Metode Substitusi Dan Metode Gabungan SPLTV [PDF]

Citation preview

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Dengan Metode Substitusi dan Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi) A. Metode Substitusi



Dalam penyelesaian persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan susunan terurut triple bilangan (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut. Sistem persamaan dengan tiga variabel dapat diselesaikan dengan 3 cara diatas yaitu metode substitusi, metode gabungan dan metode determinan. Langsung kita bahas penyelesaian persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan cara metode substitusi. Metode substitusi akan efektif dipakai apabila sistem persamaan linear sangat sederhana dan salah satu variabelnya dalam persamaan yaitu +. Dibawah ini telah disiapkan beberapa contoh soal yang bisa anda pelajari. Dan juga telah disiapkan beberapa contoh latihan soal yang bisa dikerjakan untuk mengetahui seberapa jauh siswa memahami persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode substitusi.  Contoh Soal! Tentukan persamaan himpunan penyelesaiaan dari sistem persamaan: x + y + z = -6…………….(1) x – 2y + z = 3…………….(2) -2x + y + z = 9…………(3) Penyelesaian: Persamaan (1) dapat diubah menjadi z = -x – y -6 ……………………(4) Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2), diperoleh: x – 2y + (-x – y -6 ) = 3 x – 2y – x – y -6 = 3 -3y = 3 + 6 = 9 => y = 9/-3 = -3 Substitusikan persamaan (4) kepersamaan (3), diperoleh: -2x + y + (-x – y -6 ) = 9 -2x + y – x – y -6 = 9 -3x = 9 + 6 -3x = 15 => x = 15/-3 = -5



Substitusikan nilai x = -5 dan y = -3 ke persamaan (4), diperoleh: z = -(-5) – (-3) -6 z=5+3–6 => z = 2 Jadi, himpunan penyelesaian dari x + y + z = -6, x – 2y + z = 3 dan -2x + y + z = 9 adalah {(-5, -3, 2)} Ya, seperti itu penjelasannya. Bagaimana? Mudahkan bukan??? Agar anda lebih mengerti dan benar-benar paham akan contoh diatas cobalah soal-soal latihan di bawah ini. 1. x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 2. 2x + y – z = 2 x – 2y + 3z = 1 3x – y + 2z = 3 3. x + 2y – 3z = -1 3x – y + 2z = 7 5x + 3y – 4z = 2 x + 2y – z = 4 x – y + 2z = 8 x+y–z=6



B. Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi) Langkah-langkah penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Dengan Menggunakan Metode Gabungan sebagai berikut: 1. Kita eliminasikan sebuah variabel dari dua persamaan. 2. Selesaikan hasil yang diperoleh, yaitu system persamaan dengan dua variabel dengan metode substitusi atau eliminasi atau eliminasi-substitusi. 3. Substitusikan variabel-variabel yang diperoleh pada langkah (ii) ke persamaan awal untuk memperoleh nilai variabel lainnya. 4. Periksalah penyelesaian kamu.  Contoh Soal : Selesaikanlah sistem persamaan berikut ini. x – y + z = -4………..……….(1) 2x + y + 2z = -5…………….(2)



3x – y – z = -6……..…………(3)



Penyelesaian: Langkah (i) : mengeliminasi satu variabel. Dalam system ini. Misalkan yang akan dihapus variabel y dari dua dengan menggunakan metode eliminasi. Metode ini harus benar-benar kalian pahami. Karena metode ini merupakan langkah pertama dalam menyelesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel. Pada persamaan (1) dan (2) x – y + z = -4 2x + y + 2z = -5 3x + 3z = -9 Jadi,



+ ……………………………… (4)



x + z = -3



Persamaan (2) dan (3) 2x + y + 2z = -5 3x – y – z = -6 5x



+



+ z = -11



…………………………….. (5)



Hasil yang diperoleh dari system persamaan di atas adalah dua persamaan yaitu persamaan (4) dan (5). x + z = -3 5x + z = -11 Langkah (ii): kita selesaikan kedua persamaan tersebut dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. x + z = -3 5x + z = -11 – -4x =8 => x = 8/-4 = -2 Untuk menentukan nilai z, kita substitusikan nilai x = -2 ke persamaan x + z = -3, diperoleh : -2 + z = -3 => z = -3 + 2 = -1 Jadi, z = -1 Langkah ke (iii): kita substitusikan nilai x = -2 dan z = -1 ke persamaan (1), diperoleh:











x – y + z = -4 -2 – y + (-1) = -4 -2 – y – 1 = -4 -3 – y = -4 -y = -4 +3 -y = -1



y = 1



Langkah (iv): Periksa penyelesaian. x – y + z = -4



2x + y + 2z = -5



3x – y – z = -6



– 2 – 1 + (-1) = -4



2(-2) + 1 + 2(-1) = -5



3(-2) – 1 – (-1) = -6



– 2 – 1 – 1 = -4



-4 + 1 – 2 =-5



-6 – 1 + 1 = -6



-4 = -4



-5 = -5



-6 = -6



C. Latihan Mencoba : 1. Selesaikan persamaan berikut dengan metode subtitusi : x + y + 2x = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0



2. Selesaikan persamaan berikut dengan metode gabungan (subtitusi dan eliminasi): x + y + 2x = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0