Modul Ajar Matematika Baris Dan Deret [PDF]

Citation preview

MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS X BARISAN DAN DERET A. Bagian I: Informasi Umum Nama Penyusun



ERNI ALFIANI, S,Pd



Nama Sekolah Fase / Kelas Capaian Pembelajaran



SMKN 1 Pandeglang E/X Di akhir fase E, peserta didik dapat menggeneralisasi sifat-sifat operasi bilangan berpangkat (eksponen) dan logaritma, serta menggunakan barisan dan deret (aritmetika dan geometri).



Jumlah Pertemuan Alokasi waktu (menit) Elemen / Domain Kompetensi Awal



4 Pertemuan 16 JP (4 x 45 menit) Aritmetika (Pola Bilangan dan Barisan Bilangan) Aritmetika dan Geometri



Profil Pelajar Pancasila



Model Pembelajaran



Gotong Royong, Bernalar Kritis, Kreatif, dan Bertakwa Kepada Tuhan Yang Maha Esa • Papantulis • Spidol • Laptop • JaringanInternet • LCD Proyektor • Regular/tipikal • Hambatan Belajar • Cerdas Istimewa Berbakat Istimewa Discovery Learning



Moda Pembelajaran



Daring / Luring



Metode Pembelajaran Sumber Pembelajaran



Diskusi, tanya jawab, presentasi Buku Paket, Modul, Internet dan Lainnya



Media Pembelajaran



PPT



Sarana Prasarana



Target Peserta Didik



1



B. BAGIAN II: KOMPONEN INTI Tujuan Pembelajaran



Pesertadidik mampu: 1. Siswa mampu Mendeskripsikan konsep barisan dan deret aritmatika Secara nalar dengan benar. 2. Siswa mampu Menganalisis suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret aritmatika, secara kreatif dengan benar. 3. Menentukan suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret aritmatika secara mandiri dengan benar. 4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kehidupan sehari hari dengan menggunakan konsep baris dan deret aritmatika 5. Siswa mampu Mendeskripsikan konsep barisan dan deret Geometri Secara nalar dengan benar. 6. Siswa mampu Menganalisis suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret Geometri, secara kreatif dengan benar. 7. Menentukan suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret Geometri secara mandiri dengan benar. 8. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kehidupan sehari hari dengan menggunakan konsep baris dan deret aritmatika



Pemahaman Bermakna



-



Pertanyaan Pematik



-



Mendeskripsikan konsep barisan dan deret aritmatika. Menganalisis suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret aritmatika. Menentukan suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret aritmatika. Menyajikan hasil menemukan pola barisan dan deret dan penerapan nya dalam penyelesaian masalah sederhana. Kalian pasti pernah berbaris rapi,untuk menjadikan barisan rapi kirakira apa yang harus dilakukan? Pernahkah melihat irama bilangan atau pola bilangan? Apa itu pola bilangan? Bagaimana menentukan pola bilangan itu? Coba sebutkan 3 bentuk pola bilangan yang kalian ketahui? apakah kalian masih ingat barisan dan deret aritmatika? Apa itu barisan aritmatika? Bagaimana cara menentukan beda? 2



Pesiapan Pembelajaran



-



Apa itu deret aritmatika? Apa itu barisan dan deret geometri? Lalu apa beda nya dengan barisan dan deret aritmatika? Guru membuat presentasi tentang Pola bilangan Guru membuat contoh penerapan Pola bilangan Guru menggandakanLKPD



KEGIATAN PEMBELAJARAN Pertemuan 1 Kegiatan awal (20 menit) 1. Guru mengingatkan peserta didik untuk membuka google classroom melalui group WA 2. Peserta didik dan Guru memulai dengan berdoa Bersama melalui gmeet. 3. Peserta didik disapa dan melakukan pemeriksaan kehadiran bersama denganguru. 4. Peserta didik bersama dengan guru membahas tentang kesepakatan yang akan diterapkan dalam pembelajaran 5. Peserta didik dan guru berdiskusi melalui pertanyaan pemantik: a) Kalian pasti pernah berbaris rapi,untuk menjadikan barisan rapi kira-kira apa yang harus dilakukan? b) Pernahkah melihat irama bilangan atau pola bilangan? c) Apa itu pola bilangan? d) Bagaimana menentukan pola bilangan itu? e) Coba sebutkan 3 bentuk pola bilangan yang kalian ketahui? Kegiatan Inti (145 Menit) Tahap I: Stimulation (Pemberian Rangsangan)  Mendeskripsikan konsep pola bilangan dan barisan bilangan. Peserta didik mengamati beberapa contoh bentuk pola bilangan: - Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, ..... -



Barisan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, 10, ....



-



Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, ....



Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. Tahap II: Problem statement (identifikasi masalah) - Peserta didik secara responsive mengemukakan ide secara lisan/tulisan identifikasi masalah dari hasil pengamatan terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. - Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang



3



Tahap III: Data collection (pengumpulan data) -



Secara proaktif, peserta didik menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Dalam hal ini peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing diinternet,modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan.



Tahap IV: Data processing (pengolahan data) -



Dari hasil menggali informasi, peserta didik mendiskusikan dalam kelompoknya untuk menyusun langkah-langkah atau strategi penyelesaian masalah dan menuangkannya pada lembar kerja secara bertanggungjawab



Tahap V: Verification (pembuktian) -



Peserta didik melakukan verifikasi dan mengevaluasi dalam memecahkan masalah yaitu saling bertanya, berdiskusi di kelompoknya (saling mengecek) untuk finalisasi penyelesaian agar dapatdipertanggungjawabkan



Tahap VI: Generalization (menarik kesimpulan) -



Menginstruksikan peserta didik terhadap hasil pekerjaan untuk dapatdipresentasikan Menfasilitasi peserta didik dari perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas dan yang lain dapat menanggapi.



Kegiatan Penutup (15 menit) 1. 2. 3.



Peserta didik dapat menanyakan hal yang tidak dipahami pada guru Peserta didik mengomunikasikan kendala yang dihadapi selama mengerjakan Peserta didik menerima apresiasi dan motivasi dariguru.



PERTEMUAN 2 Kegiatan awal (20 menit) 1. Guru mengingatkan peserta didik untuk membuka google classroom melalui group WA 2. Peserta didik dan Guru memulai dengan berdoa Bersama melalui gmeet. 3. Peserta didik disapa dan melakukan pemeriksaan kehadiran bersama denganguru. 4. Peserta didik bersama dengan guru membahas tentang kesepakatan yang akan diterapkan dalam pembelajaran 5. Peserta didik dan guru berdiskusi melalui pertanyaan pemantik: a) apakah kalian masih ingat barisan dan deret aritmatika? b) Apa itu barisan aritmatika? c) Bagaimana cara menentukan beda? d) Apa itu deret aritmatika?



4



Kegiatan Inti (145 Menit) Tahap I: Stimulation (Pemberian Rangsangan)  Mendeskripsikan Barisan dan deret aritmatika. Peserta didik mengamati beberapa contoh bentuk barisan aritmatika: 2, 4, 6, 8, 10, ..... 5, 10, 15, 20, ..... Deret aritmatika - 2 + 4 + 6 + 8 + ..... - 3 + 7 + 11 + 15 + ..... - -2 + 1 + 4 + 7 +..... 



Menganalisis suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret aritmatika. b = Un – Un – 1



 



Menentukan suku pertama, beda, suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan dan deret aritmatika. Menyajikan hasil menemukan pola barisan dan deret dan penerapan nya dalam penyelesaian masalah sederhana.



Tahap II: Problem statement (identifikasi masalah) - Peserta didik secara responsive mengemukakan ide secara lisan/tulisan identifikasi masalah dari hasil pengamatan terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. Tahap III: Data collection (pengumpulan data) -



Secara proaktif, peserta didik menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Dalam hal ini peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing diinternet,modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan.



Tahap IV: Data processing (pengolahan data) -



Dari hasil menggali informasi, peserta didik mendiskusikan dalam kelompoknya untuk menyusun langkah-langkah atau strategi penyelesaian masalah dan menuangkannya pada lembar kerja secara bertanggungjawab



Tahap V: Verification (pembuktian) -



Peserta didik melakukan verifikasi dan mengevaluasi dalam memecahkan masalah yaitu saling bertanya, berdiskusi di kelompoknya (saling mengecek) untuk finalisasi penyelesaian agar dapatdipertanggungjawabkan



Tahap VI: Generalization (menarik kesimpulan) -



Menginstruksikan peserta didik terhadap hasil pekerjaan untuk dapatdipresentasikan Menfasilitasi peserta didik dari perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas dan yang lain dapat menanggapi 5



Kegiatan Penutup (15 menit) 1. 2. 3.



Peserta didik dapat menanyakan hal yang tidak dipahami pada guru Peserta didik mengomunikasikan kendala yang dihadapi selama mengerjakan Peserta didik menerima apresiasi dan motivasi dariguru.



PERTEMUAN 3 Kegiatan awal (20 menit) 1. Guru mengingatkan peserta didik untuk membuka google classroom melalui group WA 2. Peserta didik dan Guru memulai dengan berdoa Bersama melalui gmeet. 3. Peserta didik disapa dan melakukan pemeriksaan kehadiran bersama denganguru. 4. Peserta didik bersama dengan guru membahas tentang kesepakatan yang akan diterapkan dalam pembelajaran 5. Peserta didik dan guru berdiskusi melalui pertanyaan pemantik: - Apa itu barisan dan deret geometri? - Lalu apa beda nya dengan barisan dan deret aritmatika? Kegiatan Inti (145 Menit) Tahap I: Stimulation (Pemberian Rangsangan)  Mendeskripsikan Barisan dan deret Geometri. Peserta didik mengamati beberapa contoh bentuk barisan geometri: - 2, 4, 8, 16, 32, .... - 3, 6, 12, 24, .... Peserta didik mengamati beberapa contoh bentuk barisan geometri: 4 + 2 + 1 + ½ + .... 3 + -6 + 12 + -24 + ..... Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. Tahap II: Problem statement (identifikasi masalah) - Peserta didik secara responsive mengemukakan ide secara lisan/tulisan identifikasi masalah dari hasil pengamatan terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. Tahap III: Data collection (pengumpulan data) -



Secara proaktif, peserta didik menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Dalam hal ini peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing diinternet,modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan.



Tahap IV: Data processing (pengolahan data) -



Dari hasil menggali informasi, peserta didik mendiskusikan dalam kelompoknya untuk menyusun langkah-langkah atau strategi penyelesaian masalah dan menuangkannya pada lembar kerja secara bertanggungjawab 6



Tahap V: Verification (pembuktian) -



Peserta didik melakukan verifikasi dan mengevaluasi dalam memecahkan masalah yaitu saling bertanya, berdiskusi di kelompoknya (saling mengecek) untuk finalisasi penyelesaian agar dapat dipertanggungjawabkan



Tahap VI: Generalization (menarik kesimpulan) -



Menginstruksikan peserta didik terhadap hasil pekerjaan untuk dapat dipresentasikan Menfasilitasi peserta didik dari perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas dan yang lain dapat menanggapi.



Kegiatan Penutup (15 menit) 1. 2. 3.



Peserta didik dapat menanyakan hal yang tidak dipahami pada guru Peserta didik mengomunikasikan kendala yang dihadapi selama mengerjakan Peserta didik menerima apresiasi dan motivasi dari guru.



PERTEMUAN 4 Kegiatan awal (20 menit) 1. Guru mengingatkan peserta didik untuk membuka google classroom melalui group WA 2. Peserta didik dan Guru memulai dengan berdoa Bersama melalui gmeet. 3. Peserta didik disapa dan melakukan pemeriksaan kehadiran bersama denganguru. 4. Peserta didik bersama dengan guru membahas tentang kesepakatan yang akan diterapkan dalam pembelajaran 5. Peserta didik dan guru berdiskusi melalui pertanyaan pemantik: - apa itu deret geometri tak hingga? Kegiatan Inti (145 Menit) Tahap I: Stimulation (Pemberian Rangsangan)  Mendeskripsikan Barisan dan deret Geometri. Peserta didik mengamati beberapa contoh bentuk barisan geometri: 54+ 18 + 6 + 2 + .... ¼ + 1 + 4 + 16 + .... Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. Tahap II: Problem statement (identifikasi masalah) - Peserta didik secara responsive mengemukakan ide secara lisan/tulisan identifikasi masalah dari hasil pengamatan terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. Tahap III: Data collection (pengumpulan data) -



Secara proaktif, peserta didik menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Dalam hal ini peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing diinternet,modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. 7



Tahap IV: Data processing (pengolahan data) -



Dari hasil menggali informasi, peserta didik mendiskusikan dalam kelompoknya untuk menyusun langkah-langkah atau strategi penyelesaian masalah dan menuangkannya pada lembar kerja secara bertanggungjawab



Tahap V: Verification (pembuktian) -



Peserta didik melakukan verifikasi dan mengevaluasi dalam memecahkan masalah yaitu saling bertanya, berdiskusi di kelompoknya (saling mengecek) untuk finalisasi penyelesaian agar dapat dipertanggungjawabkan



Tahap VI: Generalization (menarik kesimpulan) -



Menginstruksikan peserta didik terhadap hasil pekerjaan untuk dapat dipresentasikan Menfasilitasi peserta didik dari perwakilan kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas dan yang lain dapat menanggapi.



Kegiatan Penutup (15 menit) 1. 2. 3.



Peserta didik dapat menanyakan hal yang tidak dipahami pada guru Peserta didik mengomunikasikan kendala yang dihadapi selama mengerjakan Peserta didik menerima apresiasi dan motivasi dari guru.



Refleksi



Asesmen



1. Apakah ada kendala pada kegiatanpembelajaran? 2. Apakah semua siswa aktif dalam kegiatanpembelajaran? 3. Apa saja kesulitan siswa yang dapat diidentifikasi padakegiatan pembelajaran? 4. Apakah siswa yang memiliki kesulitan ketika berkegiatan dapatteratasi denganbaik? 5. Apa level pencapaian rata-rata siswa dalam kegiatan pembelajaranini? 6. Apakah seluruh siswa dapat dianggap tuntas dalam pelaksanaan pembelajaran? 7. Apa strategi agar seluruh siswa dapat menuntaskankompetensi? Asesmen Formatif : Lembar Kerja Peserta Didik AsesmenSumatif : Soal Latihan



8



C. BAGIAN III: LAMPIRAN BAHAN BACAAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA Sebelum membahas jauh materi ini, coba simak pertanyaan berikut! 1. Apa itu pola bilangan? 2. 2, 4, 6, 8, 10 apakah termasuk pola bilangan? Jika iya, termasuk pola bilangan apa susunan bilangan tersebut? 3. Dapatkah kamu menyebutkan pola bilangan lain yang terdiri dari 5 suku? A. POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN Sekumpulan bilangan kadang mengikuti pola tertentu. Misalnya barisan bilangan berikut: 



Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, .....







Barisan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, 10, ....







Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, ....



Pola bilangan atau aturan bilangan digunakan untuk menentukan urutan atau letak suatu bilangan dari sekumpulan bilangan. Sedangkan barisan bilangan adalah susunan anggota suatu himpunan bilangan yang diurutkan berdasarkan pola atau aturan tertentu. Anggota barisan bilangan disebut suku barisan, yang dinyatakan sebagai berikut: U1 ,, U2 , U3 , ......, Un Contoh: Tulislah empat suku pertama dari barisan yang mempunyai rumus suku ke-n berikut. a) Un = (n – 1)3 b) Un = n2 – 5n Penyelesaian: a) Un = (n – 1)3 U1 = (1 – 1)3 = 0 U2 = (2 – 1)3 = 1 U3 = (3 – 1)3 = 8 U4 = (4 – 1)3 = 27 Jadi empat suku pertama barisan tersebut adalah 0, 1, 8, dan 27. b) Un = n2 – 5n U1 = 12 – 5(1) = 1 – 5 = – 4 U2 = 22 – 5(2) = 4 – 10 = – 6 U3 = 32 – 5(3) = 9 – 15 = – 6 9



U4 = 42 – 5(4) = 16 – 20 = – 4 Jadi empat suku pertama barisan tersebut adalah -4, -6, -6, dan -4. B. BARISAN ARITMATIKA Coba perhatikan barisan bilangan berikut: 2, 4, 6, 8, 10 Aturan apa yang digunakan pada pola barisan tersebut? Jika terdapat suatu pola tertentu pada suatu barisan dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan yang selalu tetap atau konstan maka barisan tersebut disebut barisan aritmatika. Rumus suku ke-n barisan aritmatika Un = a + (n – 1)b Keterangan: Un = suku ke- n a = suku pertama b = selisih atau beda untuk menentukan selisih/beda dapat gunakan rumus: b = Un – Un – 1 untuk menentukan suku tengah dari suatu barisan aritmatika dapat gunakan rumus:



1 U tengah = ( U awal +U akhir ) 2 Contoh: 1) Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n dan suku ke 10 dari barisan berikut: a. 5, 10, 15, 20, ..... Penyelesaian: 



Suku pertama (a) = 5







Beda (b) = U2 – U1 = 10 – 5 = 5







Rumus suku ke-n ( Un ) = a + (n – 1)b = 5 + (n – 1)5 = 5 + 5n – 5 = 5n. Suku ke- 10 (U10 ) = 5n = 5(10) = 50



2) Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 = 17 dan suku ke- 9 = 37. Tentukan suku ke-41 barisan tersebut. Penyelesaian: Suku ke-4 (U4 ) = 17 10



Maka U4 = a + (4 – 1)b = 17 = a + 3b = 17 ................ (1) Suku ke – 9 (U9 ) = 37 Maka U9 = a + (9 – 1)b = 37 = a + 8b = 37 ..................... (2) 



Untuk menentukan suku ke 41 gunakan sistem eliminasi persamaan (1) dan (2)



a + 3b = 17 a + 8b = 37



_



– 5b = – 20 b = - 20 : - 5 b=4  subtitusikan nilai b = 4 ke persamaan (1) a + 3b = 17 a + 3(4) = 17 a + 12 = 17 a = 17 – 12 a =5 



sehingga suku ke 41 adalah: Un = a + (n – 1)b



U41 = 5 + (41 – 1)4 = 5 + (40) 4 = 5 + 160 = 165 Jadi, suku ke – 41 barisan tersebut adalah 165. C. DERET ARIMATIKA Deret adalah penjumlahan berurut dari suku-suku suatu barisan. Berikut ini adalah beberapa bentuk deret: 



2 + 4 + 6 + 8 + .....







3 + 7 + 11 + 15 + .....







-2 + 1 + 4 + 7 +.....



Bentuk umum deret dinyatakan sebagai berikut: U1 + U2 + U3 + ....... + Un Deret aritmatika adalah suatu barisan aritmatika yang suku-sukunya dijumlahkan. Deret arimatika disebut juga deret jumlah atau deret hitung. Rumus deret aritmatika n suku pertama



n Sn= ( a+U n ) 2



11



atau



n Sn = ¿ 2



Keterangan: Sn = jumlah n suku pertama deret aritmatika n = banyak suku Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda. Untuk setiap n berlaku persamaan berikut: Un = Sn – Sn -1 Contoh: 1. Diketahui deret aritmatika 2 + 5 + 8 + 11 + ... tentukan a. Rumus jumlah n suku pertama (Sn ) b. Jumlah 20 suku pertama (S20) deret tersebut Penyelesaian: Suku awal (a) = 2 Beda = 5 – 2 = 3 a.



n Sn = ¿ 2



n ¿ ¿ 2 n ¿ ( 4+3 n−3 ) 2 n ¿ ( 1+3 n ) 2 1 n 3 n2 atau ¿) ¿ + 2 2 2 20 b. S20= ¿ 3) 2 20 ¿3) 2 20 ¿ ¿) 2 ¿ 10 ¿) ¿ 610 ¿



2. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp. 50.000,00. Jika gaji pertama karyawan tersebut adalah Rp. 2.500.000,00. Tentukan jumlah gaji karyawan tersebut selama satu tahun pertama. Penyelesaian: a = 2.500.000 12



b = 50.000 n = 1 tahun = 12 tahun



n Sn = ¿ 2 12 S12= ¿ 2 ¿6¿ ¿ 6 ( 5.000 .000+550.000 ) ¿ 6 ( 5.550 .000 ) ¿ 33.300 .000 Jadi, jumlah gaji karyawan tersebut selama satu tahun pertama adalah Rp. 33.300.000,-



13



BARISAN DAN DERET GEOMETRI A. BARISAN GEOMETRI 1. Pengertian Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap (r = rasio). Jika diketahui barisan bilangan U1, U2, U3, U4, ....., UN. Nilai r diperoleh dengan cara berikut:



r=



U2 U3 U4 U = = =… … ..= n U1 U2 U3 U n −1



Kontansta itu disebut rasio, dinyatakan dengan r, dirumuskan sebagai berikut:



r=



Un U n−1



Rumus suku tengah barisan geometri



U tengah =√ U awal .U akhir Contoh: Tentukan rasio dari barisan geometri berikut ini: a. 3, 9, 27, 81, .... b. 2, 8, 32, 128,.... Jawab:



9 3



27 81 = =3 9 27



8 2



32 128 = =4 8 32



a. r = = b. r = =



2. Rumus Suku Ke-n Suku ke-n barisan geometri adalah:



U n =ar n−1 Contoh: 1) Tentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut ini: a. 2, 4, 8, 16,.... b. 3 ,



3 3 3 , , , …. . 2 4 8



jawab: a. U1 = 2 r=



4 8 = =2 2 4



U n =a . r n−1 ¿ 2.2n−1 14



¿ 2.



2n 2



¿ 2n Jadi, rumus suku ke-n adalah U n =2n b. U1 = a = 3 r=



3 3 3 1 :3= : = 2 8 4 2 U n =a . r n−1 1 n−1 ¿ 3.( ) 2 1 2



n−1



Jadi, rumus suku ke-n adalah U n =3.( ) 2) Tentukan suku ke-20 dari barisan 1, 2, 4, 8, ..... Jawab: Suku awal (a) = 1 rasio =



2 4 = =2 1 2



suku ke 20



U n =ar n−1 U 20=1 .220−1 ¿ 1.219 ¿ 524.288 Jadi suku ke 20 dari barisan geometri tersebut adalah 524.288



B. DERET GEOMETRI Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri yang dinotasikan dengan S n. Rumus deret geometri sebagai berikut:



Sn=a



(r ¿¿ n−1) untuk r > 1, r ≠1 ¿ r−1



Atau



Sn=a



(1−r ¿¿ n) untuk r < 1, r ≠1 ¿ 1−r



keterangan: Sn = jumlah n suku pertama (deret) a = suku awal 15



r = rasio n = banyaknya suku contoh: 1) dari deret geometri diketahui suku ke-2 = 6 dan suku ke-6 = 96. Jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut adalah... Jawab: Diketahui U2 = 6 U6 = 96 Kemudian dari soal yang diketahui dibuat persamaan menjadi: U2 = a.rn-1 = 6 = a. r2-1 = 6 = a. r1 = 6



.............. (1)



U6 = a . rn-1 = 96 = a . r6-1 = 96 = a . r5 = 96 ............... (2) Lakukan metode subtitusi dari persamaan (1) ke persamaan (2) untuk menentukan nilai a dan r a . r1 = 6 a=



6 r



subtitusikan nilai a =



6 ke persamaan ke (2) r



a . r5 = 96



6 5 . r =96 r 6 . r4 = 96 r4 =



96 6



r4 = 16 r 4 = 24



r =2 setelah itu subtitusi nilai r = 2 ke persamaan (1) a. r1 = 6 a.2=6 a = 6/2 a=3 selanjutnya kita mencari nilai jumlah 5 suku pertama deret geometri, karena r >1 maka gunakan rumus: 16



Sn=a



(r ¿¿ n−1) untuk r > 1, r ≠1 ¿ r−1 S5=3



¿



(2¿¿ 5−1) ¿ 2−1



3(25−1) 1 ¿



3(24) 1



¿ 72 2) tentukan Jumlah 6 suku pertama dari deret geometri 8 + 4 + 2 + .... Jawab: a=8



4 2 1 = = 8 4 2



r=



karena r < 1 maka gunakan rumus



Sn=a



(1−r ¿¿ n) untuk r < 1, r ≠1 ¿ 1−r



1 (1− ¿ ¿ 6) 2 S6 =8 ¿ 1 1− 2 (1− ¿8



¿ 16 ¿



1 ¿ ¿❑) 64 ¿ 1 2



( 6364 )



63 4



Jadi jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah



63 4



C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA Deret geometri tak hinga adalah deret geometri dengan banyak suku-suku yang tidak terhingga. Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen jika deretnya memiliki limit jumlah untuk -1 < r < 1:



S∞ =



a 1−r 17



Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika deretnya tidak memiliki limit jumlah untuk r < -1 atau r > 1:



S∞ =



a± ∞ =± ∞ 1−r



Keterangan:



S∞ = jumlah deret tak hingga a



= suku pertama



r



= rasio



Contoh: Tentukan jumlah deret tak hingga dari 81 + 27 + 9 + 3 + ..... Alternatif penyelesaian: Deret tak hingga di atas merupakan deret tak hingga konvergen, karena r =



1 masuk 3



dalam rentang -1 < r < 1, maka jumlah deret tak hingga adalah:



S∞ = ¿



¿



a 1−r



81 1 1− 3 81 2 3



¿



81 ×3 2



¿



243 2



18



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)



BARISAN ARITMATIKA



Petunjuk: Diskusikan dengan teman dalam kelompokmu ! Memprediksi Pola Barisan Masalah 1 Beberapa batu bata disusun sehingga setiap kelompok tersusun seperti gambar di bawah ini Buatlah prediksi dua susunan bata berikutnya !



Penyelesaian : Kump bata ke-



Jumlah bata



Pola



1



.....



......



2



.....



......



3



......



......



4



.......



.......



n



.......



...



Masalah 2 19



Dari gambar di bawah ,tentukan pola suku ke – n ! Bagaimana selisih antara jumlah segitiga dengan segitiga sebelumnya?



Penyelesaian : Kump. segitiga ke-



Jumlah segitiga



Pola



1



1



1



2



3



2+1



Masalah 3



3



5



3+2



Pak



4



7



4+3



konveksi.



N



.......



...



Ali



adalah Konveksi



seorang tersebut



pemilik dapat



membuat 10 baju pada bulan pertama. Permintaan baju semakin bertambah



sehingga konveksi nya harus menyelesaikan 15 baju pada bulan kedua, dan 20 baju pada bulan ketiga.Dia menduga jumlah baju yang harus diselesaikan untuk bulan berikutnya akan 5 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dengan pola tersebut, pada bulan keberapa konveksi pak Ali dapat menyelesaikan 100 buah baju dalam satu bulan?



LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) BARISAN GEOMETRI Bakteri merupakan makhluk hidup yang berkembang biak dengan cara membelah diri. Dalam waktu dua jam, satu sel bakteri membelah diri menjadi 3 bagian seperti pada Gambar 2.5. Ayo mencari jumlah bakteri setelah 20 jam, jika jumlah awal adalah 2 sel bakteri! Untuk menentukan jumlah sel bakteri setelah 20 jam, kalian harus melengkapi pernyataan di bawah ini. • Suku pertama pada permasalahan di atas adalah .... • Tiap dua jam, membelah menjadi 3, maka rasio pada barisan di atas adalah .... Dalam 20 jam, terjadi pembelahan sebanyak 20 jam : 2 jam = ... kali → n = 10. 20



Eksplorasi 2.3 Melipat Kertas Siapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu ayo bereksplorasi melipat kertas beberapa kali. Jika kertas tersebut dilipat sebanyak 1 kali seperti pada Gambar 2.4, maka kertas akan terbagi menjadi 2 bagian sama besar. Lanjutkan melipat kertas sebanyak beberapa kali, lalu tuliskan jumlah bagian sama besar yang terbentuk pada Tabel 2.2.



• Apakah banyaknya bagian yang sama besar pada lipatan kertas membentuk barisan bilangan? • Aturan apa yang terdapat pada barisan bilangan tersebut? • Operasi hitung apa yang ada di antara suku-suku pada barisan bilangan di atas? • Ayo amati rasio antara dua suku yang berdekatan.



DERET GEOMETRI TAK HINGGA Ayo Bereksplorasi Bola tenis dilemparkan ke atas setinggi 1m. Bola tersebut akan terus memantul sampai akhirnya berhenti. Setelah dicermati, setiap kali bola memantul, tingginya menjadi kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Ayo bereksplorasi dengan melakukan percobaan melempar bola bersama teman kelompokmu, lalu jawablah pertanyaan di bawah ini. •



Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret geometri? Bagaimana kalian mengetahuinya?



21



•



Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola memantul sampai akhirnya berhenti?



22



RUBRIK PENILAIAN Aspek



Berkembang



Mulai Berkembang



Mahir



Sangat Mahir



Isi Permasalahan



Siswa kurang mampu memahami dan mengidentifikasi permasalahan yang diberikan dan menuliskan penyelesaian permasalahan masih belumjelas



Siswa mampu memahami dan mengidentifikasi permasalahan yang diberikan. Dan menuliskan penyelesaian sudah cukup jelas tetapi masih terlalu panjang



Siswa mampu memahami dan mengidentifikasi dan menuliskan secara jelas penyelesaian permasalahan yang diberikan



Siswa mampu memahami dan mengidentifikasi dan menuliskan secara jelas penyelesaian permasalahan yang diberikan serta menghubungkan penyelesaian terhadap permasalahan yang diberikan



Presentasi



Belum Dapat difahami peserta lain



Sudah dapat difahami peserta dengan jelas peserta lain tetapi masih terlalu panjang



Sudah dapat difahami dengan jelas oleh peserta lain dengan sesuai dengan pedoman penilaian



Sudah sangat dapat difahami dengan jelas oleh peserta lain dengan sesuai dengan pedoman penilaian dan mampu menggunakan di permasalahan lain.



23



Soal Latihan



Petunjuk : Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar !



No



Soal



1



Seorang anak bermain mengelompokan kelereng menurut susunan sbb : 2, 4, 6, 8, 10, ... Tentukan pola barisan tersebut ? Berapa banyak kelereng pada urutan ke-10 ?



2



Diketahui barisan 5, 9, 13, 17, ... Tentukan : a. Rumus suku ke-n b. suku ke- 13



Kunci jawaban



a. U1 = 2 U2 = 4 = 2 + 2 U3 = 6 = 2 + 2.2 U4 = 8 = 2 + 2.3 .......... .......... Un = 2 + 2.(n-1) = 2 + 2n – 2 = 2n b. U10 = 2.10 = 20 a. U1 = 5 U2 = 9 = 5 + 4 = 5 + 4.1 U3 = 13 = 5 + 9 = 5 + 4.2 U4 = 17 = 5 + 13= 5 +4.3 ......... Un = 5 + 4(n-1) = 5 + 4n – 4 = 4n + 1 a. U13 = 4.13 + 1 =53



3



Tentukanlah jumlah bilangan Jumlah bilangan kelipatan 4 di kelipatan 4 di antara bilangan 10 antara 10 – 100: hingga 100. 12 + 16 + … … … + 96 a = 12 b=4 Un = 96 a + (n – 1) b = 96 12 + (n – 1)4 = 96 12 + 4n – 4 = 96 8 + 4n = 96 4n = 96 – 8 4n = 88 n = 88/4 n = 22



Pedoman penskoran



5



5



5



5



5



5



5



5



n Sn = ( a+ Un) 2 24



22 (12+96) 2 ¿ 11(108) ¿



4



5



Pertambahan penduduk di suatu desa setiap tahunnya membentuk barisan geometri. Pada tahun 2021, penduduk bertambah sebanyak 10 orang, lalu pada tahun 2023 sebanyak 90 orang. Berapa jumlah pertambahan penduduk pada tahun 2025?



= 1.188 U3 = a r2 a = 10 10 r2 = 90 r2 = 90:10 r2 = 9 r =3 pertambahan penduduk pada tahun 2025 adalah U 5 = a r4 = 10 x 34 = 10 x 81 = 810 a=4



10



5



Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut: 2 1 r= = 4 + 2 + 1 + ... 4 2



Sn =



a (1−r n ) 1−r



1 10 4 (1− ) 2 ¿ 1 1− 2 1 4 (1− ) 1024 ¿ 1 2 1023 4( ) 1024 ¿ 1 2 1023 ¿8 1024 1023 ¿ 128



(



6



10



5



10



)



Suku pertama suatu deret geometri S∞ = 10 tak hingga adalah x. Tentukan x a = x yang memenuhi sehingga jumlah a deret geometri tak hingga tersebut S∞ = 1−r adalah 10.



10=



x 1−r



10 (1 – r) = x 10 – 10r = x 25



-10r = x + 10



x−10 −10 10−x r= 10 r=



10



Karena deret tak hingga merupakan deret konvergen, maka rasio berada di rentang -1 < r < 1 -1