1 = c0 x −1 + c4 x 3 I
Jika r = 3, disubstitusikan ke persamaan terakhir pada tabel diperoleh: n(n + 4)cn = 0
I
diperoleh cn = 0, kecuali untuk n = 0, sehingga y2 =
∞ X n=0
Metode Deret Pangkat
cn x n+r =
∞ X n=0
cn x n+3 = c0 x 3
Motivasi
Contoh
Dengan menggunakan prinsip superposisi diperoleh solusi persamaan diferensial x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0: y = C1 x −1 + C2 x 3
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
Pikirkan satu angka dari 1 sampai 15
I
Kemudian jawab ”ya” atau ”tidak” pada pertanyaan berikut, anda diperbolehkan berbohong hanya satu kali
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}?
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15}?
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15}?
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Contoh
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}?
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 2, 5, 6, 8, 11, 12, 15}?
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 2, 4, 7, 9, 10, 12, 15}?
I
Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15}?
Metode Deret Pangkat
Motivasi
Metode Deret Pangkat
Contoh