![Modul Statistik Deskriptif 20201 Fix [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/modul-statistik-deskriptif-20201-fix.jpg)
7 0 4 MB
Yoeli Fau, SE.,MM
PERTEMUAN 1 PENDAHULUAN MEMAHAMI STATISTIKA
Statistika berasal dari kata Statista (Bahasa Italia), yang berarti Statesman (Negarawan). 1.
Statistics (Plural):
Kumpulan data berbentuk angka. Sering
disebut dengan data.
Misal: statistik ekspor. 2.
Statistic (Singular): Kuantitas tertentuSering disebut dengan statistik sampel.
Misal: rata-rata sampel, simpangan baku sampel, dan sebagainya. 3.
Statistics:Semua metode yang dipergunakan dalam mengumpulkan dan menganalisis data. Dalam bahasa Indonesia, diterjemahkan sebagai STATISTIKA
1. Pengertian Statistik Deskriptif Statistik Deskriptif adalah: statistik yang berfungsi untuk
mendeskriptifkan atau memberi
gambaran terhadap objek yg diteliti melalui data sampel atau populasi sebagaimana adanya, tanpa melakukan analisis dan membuat kesimpulan yg berlaku untuk umum. yang dikemukakan dalam statistik Deskriptif adalah: cara-cara penyajian data, dengan : - Tabel biasa - Distribusi frekwensi, - Grafik maupun diagram - Penjelasan Kelompok melalui: √ Modus
√ median
√ Mean
- Variasi Kelompok melalui : √ Rentang
√ Simpangan Baku
2. Statistik dan Statistika Statistik adalah suatu kumpulan data yang tersusun lebih dari satu angka. Sedangkan Statistika adalah ilmu mengumpulkan, menata, menyajikan, menganalisis dan menginterprestasikan data angka dengan tujuan membantu pengambilan keputusan yang efektif. Jenis-jenis Statistika Statistika Deskriptif adalah metode-metode statistika yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu data sehingga memberikan informasi yang berguna. Statistika Inferensial adalah mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis data sampel untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi.
1
Yoeli Fau, SE.,MM
4. Populasi dan Sampel Populasi adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian dengan ciri mempunyai karakteristik yang sama. Sampel adalah bagian dari populasi untuk dijadikan sebagai bahan penelahaan dengan harapan sampel yang diambil dari populasi tersebut dapat mewakili (representative) populasinya. 5. Data dan Variabel Data adalah informasi yang diterima dalam bentuk angka, kata-kata, atau dalam bentuk lisan dan tulisan lainnya. Data yang dihitung atau diukur untuk keperluan analisis akan memperlihatkan variasi nilai suatu variabel – yaitu, karakteristik yang menunjukkan variasi. Jenis variabel ada dua yaitu : 1. variabel kualitatif atau atribut dan `
2. veriabel kuantitatif.
6. Variabel Kuantitatif Variabel kuantitatif ada yang bersifat diskrit dan kontinu. Variabel diskrit mempunyai nilai-nilai tertentu dan biasanya ada “jarak” diantara nilai-nilainya. Variabel kontinu dapat mengambil sembarang nilai pada suatu selang waktu tertentu. 7. Persyaratan Data yang Baik Objektif, artinya bahwa data harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya (as it is). Representative (mewakili), artinya data harus mewakili objek yang diamati. Kesalahan sampling (sampling error) Tepat waktu. Relevan, artinya data yang dikumpulkan harus ada hubungannya dengan masalah yang akan dipecahkan. 8. Jenis-jenis Data
e u n M u r r u M n e t u m u e S b r S t a f i t
t a D a
t u r n e M t r u n e M w k a o r e p m e p n u g m
2
c r a h e l n a l u
Yoeli Fau, SE.,MM 9.Skala Pengukuran 1. Skala Nominal Adalah skala yang digunakan untuk pengukuran data yang hanya bisa diklasifikasikan ke dalam kategori-kategori. Pengklasifikasian di atas dianggap : saling lepas (mutually exclusive) yaitu suatu individu, benda atau pengukuran, hanya tercakup dalam satu kategori saja. lengkap terbatas (exhaustive) yaitu setiap individu, benda, atau pengukuran, harus muncul di satu kategori. 2. Skala Ordinal Skala ordinal adalah skala yang membagi data dalam berbagai tingkatan data atau ranking tertentu. Misalnya, kategori 1 untuk istimewa, 2 untuk sangat baik, 3 untuk baik, dan seterusnya. Skala ordinal memiliki ciri kategori-kategori itu saling lepas (mutually exclusive) dan lengkap terbatas (exhaustive).
3. Skala Interval Pengukuran skala interval adalah skala yang lebih tinggi lagi. Semua ciri atau karakteristik data skala ordinal sekaligus menjadi ciri skala interval. Jarak antar nilai bernilai tetap. Dengan demikian skala interval adalah merupakan ukuran yang dibatasi pada interval tertentu. Misalnya, pengukuran suhu udara, kelembaban udara dan sebagainya. 4. Skala Rasio Skala rasio adalah tingkat “tertinggi” dari skala pengukuran. Semua ciri atau karakteristik pada skala interval skaligus menjadi ciri skala rasio: perbedaan antara nilai-nilai diketahui dan bernilai tetap; kategori-kategori bersifat saling lepas (mutually exclusive). Perbedaan utama antara skala interval dengan skala rasio adalah: (1) data skala rasio memiliki titik nol yang punya arti, dan (2) rasio antara dua nilai mempunyai arti.
3
Yoeli Fau, SE.,MM Metodologi Pemecahan Masalah Secara Statistika Mulai Identifikasi masalah atau peluang Kumpulan fakta internal dan eksternal yang relefan dengan permasalahannya Apakah fakta yang tersedia Ya cukup?
Tida k
Kumpulkan data orisinil yang baru dengan menggunakan wawancara atau kuesioner
Klasifikasi dan ikhtisarkan data dengan menggunakan tabel, grafik, dan ukuran deskriptif numerik Sajikan dan komunikasikan informasi yang telah diklasifikasikan Gunakan informasi sampel untuk: Mengevaluasi nilai parameter Menguji asumsi-asumsi tentang parameter Interprestasikan hasilnya, tarik kesimpulan, dan ambil keputusan
Apakah fakta yang tersedia cukup? Gunakan informasi sensus untuk mengevaluasi alternatif rangkaian tindakan dan mengambil keputusan Sele sai
4
Yoeli Fau, SE.,MM
Pertemuan 2-5 PENYAJIAN DATA Distribusi Frekuensi Tahapan Penyusunan Distribusi Frekuensi
Penyajian Data Grafik Suatu Distribusi Frekuensi Penyajian Data dengan MS-Exel 1. Pengertian Distribusi Frekuensi Daftar Distribusi frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa kelompok (kelas) yang menunjukkan banyaknya pengamatan dalam setiap kelas yang tidak saling tumpang tindih. Daftar distribusi frekuensi juga sering disebut sebagai tabel frekuensi.
2. Tahapan Penyusunan DF 1. Tentukan nilai data tertinggi (Xmax) dan data terendah (Xmin) dari himpunan data yang ada. 2. Tentukan jumlah kelas (banyak kelas), dengan menggunakan metode Sturges dengan rumus:
Dimana: k = jumlah kelas (dilakukan pembulatan ke atas) n = jumlah observasi ( jlh Datum /data umum) 3. Tentukan panjang kelas (p) dari tiap-tiap interval kelas, dengan rumus:
Dimana: Xmax = nilai data tertinggi Xmin = nilai data terendah p = panjang kelas 5
Yoeli Fau, SE.,MM
k
= jumlah kelas
4. Tentukan ujung bawah kelas pertama dan kelas-kelas berikutnya, dengan ketentuan: Ujung bawah kelas pertama ditetapkan dengan menggunakan nilai data terendah. Ujung bawah kelas-kelas berikutnya (kedua, ketiga, keempat, dst) ditentukan dengan menambah ujung bawah kelas sebelumnya dengan panjang kelas. 5.
Tentukan ujung atas kelas pertama dan kelas-kelas berikutnya, dengan ketentuan. Jika ujung bawah kelas adalah bilangan bulat, maka ujung atas kelas tersebut adalah ujung bawah kelas setelah kelas itu ditambah dengan 1. Jika ujung bawah kelas adalah bilangan pecahan satu desimal, maka ujung atas kelas tersebut adalah ujung bawah kelas setelah itu ditambah dengan 0,1. Jika ujung bawah kelas adalah bilangan pecahan dua desimal, maka ujung atas kelas tersebut adalah ujung bawah kelas setelah itu ditambah dengan 0,01. Dan seterusnya.
6.
Setelah kolom interval kelas selesai, langkah selanjutnya adalah menghitung frekuensi masing-masing kelas. Perhitungan frekuensi masing-masing kelas dapat digunakan metode tally atau metode turus.
7.
Selanjutnya, tentukan mid point atau nilai tengah dari masing-masing kelas interval, dengan rumus:
Contoh soal 6 8 7
8 4 7
7 5 8
8 2 7
6 8 6
9 0 9
6
6 2 7
8 8 5
7 6 8
9 3 7
Yoeli Fau, SE.,MM
3 6 1 6 6 9 4 7 9 6 5 8 6 5 4 5 5
9 6 5 7 8 7 8 6 2 8 0 6 7 7 0 8 0
8 7 5 8 2 8 9 6 7 7 3 7 3 9 8 6 5
3 8 7 7 5 6 1 9 7 5 7 8 1 7 9 9 6
0 7 4 9 4 7 5 7 8 8 8 7 2 8 2 6 9
3 6 2 7 7 9 5 8 5 7 8 6 3 6 4 9 3
1 9 5 6 9 6 0 7 6 6 2 7 6 5 5 9 2
Jawab: 1. Nilai Max dari data diatas : 98 Nilai Min dari data diatas : 53 2. Jumlah kelas : k =1+ 3 , 322 log n k =1+ 3 , 322 log 100 k =1+ 3 , 322 ( 2 ) k =1+ 6 , 644 k =7 , 644 atau k =8
3. Panjang Kelas dari tiap-tiap interval: max− min k 98 −53 p= =5 . 625 8 atau p=6 p=
4. ujung bawah atas kelas: 59 – 64 sebanyak 6= jlh panjang kls 65 – 70 sebanyak 6 = jlh panjang kls 71 – 76 sebanyak 6 = jlh panjang kls
7
9 7 8 7 4 7 9 6 5 7 6 7 5 5 6 5 4
5 6 3 6 8 8 3 7 1 5 3 8 5 9 0 7 8
5 7 2 6 0 7 1 7 5 7 4 7 7 8 7 7 6
Yoeli Fau, SE.,MM
77 – 82 sebanyak 6 = jlh panjang kls 83 – 88 sebanyak 6 = jlh panjang kls 89 – 94 sebanyak 6 = jlh panjang kls 95 – 100 sebanyak 6 = jlh panjang kls 5. ujung atas kelas 53 - 59 60 - 65 66 - 71 72 - 77 78 - 83 84 – 89 90 – 95 96 100 6. menghitung frekuensi masing-masing kelas dengan metode tally atau metode turus. IIIII II IIIII IIIII III IIIII IIIII III IIIII IIIII IIIII IIIII IIII IIIII IIIII IIIII III IIIII IIIII I IIIII IIII IIIII
7. Frekwensi 7 13 13 24 18 11 9 5 Jlh
100
8. Tentukan mid point atau nilai tengah dari masing-masing kelas interval, dengan rumus:
8
Yoeli Fau, SE.,MM
55,5 61,5 67,5 73,5 79,5 85,5 91,5 97,5
9. Hasil Distribusi Frekuensi
Mid Frekuens Poin i t Interva (Xi) l Kelas (Fi) 55,5 53 – 58 7 61,5 59 – 64 13 67,5 65 – 70 13 73,5 71 – 76 24 79,5 77 – 82 18 85,5 83 – 88 11 91,5 89 – 94 9 95 – 97,5 100 5 Jumlah 100 10. Penyajian Grafik Suatu DF: Histogram
9
Yoeli Fau, SE.,MM
30 25 20 15 10 5 0 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi Relatif Adalah daftar distribusi frekuensi yang dinyatakan dalam bentuk relatif (persentase), yaitu banyaknya data pada setiap interval kelas dinyatakan dalam bentuk persen. Distribusi Frekuensi Kumulatif Adalah penyajian data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi dengan cara melakukan penjumlahan frekuensi dalam frekuensi. Distribusi frekuensi kumulatif terbagi dalam dua bagian yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari. Distribusi Frekuensi Terbuka Adalah daftar distribusi frekuensi yang menyatakan suatu kondisi yang dianggap tidak perlu menyatakan batas terendah dan/atau batas tertinggi. 1. Distribusi Frekuensi Relatif Nilai 53 – 58 59 – 64 65 – 70 71 – 76 77 – 82 83 – 88 89 – 94 95 – 100 Jumlah
Frekuens i 7 13 13 24 18 11 9 5
Frekuensi Relatif 7/100 x 100% = 7% 13/100 x 100% = 13% 13/100 x 100% = 13% 24/100 x 100% = 24% 18/100 x 100% = 18% 11/100 x 100% = 11% 9/100 x 100% = 9% 5/100 x 100% = 5% 100%
100
10
Yoeli Fau, SE.,MM
2. Distribusi Frekuensi Kumulatif: Kurang Dari Nilai Kurang Dari Kurang dari 53 Kurang dari 59 Kurang dari 65 Kurang dari 71 Kurang dari 77 Kurang dari 83 Kurang dari 89 Kurang dari 95 Kurang dari 100
Frekuensi Kumulatif 0 7 20 33 57 75 86 95 100
3. Distribusi Frekuensi Kumulatif: Labih Dari Nilai atau Lebih 53 atau lebih 59 atau lebih 65 atau lebih 71 atau lebih 77 atau lebih 83 atau lebih 89 atau lebih 95 atau lebih 100 atau lebih 4. sajikan grafiknya dengan MS-exel
Frekuensi Kumulatif 100 93 80 67 43 25 14 5 0
11
Yoeli Fau, SE.,MM
PERTEMUAN 6-7 PENGUKURAN 1. Pengukuran Nilai Sentral Pemusatan data (sentral data) adalah: suatu nilai yg mewakili semua nilai observasi dalam suatu data. Beberapa macam nilai sentral data antara lain: 1. Rata-rata hitung (arithmatic mean) 2. Rata-rata hitung tertimbang 3. Median 4. Modus 5. Rata-rata ukur (Geometric mean) 1. Rata-rata hitung 1. rata-rata hitung tunggal 2. Rata-rata hitung mean 3. Rata-rata hitung kelompok Rumus untuk mencari mean dari data yang belum dikelompokkan:
xi ∑ x= n
12
Yoeli Fau, SE.,MM
x = rata-rata hitung = jumlah ∑ x semua nilai observasi n = jumlah item observasi
2. Rata hitung mean data berbobot Rata-rata hitung tertimbang digunakan untuk menghitung rata-rata pada data yg mengandung unsur variabel timbangan(weighted):
per
Jam kerja untuk membuatunit produk
Golongan Karyawan
Upah jam
Unskilled
Rp 10.000
2 jam
Semiskilled
Rp 40.000
4 jam
Skilled
Rp 50.000
6 jam
maka :
x=
∑ ( X i. . ni ) ∑ ni
10 . 000(2)+40. 000( 4 )+50 . 000(6 ) 2+4 +6 x=Rp. ????? x=
pada perhitungan tersebut variabel jam kerja untuk membuat 1 unit produk disebut variabel timbangan atau tertimbang.Selanjutnya timbangan ini harus diperhitungkan dalam penghitungan rata-rata.Rumusan untuk mencari rata-rata hitung tertimbang adalah :
xw=
∑ (w . x) ∑w 13
Yoeli Fau, SE.,MM
Ket :
x w = rata-rata tertimbang w = timbangan x = nilai Misalnya : Perhitungan IP mahasiswa. Contoh: Seorang mahasiswa STIE nias Selatan mengambil 5 mata kuliah yakni: Mata kuliah Statistika Operation Research Ekonomi Manajerial Matematika Ekonomi Bahasa Inggris Ekonomi
Bobot SKS 3 3 3 3 2
Hasil Ujian A=4 B=3 C=2 D=1 E=0
Maka IP mahasiswa yang sebenarnya merupakan rata-rata hitung tertimbang dari nilai-nilai ujiannya yaitu:
3(4) 3(3) 3(2) 3(1) 2(0) 3 33 3 2 12 9 6 3 0 xw 2,14 14 xw
3. MEDIAN CONTOH:1
Rumus median Jika jlh data : 1. Ganjil (n+1)/2 2. Genap (n+2)/2= hasil 2
Carilah nilai median pada : 12,15,17,10,7,9,10,12,19 5
Jawab: 7,9,10, 10, 12, 12,15,17,19 Latak median adalahberada pada: (N+1)/2 =(9+1)/2 = 10/2 =5 Maka Nilai median adalah nilai pada letak ke-5, yaitu 12
14
Yoeli Fau, SE.,MM
Contoh 2 Carilah nilai median untuk data berikut ini : 4
100, 90, 124, 112, 156, 178 Jawab: 90, 100, 112, 124, 156, 178 (n+2)/2 =(6+2)/2=8/2=4 Median = (112+124)/2 = 236/2 = 118
4. Modus Modus ada 2 yaitu: 1. Modus f (frekwensi tunggal) 2. Modus data berkelompok Contoh : 1). 13, 12, 14, 15, 15, 17, modusnya adalah: 15 2).100, 120, 124, 124, 147, 170,170,200 memiliki modus = 124 dan 170 3). 12, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 17, 20 modusnya adalah: 14 ,15,17 4). 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 = tidak ada modus
Secara empiris hubungan tersebut adalah : 5. Hubungan rata-rata Hitung , Median & Modus
x Mo 3( x Md ) Contoh: Jika diketahui Rata-rata hitung= 5,5 , Median = 6 Maka modus data tersebut adalah : 5,5-Mo = 3(5,5 -6) 5,5 - Mo = 3(5,5) 3(-6) 5,5 - Mo = 16,5 – 18 5,5 - Mo = -1,5 5,5- Mo = -1,5 5,5+1.5 = Mo M=7
15
Yoeli Fau, SE.,MM
6. Rata-rata Ukur (Gm=geometri Mean) Rata-rata ukukur biasanya digunakan untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan (rate of changes). Contoh………………………………………………………………………. Seandainya kita memiliki data jumlah penabung di sebuah Bank sebagai berikut: Rasio Tahun Jumlah Pertambahan 201O
1000
2011
2000
2x
20.000 10x 2012 Untuk mendapatkan hasil perhitungan yg lebih baik maka digunakan rata-rata ukur.rumus rata-rata ukur adalah :
xukur=n√ X1. X 2. X 3....... Xn xukur=√ 2x10 xukur=4 ,47/thn Hasi ini relatif lebih baik dibanding hasil perhitungan dengan menggunakan rata-rata hitung . Hal tersebut dapat diperlihatkan pada tabel berikut:
Tahun 1980 1981 1982
Jumlah 1000
Jlh Prediksi (Gm=4,47/th) -
selisih -
2000
4,47 x 1000=4.470
2.27
20
4,47 X 4.470 x = 19.981
19
Nilai Kwartil Nilai kuartil adalah: nilai yang membagi nilai observasi suatu data yang telah diurutkan dari nilai terendah sampai nilai tertinggi menjadi empat bagian yg sama besar. Kwartil 1 adalah nilai pada letak( ¼) dari n. Kwartil 2 adalah nilai pada letak( ½ ) dari n. Kwartil 3 adalah nilai pada letak( ¾ ) dari n. Digambar dengan:
16
Yoeli Fau, SE.,MM
Nilai Desil Nilai Desil adalah: nilai-nilai yang membagi nilai observasi suatu data yang telah diurutkan dari nilai tertinggi hingga terendah menjadi sepuluh bagian yg sama besar.Desil terdiri dari 9 nilai, yaitu muali dari desil 1 sampai desil 9.
D2 Langkah yang digunakan untuk mencari nilai-nilai desil hampirsama dengan cara mencari nilai median perbedaannya terletak pada nilai yg dicari.Rumus umum untuk mencari Desil adalah :
Nilai Persentil
Dn=(n/10) x N N= jumlah nilai observasi atau frekwensi Persentil adalah nilai-nilai yg membagi nilai observasi suatu data yg telah diurutkan dari nilai terkecil hingga menjadi 100 bagian yg sama besar.dengan demikian kita memiliki 99 nilai persentil(P1-P99). Rumus mencari letak persentil ke-n adalah :
Pn=(n/100) x N
17
Yoeli Fau, SE.,MM
PERTEMUAN 9-12
2. Pengukuran Dispersi Dispersi adalah : besarnya penyimpangan suatu nilai dari sentralnya. Dua kelompok data mungkin memiliki rata-rata yang sama, tapi berbeda dalam hal variabilitas nilai-nilai observasinya. Contoh: Data”A” : 52, 56, 60, 64, 68 Data”B” : 40, 50, 60, 70, 80 Rata-rata kedua kelompok data tersebut diatas adalah sama yakni 60. namun demikian variasi nilai-nilai terhadap nilai sentral kedua kelompok data tersebut berbeda. Perhatikan gbr berikut ini :
Pengukuran Dispersi ada 2 yaitu: 1. Dispersi Absolut à untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data. 2. Dispersi Relatif à untuk membandingkan variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya. Metode pengukuran dispersi absolut ada 2 yaitu : 1. Range
2. Standar Deviasi
Range adalah: Selisih Nilai tertinggi dan Nilai terendah suatu data. Contoh: DATA
: 40, 50, 60, 70, 80
RANGE: 80-40 =40 Oleh: Karl Pearson (seorang ahli statistik) membuat Rumus Deviasi Standar :
18
Yoeli Fau, SE.,MM
S= nilaiobservasike-I = rata-rata N = jumlahnilaiobservasi Untuk data n yg relatif besar, katakanlah lebih besar dari 100, penyebut (n-1) dapat diganti dengan , dengan pertimbangan bahwa data dgn n yg besar, nilai(n-1) dan tidak jauh berbeda. contoh : Hitunglah Deviasi Standar dari data : 40, 50, 60, 70,80 Jawab:
n
s s
( Xi X )
2
i 1
n 1 1000 1581 5 1
Rumus Relatif untuk menghitung Deviasi Standar :
√
1 s= n−1
[∑
( x 21−
∑ xi)2 n
]
Untuk n > 100, (n-1) dapat diganti n Contoh: Menghitung Deviasi standar dari data: 40,50,60,70,80 Xi 40 50 60 70 80 ∑xi=300
√
[
2
(300) 1 s= 19.000− 5−1 5
Xi^
1.6 2.5 3.6 4.9 6.4 19
]
( 90.000 ) s= 0,25 19 .000− 5 s= √0,25 [ 19.000−18000 ] s= √0,25 [ 1000 ] s= √250 s=15,81
√
19
[
]
Yoeli Fau, SE.,MM
2. Pengukuran Dispersi Relatif Untuk membandingkan variabilitas pada 2 atau lebih kelompok data, sebaliknya kita menggunakan deviasi standar. Kenapa. Perhatikan contoh berikut ini : Data “A” : 7, 8, 9, 11, 12, 13 Data “B” : 9700, 9800, 9900, 10000, 10100, 10200, 10,300.-
Rata−rata A = X B=
7+8+ 9+ 11+ 12+ 13 60 = =10 6 6
9700+ 9800+ 9900+ 10000+ 10100+ 10200+ 10300 70 . 000 = =10 . 000 7 7
Deviasi Standar “A” = 2,36 yaitu dengan cara perhitungan sbb: Xi 7 8 9 11 12 13 ∑xi=60
√
1 s= n−1
[∑
Xi^ 49 64 81 121 144 169 628
( x 21−
∑ xi )2
n
1 602 628− 6−1 6
[
]
3600 6 s= √ 0,2 [ 628−600 ] s= √ 0,2 [ 28 ] s= √ 5,6 s=2 , 36
]
s=
√
√
[
s= 0,2 628−
20
]
Yoeli Fau, SE.,MM dan Rata-rata “B”
9700 9800 9900 10000 10100 10200 10,300 70.000 10.000 7 7
Buktikan bahwa Deviasi “B” =216
Dapatkah kita menyatakan bahwa bervariasi dari pada data”A”?
data
B
lebih
Jawab Walau deviasi standar “A” lebih kecil dari kenyataan deviasi standar data“B” terdiri dari nilai-nilai observasi yg relatif jauh lebih besar dari nilai-nilai observasi data.
Deviasi nilai 11 dari rata-ratanya 10 adalah 1 namun demikian dalam persentase deviasi tersebut adalah : 1 100% 10%! 10
Deviasi nilai 10.100 dari nilai rata-ratanya (10.000) adalah 100, tetapi dalam persentase, angka tersebut adalah hanya: 100 100% 1% 100.000
Untuk Pengukuran dispersi relatif yakni koefisien variasi, rumus untuk mencari koefisien variasi adalah:
V
S x100% x
V= koefisien variasi S= Deviasi Standar x = rata-rata
21
Yoeli Fau, SE.,MM
Varasi a’
VA
S 2,36 x100% x100% 23,6 10 x
Varasi B’
VB
S 216 x100% x100% 2,16 10000 x
Pertemuan 10 - 11
KEMENCENGAN /KECONDONGAN SKEWNES Distribusi dapat berbentuk : 1.simetris(Bell-Shaped Perpectly Symmetrical) yg berarti: luas kurvadi sebelah kiri nilai ratarata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai rata-rata. Seperti terlihat pada gbr ini :
ke kiri artinya: nilai-nilai observasi yang berfrekwensi rendah lebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata atau ekornya menjulur ke-kiri
X Md Mo
Setangkup (Symmetrical
)
2. Menceng
ke kanan artinya: nilai-nilai observasi yang berfrekwensi rendah lebih banyak berada disebelah kanan dari ratarata atau ekornya menjulur kekanan
X
Md Mo
Mo Md X , Condong ke kiri ( skewed to left )
3. Menceng
MoMd X X Md Mo , Condong ke kanan ( skewed to right )
Untuk menentukan kesetangkupan atau kecondongan suatu distribusi disusun aturan sebagai berikut:
22
Yoeli Fau, SE.,MM
•
Jika SK > 0 (Positif), Distribusi data adalah condong secara positif (positivelyskewed) atau condong ke sebelah kanan (skewed to right)
•
Jika SK < 0 (Negatif), Distribusi data adalah condong secara negatif (negatively skewed) atau condong ke sebelah kiri (skewed to left)
•
Jika SK = 0 (Nol),
Distribusi data adalah setangkup (symmetrical)
Untuk mengukur kemencengan suatu distribusi frekwensi dapat dipakai rumus Koefisien Karl Pearson sbb:
Sk=( x−mo)/s
sk =kemencengan x=mean mo=modus s=deviasi Sk negatif artinya : distribusi frekwensi menceng kekiri SK Positif artinya : distribusi frekwensi menceng ke kanan SK =0 artinya
: distribusi frekwensi Simetris
Rumus Koefisien Karl Pearson tersebut diatas dapat dimodofikasi sebagai berikut: Diketahui hubungan antara : x, Mo dan Md adalah: x Mo 3( x Md ) Mo x 3( x Md ) Sk ( x Md ) / s Sk
x x 3( x m) s
3( x md ) s
23
Yoeli Fau, SE.,MM
UKURAN KERUNCINGAN
(Measures of Peakedness = Kurtosis) Alpha empat (α4) : Rata-rata simpangan pangkat empat dibagi dengan simpangan baku pangkat empat 1. DATA TIDAK BERKELOMPOK N
1 N
4
(X i 1
)4
i
N
1 n 1
4
(1.1) Populasi)
4
(X i 1
i
(1.2) Contoh, Sample
X )4
S4
1
2. DATA BERKELOMPOK k
4
1 N
(X i 1
)4 fi
i
4
(X i 1
(Populasi)
4
k
1 n 1
(1.3)
i
S
X )4 fi
(1.4) (Contoh, Sample)
4
2
24
Yoeli Fau, SE.,MM
Kriteria Menentukan Keruncingan 1. Bila α4 < 3, Platikurtik, distribusi datar
(Flat Distribution) 2. Bila α4 > 3, Leptokurtik, distribusi runcing
(Peaked Distribution) 3. Bila α4 = 3, Mesokurtik, distribusi tidak begitu
datar dan tidak begitu runcing (Not too flat and not too peaked) 3
KURTOSIS
Platykurtic - flat distribution
4
25
Yoeli Fau, SE.,MM
Leptokurtic - peaked distribution
5
Mesokurtic - not too flat and not too peaked
6
26
Yoeli Fau, SE.,MM
BAB 4 ANGKA INDEKS Angka indeks menyatakan perubahan relatf (nisbi) dalam harga, kuantitas, atau nilai yang dibandingkan terhadap suatu periode dasar. Tabel 1 Harga Beras dan Indeks Harga Beras Di Kotamadya Medan (Rp/liter) Indeks Harga Tahun Harga (2010 = 100) 2010 189,18 100 (203,08/189,18) 2011 203,08 x 100 = 107,35 2012 279,04 dst ………? 2013 283,60 dst ………? 2014 270,00 dst ………? Penjelasan tabel: Simbol 2010 = 100 menyatakan bahwa penghitungan indeks harga berdasarkan harga tahun dasar 2010. Itu sebabnya, pada indeks harga 2010 (baris 2) ditulis angka 100, yaitu yang menunjukkan seluruh indeks harga berikutnya, penghitungannya adalah didasarkan pada tahun 2010. Selanjutnya indeks 2011 = 107,35 menyatakan bahwa harga beras pada tahun 2011 telah naik sebesar 7,35% bila dilihat dari keadaan harga beras tahun 2010. Dengan cara yang sama, dapat pula dihitung kenaikan harga beras untuk tahun 2012, 2013, dan 2014. Cara yang yang paling mudah mengingat cara penghitungan kenaikan atau penurunan harga tersebut adalah: 1. mengurangi setiap indeks terhitung terhadap indeks tahun dasar, yaitu 100. 2. Bila hasilnya positif berarti terjadi kenaikan harga. 3. Sebaliknya, bila hasilnya negatif, berarti terjadi penurunan harga. Tahun dasar (base year) adalah tahun yang dijadikan sebagai dasar perbandingan terhadap keadaan pada tahun atau waktu yang lain. Pertimbangan memilih tahun dasar:
27
Yoeli Fau, SE.,MM
a. Tahun dasar hendaknya dipilih pada waktu keadaan ekonomi secara nisbi adalah stabil, yaitu pada saat-saat tingkat harga tidak berubah secara cepat. b. Jangka waktu tahun dasar jangan terlalu pendek dan jangan terlalu panjang c. Tahun dasar jangan dipilih terlampau jauh ke masa lampau
Jenis-Jenis Angka Indeks 1. Indeks Harga: mengukur perubahan harga sejenis atau sekumpulan barang dalam waktu dan tempat yang sama atau dalam waktu yang berbeda 2. Indeks Jumlah: mengukur perubahan jumlah sejenis atau sekumpulan barang yang dihasilkan, diekspor, diimpor, dijual dan sebagainya, dalam suatu periode yang sama atau periode waktu yang berbeda. 3. Indeks Nilai: mengukur perubahan nilai (harga dikali jumlah) dari sejenis atau sekumpulan barang dalam jangka tertentu.
Indeks Harga Metode Penyusunan Indeks Harga 1. Indeks Harga Tidak Tertimbang 1.1. Metode Harga Nisbi Sederhana 1.2. Metode Agregatif Sederhana
Contoh
Tahu n 2010
Harga
Indeks Harga (2010 = 100)
189,18
100
28
Yoeli Fau, SE.,MM
2011
203,08
(203,08/189,18) x 100 = 107,35
2012
279,04
(279,04/189,18) x 100 = 147,50
2013
283,60
(283,60/189,18) x 100 = 149,91
2014
270,00
(270,00/189,18) x 100 = 142,72
Contoh 2
Jenis Barang Gula (kg) Beras (kg) Minyak (liter) Ikan (kg) Kain (meter) Jumlah
Harga (Rp) 2014 345
2015 365
3.2
3.25
455
495
1.2
1.35
2.45
2.65
7.65
8.11
p2015 ∑ 8 .110 I 2014/2015= x 100 = x 100 = 106,01 7 .650 ∑ p2014 w = weighted = timbangan
29
Yoeli Fau, SE.,MM
2.1.1. Indeks Harga Laspeyres (Tahun Dasar sebagai Timbangan)
IL 0 / n
pq p q n
0
x 100
0 0
2.1.2. Indeks Harga Paasche (Tahun Tertentu sebagai Timbangan)
IP0 / n
p q p q n
n
0
n
x 100
2.1.3. Indeks Harga Drobisch
p q pq n
ID 0 / n
0
pnq n p0q n
0 0
2
30
x 100
IL IP 2
Yoeli Fau, SE.,MM
2.1.4. Indeks Harga Fisher
p q p q p q p q
IF 0 / n
n
0
n
n
0
0
0
n
x 100
IL. IP
2.1.5. Indeks Harga Marshall-Edgeworth
IME
0/n
p q p q n
0
0
0
qn
qn
x 100
2.1.6. Indeks Harga Walsh
IW0/n
p p
n
q 0q n
0
q 0q n
x 100
contoh 1 Barang
Harga (Rp)
Jumlah
P11. x q11
P12 x q71
P13 x q12
P14 x q12
360 400
14.011,2
16.783,20
15.568,00
18.648,00
140,11
130 125
17.665,7
18.214,30
16.986,25
17.513,75
93,82
86,42
180 190
16.887,6
15.555,60
17.825,80
16.419,80
97,90
104,21
195 200
19.090,5
20.320,95
19.580,00
20.842,00
70.874,05
69.960,05
73.423,55
2011
2012
Beras (kg)
38,92
46,62
Ikan Asin (kg)
135,89
Minyak (botol) Gula Pasir (kg)
Jumlah
2013
2014
67.655,0
∑p11q11
31
∑p12q11
∑p13q12
∑p14q12
Yoeli Fau, SE.,MM
2.2. Metode Rata-Rata dari Harga Nisbi
pn
I0 / n
p .w x 100 w 0
2.2.1 Tahun Dasar sebagai Timbangan
pn
I0 / n
p p q p q 0
0
x 100
0
0
0
2.2.2. Tahun Tertentu sebagai Timbangan
pn
I0 / n
p p q p q n
n
IL11/12=
n
x 100
0
n
∑ p12 q11 x 100=70. 874 ,05 67 .655 , 00 ∑ p11 q 11
x 100=104,76
∑ p12 q12 x 100=73 . 423 , 55 69 . 960 , 05 ∑ p11 q 12
x 100=104,96
IP11/12=
Harga barang-barang secara agregat pada tahun 2012 naik 4,96% bila dibandingkan dengan keadaan harga pada tahun 2011 (tahun dasar).
Metode Penyusunan Indeks Jumlah Metode penyusunan indeks jumlah hampir sama dengan penyusunan indeks harga. Perbedaannya hanya pada simbol dan timbangan. Misalnya, dalam indeks harga simbol yang dipakai adalah p dengan timbangan q; sedangkan dalam indeks jumlah, simbol yang dipakai adalah q dengan timbangan p. IndeksHargaIndeksJumlah
32
Yoeli Fau, SE.,MM
I 0/ n =
pn p0
I 0/n =
x 100
∑ pn q0 x 100 IL0 /n = ∑ p0 q0
IL0 / n
qn q0
x 100
q p q p
n 0
x 100
0 0
Rumus lengkap penyusunan Indeks jumlah akan diberikan dalam beberapa halaman berikut. Pergunakanlah data Teladan 1 untuk menerapkan rumus-rumus tersebut. Metode Penyusunan Indeks Jumlah 1.
Indeks Jumlah Tidak Tertimbang
1.1. Metode Jumlah Nisbi Sederhana
I 0/ n =
qn q0
x 100
1.2. Metode Agregatif Sederhana
qn ∑ I 0/n = x 100 ∑ q0 1.3. Metode Rata-Rata dari Jumlah Nisbi
q
I 0/n =
∑ qn 0
k
1 x 100 = k
qn ∑ q x 100 0
( )
qn= jumlah q0 = jumlah
k = jumlah komponen barang
2. Indeks Jumlah Tertimbang
33
Yoeli Fau, SE.,MM
2.1. Metode Agregatif
qn . w ∑ I 0/n = x 100 ∑ q0 . w w = weighted = timbangan 2.1.1. Indeks Jumlah Laspeyres (Tahun Dasar sebagai Timbangan)
IL 0 / n
q p q p n
0
0
0
x 100
2.1.2. Indeks Jumlah Paasche (Tahun Tertentu sebagai Timbangan)
IP0 / n
q p q p n
n
0
n
x 100
2.1.3. Indeks Jumlah Drobisch
ID 0 / n
q p q p n
0
0
0
q p q p n
n
0
n
2
34
x 100
IL IP 2
Yoeli Fau, SE.,MM
2.1.4. Indeks Jumlah Fisher
q p q p q p q p
IF 0 / n
n
0
n
n
0
0
0
n
x 100 IL. IP
2.1.5. Indeks Jumlah Marshall-Edgeworth
IME
0/n
q p q p n
0
0
0
pn x 100 pn
2.1.6. Indeks Jumlah Walsh
IW0/n
q q
n
p0 p n
0
p0p n
x 100
2.2. Metode Rata-Rata dari Jumlah Nisbi
qn
I0 / n
q .w x 100 w 0
2.2.1 Tahun Dasar sebagai Timbangan
qn
I0 / n
q q p q p 0
0
x 100
0
0
0
2.2.2. Tahun Tertentu sebagai Timbangan
qn
I0 / n
q q p q p n
0
n
n
x 100
n
35
Yoeli Fau, SE.,MM
Indeks Nilai
Nilai = Harga x Jumlah = p.q
I0 / n
p q p q n
n
0
0
x 100
Cth Harga (Rp)
Jumlah (Satuan)
Jenis Barang
1981
1982
1981
1982
A
15.000
16.000
25
B
125.000
110.000
C
10.000
11.000
p81q81
p82q82
30
375.000
480.000
10
12
1.250.000
1.320.000
12
15
120.000
165.000
1.745.000
1.965.000
∑p81q81
∑p82q82
Jumlah
I81 / 82
p p
q 1.965.000 x 100 x 100 112,61 1.745.000 81q 81
82 82
Nilai penjualan tahun 1982 naik sebesar 12,61% dibandingkan dengan nilai penjualan tahun 1981
36
Yoeli Fau, SE.,MM
Uji Matematik 1. Uji Pembalikan Waktu (Time-Reversal Test)
I0/n . In/0 = 1 a. Indeks harga tidak tertimbang
I0 / n
pn p0 I 0/n . I n/ 0
In/ 0
pn p0
p0 1 pn
p0 pn
b. Indeks Laspeyres
p q p q p q p q
IL 0 / n IL n / 0
n
0
0
0
0
n
n
n
I 0 / n . I n/0
p p
p p
q0 0q 0
n
qn 1 nqn 0
c. Indeks Paasche
IP0 / n
IL n / 0
p p
qn 0q n
n
p q 0 0 pnq0
I 0 / n . I n/0
p q p q p q p q n
n
0
0
0
n
n
0
d. Indeks Fisher
I(0/n ) p . I (n/0 )=
√
∑ p n q 0 ∑ pn qn ∑ q0 pn ∑ q n p n = ∑ pn q n ∑ p 0 q 0 ∑ p0 qn ∑ q0 p0 ∑ q 0 p n ∑ p0 q 0
√
37
1
Yoeli Fau, SE.,MM
Menggeser Tahun Dasar (Shifting the Base Year) cth 1
Tahun
Indeks Harga Barang A (1975 = 100)
Indeks harga barang B (1977 = 100)
1973
74
58
1974
91
74
1975
100
80
1976
118
85
1977
143
100
Dua jenis barang di atas mempunyai tahun dasar yang berbeda. Oleh karena itu, perbandingan kenaikan harga untuk barang A dan B tidak dapat dilakukan. Harus dilakukan pergeseran tahun dasar lebih dahulu.
Rumus:
IB
IL x 100 IA
IB = Indeks baru untuk tahun yang bersangkutan IL= Indeks lama dari tahun yang bersangkutan IA = Indeks asal untuk tahun yang dijadikan dasar yang baru (konstan)
38
Yoeli Fau, SE.,MM
Tahun
Indeks Harga Barang A (1975 = 100)
Indeks harga barang B (1975 = 100)
1973
74
58/80 x 100 = 72,50
1974
91
74/80 x 100 = 92,50
1975
100
80/80 x 100 = 100
1976
118
85/80 x 100 = 106,25
1977
143
100/80 x 100 = 125,00
Karena tahun dasar barang A dan barang B telah sama (1975 = 100), perbandingan indeks haraganya dapat dilakukan. Barang A: 1973 – 1977, harga telah naik sebesar 143 – 74 = 69 = 69% Barang B: 1973 – 1977, harga telah naik sebesar 125 – 72,50 = 52,50 = 52,50%
Indeks Berantai 1. Membentuk Indeks Harga dengan Tahun Dasar yang Tetap Tahun
Harga
Angka Indeks dengan Tahun Dasar Tetap
2110
50 (a)
100
2011
60 (b)
(b/a) x 100 = (60/50) x 100 = 120
2012
62 (c)
(c/a) x 100 = (62/50) x 100 = 124
2013
65 (d)
(d/a) x 100 = (65/50) x 100 = 130
2014
70 (e)
(e/a) x 100 = (70/50) x 100 = 140
2015
78 (f)
(f/a) x 100 = (78/50) x 100 = 156
2. Membentuk Indeks Berantai dengan Metode Link Relatives 39
Yoeli Fau, SE.,MM
Tahun
Harga
Link Relatives
2110
50 (a)
100
2011
60 (b)
(b/a) x 100 = (60/50) x 100 = 120
2012
62 (c)
(c/b) x 100 = (62/60) x 100 = 103,33
2013
65 (d)
2014
70 (e)
2015
78 (f)
(d/c) x 100 = (65/62) x 100 = 104,84 (e/d) x 100 = (70/65) x 100 = 107,6940 (f/e) x 100 = (78/70) x 100 = 111,43
Pengukuran Upah Nyata (Measures of Real Wages)
Upah Nyata (Real Wages)
Upah Uang (Money Wag es) Indeks Harga Konsumen
Proses penghitungan upah nyata disebut dengan pendeflasian (deflating). Sedangkan indeks harga yang digunakan sebagai pembagi disebut dengan deflator.
40
Yoeli Fau, SE.,MM
cth:
Tahun
Upah Mingguan (Rp)
Indeks Harga Konsumen (1990 = 100)
Upah Nyata (Rp)
2010
3.000
100
3.000
2011
3.200
105
(3.200/105) x 100 = 3.047,62
2012
3.400
130
(3.400/130) x 100 = 2.615,38
2013
3.750
180
(3.750/180) x 100 = 2.083,33
3.200 3.000
x 100 6,67% Tahun 2010 – 2011, upah uang naik sebesar: 3.000 Kenaikan harga sebesar 105 – 100 = 5%. Dalam hal ini, upah nyata naik karena kenaikan upah uang (money wages) lebih besar dari kenaikan harga (6,67% > 5.00%)
Tahun 2010 – 2012, upah uang naik sebesar: 3.400 3.000 x 100 13,33% 3.000 Kenaikan harga sebesar 130 – 100 = 30%. Dalam hal ini, terjadi penurunan upah nyata (kesejahteraan buruh merosot) karena kenaikan harga (30%) lebih besar dari kenaikan upah uang (13,33%)
41
Yoeli Fau, SE.,MM
BAB 5 DERET BERKALA DAN ESTIMASI 1. Analisis Tren Tren Adalah : suatu kecenderungan naik atau turun dari nilai-nilai suatu variabel yang dicatat dalam jangka panjang dalam waktu yang berururutan. Misalnya : data yang meliputi : tahun ketahun, bulan ke bulan, minggu keminggu dan sebagainya. Tren Positif adalah : tren yang mempunyai kecenderungan nilai ramalan (Y’) meningkat dengan meningkatnya waktu (X). Tren Negatif adalah : tren yang mempunyai kecenderungan nilai ramalan (Y’) menurun dengan meningkatnya waktu (X). KOMPONEN TREN / TIME SERIES Menurut model klasik suatu time series adalah hasil perkalian dari : Trend (T), Variasi musim (V), variasi sikli(S), dan Irregular atau Random(R). Atau dapat ditulis dengan model :
Time Series = T.V.S.R
42
Yoeli Fau, SE.,MM
TREND Contoh : Penjualan Sepeda Motor Tahun
Triwulan 1 Triwulan 2 Triwulan 3 Triwulan 4
2000
187
243
209
291
2001
198
263
270
297
2002
274
363
295
335
2003
233
273
240
290
2004
207
295
239
316
2005
237
367
300
430
2006
282
425
383
478
2007
375
430
392
560
2008
373
423
387
433
600
500
400 Triwulan 1 Triwulan 2 Triwulan 3 Triwulan 4
300
200
100
0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Variasi musim adalah: gerakan jangka pendek kurang dari satu tahun, yang berulang secara teratur dari tahun ketahun.
43
Yoeli Fau, SE.,MM
Contoh: Penyajian data penjualan mobil per triwulan untuk periode 2000-2008
SIKLI Sikli adalah: suatu gerakan jangka panjang yg memiliki unsur siklus yaitu perluasan(expansion), puncak(peak), kemunduran(contraction)dan depresi (trough) seperti terlihat pad gambar berikut:
2000
2001
2002
2003
2004
44
2005
2006
2007
2009
2010
Yoeli Fau, SE.,MM
Trend Linier dengan Least Square Method (LSM) /Kwadrat terkecil Trend jangka panjang dari berbagai data bisnis , seperti : Penjualan, Expor, dan produksi sering dikira-kira dengan menggunakan sutu garis lurus. Persamaan Garis lurus suatu Trend dinyatakan sbb:
¿
Y =a+bx ¿
Y
(baca: Y Prime)= nilai proyeksi variabel Y untuk suatu nilai X a = konstanta, nilai Y seandainya x=0 b= slope, berapa satuan Y akan berubah seandainya x berubah satu satuan.
45
Yoeli Fau, SE.,MM
Bila kita melihat gambar diatas menunjukkan bahwa Garis trend tidak sama persis dengan gerakan data aktual. Artinya ada perbedaan antara penjualan aktual dengan penjualan menurut garis trend . Perbedaan tersebut disebut Deviasi atau Y - Y Tugas kita adalah “ menggambar garis trend linier sedemikian rupa agar memperoleh Deviasi yang Terkecil. Semakin kecil Deviasi yang dihasilkan oleh suatu Trend Linier maka semakin baiklah(representatif) Trend Linier tersebut. Metode Kwadrat terkecil atau Least Square Method(LSM) merupakan metode menghitung persamaan Trend Linier yang menghasilkan Deviasi kwadrat atau (Y -Y )
Menurut Last Square Method, nilai a dan b pada persamaan trend linier dapat dicari sebagai berikut :
a X Misalnya :
2
Y
b
n
XY X 2
= jumlah kwadrat dari variabel X
Keterangan :
untuk data Ganjil
kodin Tahun g/ kode 1980 -2
1981 1982 1983 1984
-1 0 1 2
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Tahun yang terletak persis ditengah data tahun 1982 diberi koding 0 Untuk tahun-tahun setelah 1982 kodingnya berkurang 1 satuan. Angka 0 menunjukkan tengah tahun 1982 angka 1 menunjukkan tengah tahun 1983 Angka 2 menunjukan tengah tahun 1984 Dan jika seterusnya kita ingin mencari koding awal tahun 1984 angka tersebut berada diantara 1 dan 2 yaitu 1,5
46
Yoeli Fau, SE.,MM
untuk data Genap
Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985
koding/ kode -5 -3 -1 1 3 5
Keterangan: 1. Pada jumlah tahun yang genap kita tidak menemukan tahun yang terletak ditengah. 2. Maka secara imajiner dapat dibayangkan bahwa koding 0 menunjukkan akhir tahun 1982 atu awal tahun 1983 3. Maka koding untuk tengah tahun 1982 menjadi (-0,5) dan koding untuk tengah 1983 menjadi (0,5) 4. Maka dengan demikian koding untuk tengah 1984 dan 1985 adalah 1,5 dan 2,5 5. Agar angka tersebut tidak dalam pecahan maka setiap koding dikalikan dengan 2 sehungga menghasilakn koding -5,-3,-1,3,5.
Data penjualan UD. SANOLO Nias Selatan selama 5 tahun sebagai berikut : tahun 2005 2006 2007 2008 2009
Penjualan (dalam juta unit 7 10 9 11 13
Diminta : 1. Buatlah persamaan garis trend linier dengan menggunakan metode Least Square 2. Cari penjualan menurut persamaan garis trend Linier 3. Buat prediksi penjualan untuk tengah tahun 2010 dan awal tahun 2011
47
Yoeli Fau, SE.,MM
2005 2006 2007 2008 2009
1,3
48
Yoeli Fau, SE.,MM
2007
2005 2006 2007 2008 2009
2010
2010
Yˆ 10 1,3(3) 13,9 2011
Awal 2011
2011
2010
Adalah:
49
koding 2011
Yoeli Fau, SE.,MM
TREND NON LINIER
Trend non linier adalah garis trend yang tidak linier, yaitu: 1. Trend kwadrat 2. Trend exponensial Ad.1. Trend Kwadrat dengan persamaan :
Yt a b.x c.x 2 Untuk mencari a, b dan c digunakan rumus : a
( y )( x 4 ) ( x 2 . y )( x 2 ) n( x 4 ) ( x 2 ) 2
b
c
xy x 2
n( x 2 . y ) ( x 2 )( y ) n( x 4 ) ( x 2 ) 2
Bentuk-bentuk trend kwadrat atau parabola
50
Yoeli Fau, SE.,MM
Data Penjualan Mie Instan Merk "INTI MIE" x 2 .Y tahun Y x ∑xy
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
93 91 96 89 90 82 88 86 87 94 92 988
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0
-465 -364 -288 -178 -90 0 88 172 261 376 460 -28
hitunglah Nilai : a, b dan C
51
x4
2325 1456 864 356 90 0 88 344 783 1504 2300 10110
625 256 81 16 1 0 1 16 81 256 625 1958
Yoeli Fau, SE.,MM
52
Yoeli Fau, SE.,MM
53
Yoeli Fau, SE.,MM
Bab 6
54
Yoeli Fau, SE.,MM
PROBABILITAS 1. Konsep Probabilitas Teori Probabilitas adalah merupakan cabang dari ilmu matematika yg dipergunakan dan mempelajari tentang tingkah laku dari faktor untunguntungan.Probabilitas dapat dirumuskan sebagai rasio.
x p( A )= y Contoh-1 Ada 6 orang karyawan dibagian produksi yang bernama : ADI, BUDI, CINDI, EVI, FAJAR, GOMGOM. Dari ke-6 karyawan tersebut akan dipilih satu karyawan untuk mengikuti pelatihan. Pemilihan dilakukan secara Random(acak). Diminta : berapakah probabilitas terpilihnya Cindi untuk mengikuti pemilihan ini ?
Jawab :
x 1 p(C )= = y 6
Contoh 2: Didalam Gudang telah tersimpan :5 mesin Diesel yang diproduksi dari blok A, 10 dari blok B, 2 dari blok C dan 8 dari blok D.
55
Yoeli Fau, SE.,MM
Kepala bagian pengendali kualitas ingin menguji kualitas mesin Diesel dan untuk tujuan tersebut diambil satu sampel yang diambil secara random. Diminta : a. Berapa probabilitasnya yang terpilih adalah mesin Diesel dari blok A ? b. Berapa probabilitasnya yang terpilih adalah mesin Diesel dari blok B? c. Berapa probabilitasnya yang terpilih adalah mesin Diesel dari blok c ? d. Berapa probabilitasnya yang terpilih adalah mesin Diesel dari blok D ? Penyelesaian Misalkan X adalah peristiwa terpilihnya mesin Diesel A, Y terpilih mesin diesel B, Z terpilihnya mesin C dan R terpilihnya D.
5 a )P( X )= 25
10 b ) P(Y )= 25
2 c ) P(Z )= 25
d ) P( R)=
56
8 25
Yoeli Fau, SE.,MM
Soal-3 Dalam suatu kotak terdapat 15 disket yang tersusun secara random. Ke-15 disket tersebut terdiri atas 5 disket berwarna biru, 3 disket berwarna hitam dan 7 disket berwarna merah. Diminta : Apabila diambil 1 disket, berapa probabilitas disket tersebut berwarna: a.merah, b. biru, c. hitam. Penyelesaian
a ) P( M )=
7 15
b )P( B)=
5 15
3 c ) P( H )= 15 Soal-latihan 1. Dalam suatu kotak berisi 7 Compac Disc (CD)yang bentuk dan ukurannya sama. Ke-7 CD tersebut berisi film Pendekar dari seri-1 samapi seri-7 .
57
Yoeli Fau, SE.,MM
Apabila diambil 1 CD, berapa Probabilitasanya akan terambil CD film: a. seri-5, b. seri-3 dan c. seri-1 d. . Dalam sebuah kotak berisi 3 kaset lagu ono niha, 5 kaset lagu Pop, 7 kaset lagu Barat dan 5 kaset lagu Nias Selatan. Kaset-kaset tersusun secara Random. e. Apabila diambil 1 kaset , berapa probabilitas terambilnya kaset dengan lagu : f. a. Ono niha b. Popc. Nias Selatan
58
Yoeli Fau, SE.,MM
Ruang sampel Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan”S”. Ruang sampel dapat dianggap sebagai suatu kelompok universal bagi semua hasil aktual ataupun konseptual yang mungkin terjadi. Karena dalam percobaan selalu diinginkan terjadinya berbagai peristiwa yang berhubungan dengan percobaan itu sendiri. Contoh : Probabilitas cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu memproduksi 3 barang, tentukanlah ruang Sampel. a. Untuk tiga barang ini. b. Untuk peristiwa A yang memproduksi suatu barang cacat. c. Suatu peristiwa B yang memproduksi dua barang bagus. d. Suatu peristiwa C yg memproduksi maksimum 2 barang cacat.
59
Yoeli Fau, SE.,MM
Penyelesaian a. S = (bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc) dengan B adalah Barang Bagus, dan C adalah Barang Cacat. b. Dari unsur kelompok ruang sampel S diatas, ruang sampel suatu peristiwa A yg memproduksi sutu barang cacat ialah sebagai berikut : A = (bbc, bcb, cbb) c.
Dari unsur kelompok ruang sampel S diatas, ruang sampel suatu peristiwa B yang memproduksi 2 barang bagus ialah sebagai berikut: B = (bbc, bcb, cbb)
d. Dari unsur kelompok ruang sampel S di atas, ruang sampel suatu peristiwa D yang memproduksi maksimum 2 barang cacat, maka D akan mempunyai ruang sampel : C = {bbb, bbc, bcb, cbb,ccb, cbc, bcc}
60
Yoeli Fau, SE.,MM
Soal-1 Sebuah dadu berwarna merah (x) dan sebuah dadu berwarna putih (y) yang bersisi enam dengan bentuk, berat dan ukuran yang sama dimasukan dalam sebuah gelas dan dilempar secara bersamasama. Diminta - tentukanlah : a. Ruang sampel untuk pelemparan kedua dadu tersebut. b. Probabilitas munculnya pasangan angka yang sama. c. Probabilitas munculnya pasangan angka dadu merah yang lebih besar daripada angka dadu putihnya. d. Probabilitas munculnya pasangan angka dadu merah yang lebih kecil daripada angka dadu putihnya. e. Probabilitas munculnya pasangan angka dadu merah tidak sama dengan angka dadu putihnya.
61
Yoeli Fau, SE.,MM
Penyelesaian : a. Pada pelemparan kedua dadu ini akan diperoleh pasangan sisi dadu sebagai berikut : y/x
1
2
3
4
5
6
1
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
2
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
3
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
4
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
5
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
6
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Ruang sampel (S) = 36 pasangan. Maka dengan demikian probabilitas terjadinya setiap titik sampel atau pasangan sampel yang terdapat dalam ruang sampel adalah : 1/36
b. Probabilitas x=y adalah :
15
,
yaitu { (1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)} c. Probabilitas x > y adalah 15/36 yaitu : {(2.1),(3.1),(3.2),(4.1),(4.2),(4.3),(5.1),(5.2),(5.3),(5.4),(6.1), (6.2),(6.3),(6.4),(6.5)}. d. Probabilitas x < y adalah 15/36 yaitu : {(1.2),(1.3),(1.4),(1.5), (1.6),(2.3),(2.4),(2.5),(2.6),(3.4),(3.5),(3.6),(4.5),(4.6),(5.6)}
62
Yoeli Fau, SE.,MM
e. Probabilitas x ≠ y adalah 30/36 yaitu kecuali x=y {(1.1),(2.2), (3.3),(4.4),(5.5),(6.6)} TUGAS 1
2
3
17
Elemen Probabilitas
63
Yoeli Fau, SE.,MM
Suatu percobaan atau experimen adalah suatu perbuatan yang diketahui
bagaimana cara mengerjakannya dan dapat diulang
dalam kondisi yang sama. Ruang Sampel atau Sample space(S) adalah : keseluruhan hasil yang mungkin dalam suatu percobaan . Apabila S itu berhingga banyak elemennya kita harus juga mengetahui berapa banyak jumlah elemennya [ = n(S)]. Beberapa istilah yang menyangkut suatu peristiwa antaralain : 1.Peristiwa sederhana ( simple event) : peristiwa yang hanya mempunyai 1 titik 2.
Peristiwa Gabungan (Compound ivent) : peristiwa yang mempunyai lebih dari 1 titik
3.
peristiwa mustahil ( imposible event) : peristiwa yang tidak mempunyai elemen titik.
Beberapa peristiwa yang digambarkan sebagai diagram ivent :
64
Yoeli Fau, SE.,MM
C
A U B U C = Peristiwa A atau B atau C terjadi
A dan B dan C terjadi
Apabila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah y hasil yang berbeda dan mempunyai kesempatan untuk terjadinya sama dan apabila x daripada hasil diatas merupakan peristiwa A, maka sesuai dengan definisi probabilitas, peristiwa A dapat dirumuskan sebagai : p ( A)
65
x y
20
Yoeli Fau, SE.,MM
Semua peristiwa yang bukan A dinyatakan sebagai A Atau A dan peristiwa tersebut mempunyai probabilitas : C
P( A)
yx 1 P( A) y
Perumusan diatas harus memenuhi ketentuan sebagai berikut : P( A) 0 1. Probabilitas A harus merupakan bilangan non negatif yaitu : P( A) 0 2. Jumlah probabilitas dari A ditambah A harus = 1
P ( A) P( A) 1 21
Contoh : Sebuah dadu dengan 6 sisi yang seimbang dilempar sekali dalam rangka untuk mengundi hadiah dari suatu apotek dan misalkan A adalah peristiwa akan diperolehnya hasil
yang berupa titik
bilangan prima, maka berapakah probabilitas peristiwa A terjadi?. Penyelesaian : n(S)=6 yaitu 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 n(A)=3 yaitu 2, 3 dan 5
66
Yoeli Fau, SE.,MM
n( A ) 3 1 P( A )= = = n( S ) 6 2 Tugas -1 Sebuah dadu dengan enam sisi yang seimbang dilempar 2 kali dan misalkan B adalah peristiwa akan diperolehnya hasil yang jumlah titiknya 4, maka berapakah probabilitas peristiwa B akan terjadi ? Tugas 2 Dipunya kotak berisi 12 minuman air mineral dalam gelas plastik, dimana 5 lima gelas diantaranya berwarna putih dan sisanya berwarna biru. apabila 1 gelas plastik diambil secara rendom (C), berapakah probabilitasnya akan diperoleh gelas plastik berwarna putih ?
67
Yoeli Fau, SE.,MM
Peristiwa Eksklusif bersamaan
Dua peristiwa merupakan peristiwa eksklusif secara bersama, apabila kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan, secara matematis dua kelompok. Misalkan A dan B dikatakan eksklusif secara bersama atau terpisah jika dan hanya jika keduanya tidak mempunyai unsur yg sama dan A B A B S
Gbr. Diagram Venn untuk dua peristiwa bersama
27
Apabila A dan B ekslusif secara bersama dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas maka P ( A B ) P ( A) P ( B )
Dimana A B Contoh :
dan P ( A B ) P ( ) 0
Ada 6 orang karyawan dibagian produksi yaitu : Andi, Boy, Cinta,Damai,Eta dan fatma, dari ke 6 karyawan tersebut akan dipilih 1 karyawan untuk mengikuti Seminar Statistik. Pemilihan dilakukan secara acak. Peristiwa yang mungkin terjadi adalah peristiwa 1 dari ke-6 karyawan berapakah probabilitas Andi dan Damai terpilih ? 28
68
Yoeli Fau, SE.,MM
Penyelesaian Pada pemilihan satu nama peristiwa diperolehnya nama Andi dan peristiwa diperolehnya nama Damai merupakan peristiwa yg eksklusif secara bersama . Maka probabilitas dari peristiwa diatas adalah :
1 1 1 P( A∪D )=P( A )+P( D)= + = 6 6 3
Peristiwa Independen Dua peristiwa dikatakan Independen jika terjadi atau tidak terjadinya
peristiwa
pertama tidak dipengaruhi oleh terjadi atau tidak terjadinya peristiwa kedua. Apabila A dan B merupakan peristiwa peristiwa yg mempunyai probabilitas lebih besar dari pada nol dan apabila A tidak tergantung pada B dan B tidak bergantung pada A maka kedua peristiwa tersebut dikatakan peristiwa Independen jika dan hanya jika
P( A∩B )=P( A )+P (B ) Contoh: Sebuah dadu berwarna merah(x) dan sebuah dadu berwarna putih (y) yang berisi 6 dengan bentuk, berat dan ukuran yang sama dimasukkan dalam sebuah gelas dan di
69
Yoeli Fau, SE.,MM
lempar secara bersama-sama. berapakah probabilitasnya pasangan sisi yang dihasilkan berupa dadu Merah lebih kecil atau sama dengan 3 dan dadu Putih
lebih
besar atau sama dengan 5 ? Penyelesaian: Jika kedua dadu dilempar secara bersama-sama maka akan diperoleh pasangan sisi dadu seperti tabel berikut
:
y/x
1
2
3
4
5
6
1
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
2
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
3
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
4
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
5
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
6
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Pasangan dadu dengan dadu merah(x) yg akan menghasilkan sisi dadu < 3 adalah :
70
Yoeli Fau, SE.,MM
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Karena berjumlah 18, maka probabilitasnya =
18 1 36 2
Pasangan dadu dengan dadu putih (x) yg akan menghasilkan sisi dadu > 5 adalah : (1.5)
(2.5)
(3.5)
(4.5)
(5.6)
(6.5)
(1.6)
(2.6)
(3.6)
(4.6)
(5.6)
(6.6)
Karena berjumlah 12, maka probabilitasnya =
12 1 36 3 33
Bab 6 71
Yoeli Fau, SE.,MM
DISTRIBUSI PROBABILITAS
1. Distribusi Normal Kurva normal adalah grafik yang menyatakan distribusi normal ,yaitu suatu distribusi frekuensi dengan frekuensi yang menyebar
di sekitar pusat distribusi tersebut dan secara
perlahan-lahan menurun secara simetris. μ = Md = Mo
0, 5 72
-∞ -∞
Yoeli Fau, SE.,MM
7- 5
Pemakaian Tabel Kurva Normal 3. Menghitung luas (-1,25 ≤ Z ≤ 2,38)
0,8857
Luas (-1,25 ≤ Z ≤ 0) = 0,3944 Luas ( 0 ≤ Z ≤ 2,38) = 0,4913 Luas (-1,25 ≤ Z ≤ 2,38) = 0,8857
Z -1,25
0
+
2,38
4. Menghitung luas (0,58 ≤ Z ≤ 1,27) 0,1790
Luas (0 Luas (0
≤ Z ≤ 1,27) = 0,3980 ≤ Z ≤ 0,58) = 0,2190
Luas (0,58 ≤ Z ≤ 1,27) = 0,1790 Z 0 0,58 1,27
73
-
Yoeli Fau, SE.,MM
Daerah di Bawah Kurva Normal Baku Untuk nilai Z dari 0 sampai dengan 3,9
74
7- 4
Yoeli Fau, SE.,MM 7- 6
Pemakaian Tabel Kurva Normal 5. Menghitung luas (- ~ ≤ Z ≤ - 0,21) 0,4168 Luas (- ~ ≤ Z ≤ 0) = 0,5000 Luas (- 0,21 ≤ Z ≤ 0) = 0,0832
-
Luas (- ~ ≤ Z ≤ - 0,21) = 0,4168 Z -~
-0,21 0
1,35
6. Menghitung luas (-0,43 ≤ Z ≤ ∞) Luas (-0,43 ≤ Z ≤ 0) = 0,1664 Luas ( 0 ≤ Z ≤ ~) = 0,5000
0,6664
+ Luas (-0,43 ≤ Z ≤ ~) = 0,6664 Z
-0,43 0
7- 7
Pemakaian Tabel Kurva Normal 7. Menghitung luas (-∞ ≤ Z ≤ -1,82 dan 2,92 ≤ Z ≤ ∞)
0,0362
Z -1,82
0
2,92
Luas yang dicari = 1 – (Luas – 1,82 ≤ Z ≤ 0) – (Luas 0 ≤ Z ≤ 2,92) = 1 – 0,4656 – 0,4982 = 0,0362
75
Yoeli Fau, SE.,MM 7- 8
Pemakaian Luas Kurva Normal dalam Menghitung Peluang
Jika sekumpulan besar data dalam bilangan-bilangan yang mempunyai distribusi normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ, dan bilangan-bilangan itu dinyatakan dengan peubah acak X, maka kumpulan bilangan itu dinyatakan dengan peubah Z di mana:
Z
X
adalah mempunyai distribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1.
7- 9
contoh 1 Misalkan tinggi badan mahasiswa STIE-MGT adalah merupakan distribusi normal dengan μ = 162 cm dan σ = 5 cm. Berapa persenkah mahasiswa STIE-MGT yang mempunyai tinggi mulai dari 160 cm s.d. 165 cm. μ = 162 cm
X
σ = 5 cm
Z1
X1 160 162 0,4 5
Z2
X 2 165 162 0,6 5
160 162 165 X2 X1 μ
P(-0,4 ≤ Z ≤ 0 ) = 0,1554 P( 0 ≤ Z ≤ 0,6) = 0,2258
0,3812
+ P(-0,4 ≤ Z ≤ 0,6) = 0,3812 = 38,12% Z Mahasiswa STIE-MGT yang mempunyai tinggi mulai dari 160 s.d. 165 cm sebanyak 38,12%
-0,4 0 Z1
0,6 Z2
76
Yoeli Fau, SE.,MM
7- 10
soal Sebuah biro jasa tenaga kerja yang menyalurkan tenaga kerja ke luar negeri melakukan seleksi terhadap 15.000 tenaga kerja yang melamar untuk diberangkatkan ke luar negeri. Biro jasa tersebut hanya dapat menerima sebanyak 2.400 tenaga kerja mengingat keterbatasan lapangan kerja di luar negeri. Dari hasil seleksi, diperoleh data bahwa rata-rata hasil ujian seluruh pelamar adalah 48 dan simpangan baku 3,6. Bila distribusi nilai hasil ujian seleksi dianggap mengikuti distribusi normal, berapakah nilai hasil ujian terendah dari calon tenaga kerja yang dapat diterima dalam seleksi tersebut? Calon tenaga kerja yang akan diterima adalah 2.400/15.000 = 0,16 = 16% 3,6 2.400 t.k. 12.600 t.k
X
48 51,564
0,50 0,34
0,16
Z
Hitung lebih dahulu berapa nilai Z untuk seluas 0,34. Dari tabel diperoleh nilai yang mendekati luas 0,34 adalah: Z = 1,00, luasnya adalah 0,3413 Z = 0,99, luasnya adalah 0,3389. Karena 0,3389 lebih mendekati 0,34 dibandingkan dengan 0,3413, maka dipilih nilai Z = 0,99.
0 0,99
77
Yoeli Fau, SE.,MM
Z=
X−μ σ
X−μ=Z σ
→
X =μ+Zσ X= 48 + 0,99 (3,6 ) X = 51,564
Dengan demikian, nilai ujian terendah dari tenaga kerja yang diterima dalam seleksi tersebut adalah 51,564.
Contoh 3 Pendapatan pegawai di sebuah perusahaan diketahui mempunyai distribusi normal. Bila diketahui bahwa 37% dari pendapatan tersebut adalah di bawah Rp 45.000 dan 13% adalah di atas Rp 65.000, carilah simpangan baku dan rata-rata distribusi pendapatan tersebut. 7- 12
37% = 0,37
13%
37%
13% = 0,13
Dalam tabel, nilai Z yang mendekati luas 13% (sebelah kiri, tidak diarsir) adalah Z = - 0,33, yaitu seluas 0,1293. Sedangkan nilai Z yang mendekati luas 37% (sebelah kanan, tidak diarsir) adalah Z = 1,13, yaitu seluas 0,3708. Selanjutnya, penghitungan μ dilakukan sebagai berikut:
X Rp 45.000 μ
0,37
0,13 0,37
X 65.000 - Kanan : 1,13 65.000 - 1,13 45.000 - Kiri : - 0,33 45.000 - - 0,33 20.000 1,46 Z
Rp 65.000
0,13
Z - 0,33
0
1,13
20.000 13.698,63 1,46
65.000 – μ = 1,13 σ 65.000 – μ = 1,13 (13.698,63) μ = 65.000 – 15.479,45 μ = 49.520,55
Dengan demikian, distribusi pendapatan tersebut mempunyai σ = Rp 13.698,63 dan μ = Rp 49.520,55.
78
-
Yoeli Fau, SE.,MM
Latihan Komisi tahunan yang diperoleh petugas penjualan di PT A mengikutidistribusi peluang normal. Jumlah rata-rata komisi tahunan adalah $40.000 dan simpangan baku $5.000. a. Berapa persentase petugas penjualan yang memperoleh komisi tahunan lebih dari $42.000 b. Berapa persentase petugas penjualan yang memperoleh komisi tahunan antara $32.000 dan $35.000 c. Manajer penjualan ingin memberikan bonus sebesar $1.500 untuk petugas penjualan yang memperoleh komisi tahunan terbesar. Manajer dapat memberikan bonus tersebut pada 20% dari seluruh petugas penjualan.
Berapa nilai batas komisi tahunan antara petugas
penjualan yang mendapat bonus dengan petugas penjualan yang tidak mendapat bonus. 7- 14
a. X 42.000 - 40.000 Z 0,4 5.000 Z
X $40.000
$42.000
P(0 ≤ Z ≤ ∞ ) = 0,5000 P(0 ≤ Z ≤ 0,4) = 0,1554 P(0,4 ≤ Z ≤ ∞ ) = 0,3446 = 34,46% -
Z 0
1,13
Dengan demikian, persentase tenaga penjualan yang memperoleh komisi tahunan lebih dari $40.000 adalah sebesar 34,46%
79
Yoeli Fau, SE.,MM
Standar Deviasi Standar deviasi atau simpangan bakuadalah ukuran penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya. Formula simpangan baku data yg belum dikelompokkan:
∑ ( X i−X )2
√ ∑ √
s=
s=
n 2
( X i−X ) n−1
Formula simpangan baku data yg sudah dikelompokkan:
s=
∑ Fi ( X i− X )2
√ ∑ √
s=
n
Fi ( X i− X )2 n−1
Peluang yang berhubungan dengan percobaan-percobaan binomial adalah dengan mudah dapat diperoleh melalui rumus :
n x n−x P( X ,n, p)=(x ) p q
80
Yoeli Fau, SE.,MM
atau melalui tabel distribusi binomial., yaitu bila n ≤ 30. Bila n tidak tersedia lagi dalam tabel, kita harus menghitung peluang-peluang binomial dengan prosedur penghampiran (approximation). Ketika membahas distribusi Poisson, telah dijelaskan bagaimana distribusi Poisson dapat digunakan untuk menghampiri peluang-peluang binomial bila n > 30 dan p ≤ 0,05. Distribusi binomial dan distribusi Poisson adalah distribusi diskret. Definisi di atas memberikan penghampiran yang begitu teliti terhadap distribusi binomial bila n besar dan p mendekati 0,5. Sebenarnya, bila n kecil dan p tidak secara ekstrim mendekati 0 atau 1, penghampiran tersebut masih cukup baik. Sebagai pedoman pokok, distribusi yang kontinu dapat dipergunakan untuk menghampiri distribusi binomial yang diskret secara memuaskan jika:
np> 5 dan nq > 5 Untuk meneliti penghampiran distribusi normal terhadap distribusi binomial, pertama-tama digambarkan histogram dari P(X; 15; 0,4) dan selanjutnya melapiskan suatu kurva normal yang mempunyai σ yang sama sebagai peubah acak X binomial. Sebelum melukiskan histogram tersebut, diperlihatkan terlebih dahulu distribusi peluang binomial untuk P(X; 15; 0,4) seprti tampak pada Tabel 1 berikut.
81
Yoeli Fau, SE.,MM
Distribusi Peluang Binomial untuk P(X; 15; 0,4) P(X:15; 0,4) 0,0005 0,0047 0,0219 0,0634 0,1268 0,1859 0,2066 0,1771 0,1181 0,0612 0,0245 0,074 0,0016 0,0003 0,0000 0,0000
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0.25
7- 22
Gambar 1. Histogram dan Kurva Normal untuk P(X; 15; 0,4) 0.2
0.15
0.1
0.05
0 0
1
2
3
3,5
4
4,5
5
6
6,5
7
8
9
9,5
10 11 12 13 14 15
Dari distribusipeluang binomial P(X; 15; 0,4) hitunglah: (a) P(X = 4; 15; 0,4) dan
82
Yoeli Fau, SE.,MM
P(7 ≤ X ≤ 9; 15; 0,4) dengan menggunakan distribusi binomial dan distribusi normal. a. P(X = 4; 15; 0,4) = ( ¿ 4 15 ) 0,4 4 0,615-4=0,1268( tabel) Karena distribusi normal adalah distrubusi peluang kontinu, penghampirannya terhadap distribusi binomial yang diskret memerlukan penyesuaian. Dalam gambar, X = 4 adalah luas di antara X1 = 3,5 dan X2 = 4,5 (lihat gambar) μ = np = 15(0,4) = 6 σ = √npq = √15(0,4)(0,6) ==√3,6 = 1,9 7- 24
X1 3,5 6 1,32 1,9 X 4,5 6 Z2 2 0,79 1,9 Z1
X 3,5 4,5 μ = 6 X1 X2
Melalui bantuan tabel normal dapat diperoleh: P(- 1,32 ≤ Z ≤ 0 P(- 0,79 ≤ Z ≤ 0
) = 0,4066 ) = 0,2852_
P(- 1,32 ≤ Z ≤ - 0,79) = 0,1214 Dengan demikian P(X = 4) = 0,1214
-1,32 - 0,79 0 Z1 Z2
Z
Selisih hitungan antara distribusi normal terhadap distribusi binomial hanya 0,1268 – 0,1214 = 0,0054
83
Yoeli Fau, SE.,MM
b. Melalui bantuan tabel binomial dapat dihitung P(7 ≤ X ≤ 9):
P(7 ; 15; 0,4 )=( ¿ 7 15 ) 0,47 0,6 15-7=0 ,1771 P(8 ; 15; 0,4 )=( ¿ 8 15 ) 0,48 0,6 15-8=0 ,1181 P(9 ; 15; 0,4)=( ¿ 915 ) 0,49 0,6 15-9=0 , 0612 P(7≤X≤9 ; 15; 0,4 )= 0,3564 7- 26
X1 6,5 6 0,26 1,9 X 9,5 6 Z2 2 1,84 1,9 Z1
X μ=6 6,5 9,5
Melalui bantuan tabel normal dapat diperoleh: P(0 ≤ Z ≤ 1,84 ) = P(0 ≤ Z ≤ 0,26 ) =
0,4671 0,1026
__
P(0,26 ≤ Z ≤ 1,84) = 0,3645 Dengan demikian P(7 ≤ X ≤ 9) = 0,3645 Z 0 0,26 1,84
Selisih hitungan antara distribusi normal terhadap distribusi binomial hanya 0,3645 – 0,3564 = 0,0081
84
Yoeli Fau, SE.,MM
7- 27
latihan Sebuah mesin menghasilkan keluaran (ouput) yang rusak sebanyak 20%. Suatu contoh (sample) sebanyak 100 satuan keluaran diambil secara acak, berapa peluang bahwa tidak lebih dari 10 satuan dalam contoh tersebut adalah keluaran yang rusak? n = 100 p = 0,2 Syarat penghampiran distribusi normal: np > 5 dan nq > 5 μ = np = 100(0,2) = 20 > 5 nq = 100(0,8) = 80 > 5 10,5 μ = 20
X
σ = √npq = √100(0,2)(0,8) = √16 = 4 Z
Z - 2,38
0
X 10,5 20 2,38 4
P(- ~ ≤ Z ≤ 0) P (- 2,38 ≤ Z ≤ 0)
= 0,5000 = 0,4913
P(- ~ ≤ Z ≤ -2,38)
= 0,0087
_
Peluang memperoleh tidak lebih dari 10 keluaran yang rusak adalah 0,0087
85
Yoeli Fau, SE.,MM 7- 28
Beberapa Bentuk Penyesuaian Distribusi Diskret Menjadi Distribusi Kontinu No.
Yang akan dihitung
Distribusi Diskret (Binomial)
Distribusi Kontinu (Normal)
1.
Kurang dari 25 P(X < 25)
P(0) + P(1) + ……… + P(24)
P(X ≤ 24,5)
2.
Kurang dari dan sama dengan 25 atau sebanyakbanyaknya 25 P(X ≤25)
3.
Lebih dari 50 P(X > 50)
P(51) + P(52) + ………. dst
P(X ≥ 50,5) = 1 – P(X ≤ 50,5)
4.
Lebih dari dan sama dengan 50 atau sedikit-dikitnya 50 P(X ≥ 50)
P(50) + P(51) + ………. dst
P(X ≥ 49,5) = 1 – P(X ≤ 49,5)
No. 5 6 7 8
P(0) + P(1) + ……. + P(25)
Yang akan dihitung Antara 25 dan 50 25 < X < 50 Lebih dari 25 s.d. 50 P(25 < X ≤ 50) 25 sampai dengan 50 P(25 ≤ X ≤ 50) 25 s.d. kurang dari 50 P(25 ≤ X < 50)
P(X ≤ 25,5)
Distribusi Diskret (Binomial)
Distribusi Kontinu (Normal)
P(26) + P(27) …… + P(49)
P(25,5 ≤ X ≤ 49,5)
P(26) + P(27) ………+ P(50)
P(25,5 ≤ X ≤ 50,5)
P(25) + P(26) …… + P(50)
P(24,5 ≤ X ≤ 50,5)
P(25) + P(27) …… + P(49)
P(24,5 ≤ X ≤ 49,5)
86
Yoeli Fau, SE.,MM
Tugas: Suatu ujian dengan sistem jawaban pilihan berganda mempunyai 100 pertanyaan. Masing-masing pertanyaan mempunyai empat kemungkinan jawaban dan hanya satu jawaban yang benar dari empat kemungkinan jawaban tersebut. Hitunglah peluang jika seorang peserta ujian secara menerka-nerka akan dapat menjawab dengan benar: 1. Kurang dari 20 pertanyaan 2. Kurang dari dan sama dengan 25 pertanyaan 3. Lebih dari 35 pertanyaan 4. Lebih dari dan sama dengan 30 pertanyaan 5. Lebih dari dan sama dengan 20 pertanyaan 6. Lebih dari 15 s.d. 45 pertanyaan 7. 30 sampai dengan 50 pertanyaan 8. 15 sampai dengan 40 pertanyaan 9. 20 sampai dengan kurang dari 40 pertanyaan
87
Yoeli Fau, SE.,MM
A. Referensi 1. Mason, Robert D. dan Douglas A. Lind. 1996. Teknik Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi Kesembilan. Jakarta: Erlangga. 2. J. Supranto. 2009. Statistik: Teori dan Aplikasi, Edisi Ketujuh. Jilid 2. Jakarta: Erlangga. 3. Andi Supangat. 2008. Statistika: Dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan Nonparametrik.Jakarta: Kencana. 4. Mudrajad Kuncoro 2007. Metode Kuantitatif. Teori dan Aplikasi untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogya Karta. UPP STIM YKPN. 5. Danag Sunyoto, 2008. Analisis Regresi dan Uji Hipotesis. Yogya Karta. Med Press. 6. Suharyadi-Purwanto S.K, 2009. Statistika.’untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta Salemba Empat. 7. Lukas Setia Atmaja,Ph.D, 2009. Statistika.’untuk Bisnis dan Ekonomi,Jakrta: Andi OFFSET. 8. Sudjana,2002. Metode Statistika. Edisi ke enam, Bandung:Tarsito 9. Ronald E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika, Edisi Ketiga. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
88
Yoeli Fau, SE.,MM
89
