Modul Torsi [PDF]

Citation preview

MAKALAH PENGANTAR TEORI MDUL



MODUL TORSI DAN MODUL BEBAS



OLEH : NAMA



: MUHAMAD RIFAI



NIM



: J1A112025



PROGRAM STUDI



: MATEMATIKA



PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT BANJARBARU 2016



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Pengertian Modul Misalkan R merupakan ring komutatif dengan identitas, yang elementnya disebut skalar. Sebuah R – modul (atau modul atas R) adalah himpunan tidak kosong M yang memenuhi: 1) M adalah grup abelian di operasi penjumlahan 2) ∀ r, s ∈ R, dan ∀ 1, u, v ∈ M a) r(u + v) = ru + rv b) (r + s)u = ru + su c) (rs)u = r(su) d) 1u = u Contoh: Jika R adalah suatu ring, Mm,n(R) merupakan himpunan semua matriks ukuran m x n. Mm,n(R) merupakan modul atas R, dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar atas R.



1.2 Submodul Sebuah submodul dari modul M atas R adalah himpunan S yang merupakan himpunan bagian dari M yang merupakan modul atas R dalam dirinya sendiri. Teorema 1.2.1 Himpunan bagian tidak kosong S dari M merupakan modul atas R adalah submodul jika dan hanya jika r, s ∈ R, u, v ∈ S → ru + sv ∈ S



1.3 Homomorfisma Misalkan M dan N adalah modul atas R. Sebuah pemetaan/fungsi f: M → N dikatakan homomorfisma jika f(ru + sv) = rf(u) + sf(v) ∀ r, s ∈ R dan u, v ∈ M. Himpunan semua homomorfisma dari M ke N dinyatakan dengan Hom(M, N).



Beberapa definisi tentang homomorfisma: 1) Endomorfisma : homomorfisma dari M ke M 2) Monomorfisma : injektiv homomorfisma 3) Epimorfisma : surjectiv homomorfisma 4) Isomorfisma : bijekltov homomorfisma Teorema 1.3.1 Misal f ∈ Hom(M, N). Kernel dan image dari f didefinisikan dengan Ker(f) = {v ∈ M: f(v) = 0} dan Im(f) = {f(v): v ∈ M} adalah submodul dari M dan N, berturut – turut. 1.4 Macam – macam modul Pembahasan modul dibagi menjadi beberapa bagian lagi yang lebih kecil yakni modul bebas (Free Module), modul kuasa (Quotient Module), modul Noetherian (Noetherian Module) dan modul torsi (Torsion Module). Namun selanjutnya kita hanya akan membahas modul torsi dan modul bebas.



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Modul Torsi Sesuai definisi modul, suatu ring dengan elemen satuan dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Diperhatikan pada kasus ketika ring tersebut memuat elemen pembagi nol. Ingat kembali bahwa elemen pembagi nol pada suatu ring adalah elemen a dan b yang keduanya tidak nol dengan ab = 0 . Keberadaan elemen pembagi nol ini akan memunculkan sifat pada modul yang tidak terdapat pada ruang vektor. Hal tersebut dikarenakan skalar pada ruang vektor merupakan elemen lapangan yang setiap elemennya bukan merupakan pembagi nol. Definisi 2.1.1 (Elemen Torsi) Diberikan M modul atas R, elemen m∈M disebut elemen torsi jika dan hanya jika terdapat 𝑟 ∈ 𝑅 − {0𝑅 } sehingga = 0𝑀 . Dengan demikian 0𝑀 ∈ 𝑀 merupakan elemen torsi.



Definisi 2.1.2 (Modul Torsi) Diberikan M modulatas R. Modul M disebut modul torsi jika dan hanya jika setiap elemennya merupakan elemen torsi. Definisi 2.1.3 (Modul Bebas Torsi) Diberikan M modul atas R. Modul M disebut modul bebas torsi jika dan hanya jika M memiliki tepat satu elemen torsi, yaitu 0𝑀 ∈ 𝑀. Contoh: Diketahui ring Z/8Z merupakan modul atas ring Z dan juga atas dirinya sendiri. Jika Z/8Z dipandang sebagai modul atas Z, maka seluruh elemen pada Z/8Z merupakan elemen torsi dan dengan demikian Z/8Z merupakan modul torsi. Karena dapat dipilih 8∈Z sehingga 8(a + 8Z) = 0 + 8Z untuk setiap a + 8Z∈Z/8Z . Jika Z/8Z dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri, maka elemen torsinya adalah 0 + 8Z, 2 +8Z, 4 + 8Z, dan 6 +8Z . Dengan mengganti ring yang menyertai modul, maka elemen-elemen torsi dapat berubah.



Teorema 2.1.4 Diketahui M modul atas R dan Mr himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral, maka Mr merupakan submodul dari M. Bukti. Diambil sebarang 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀, maka terdapat 𝑟1 , 𝑟2 ∈ 𝑅 − {0𝑅 } sehingga 𝑟1 𝑚1 = 𝑟2 𝑚2 = 0𝑀 . Akan ditunjukkan 𝑚1 − 𝑚2 ∈ 𝑀𝑟 . Karena R adalah daerah integral, maka R tidak memuat elemen pembagi nol yaitu untuk setiap 𝑟1 , 𝑟2 ∈ 𝑅 − {0𝑅 }, berlaku 𝑟1 , 𝑟2 ≠ 0. Dengan demikian dapat dipilih 𝑟3 = 𝑟1 𝑟2 ∈ 𝑅 − {0𝑅 }, sehingga 𝑟3 (𝑚1 − 𝑚2 ) = 𝑟3 𝑚1 − 𝑟3 𝑚2 = (𝑟1 𝑟2 )𝑚1 − (𝑟1 𝑟2 )𝑚2 . Karena R adalah daerah integral maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga (𝑟1 𝑟2 )𝑚1 − (𝑟1 𝑟2 )𝑚2 = (𝑟2 𝑟1 )𝑚1 − (𝑟1 𝑟2 )𝑚2 = 𝑟2 (𝑟1 𝑚1 ) − 𝑟1 (𝑟2 𝑚2 ) = 𝑟2 0𝑀 − 𝑟1 0𝑀 = 0𝑀 .



Sehingga



dperoleh 𝑚1 − 𝑚2 ∈ 𝑀𝑟 . Selanjutnya, diambil sebarang r∈R dan m∈Mr . Akan ditunjukkan rm∈Mr . Karena m∈Mr maka terdapat 𝑟0 ∈ 𝑅 − {0𝑅 } sedemikian sehingga 𝑟0 𝑚 = 0𝑀 . Karena R adalah daerah integral maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga 𝑟0 (𝑟𝑚) = (𝑟0 𝑟)𝑚 = (𝑟𝑟0 )𝑚 = 𝑟(𝑟0 𝑚) = 𝑟0𝑀 = 0𝑀 Sehingga diperoleh rm∈Mr . Jadi, menurut teorema submodul terbukti bahwa Mr merupakan submodul dari M. ∎



Teorema 2.1.5 Diketahui M modul atas R dan Mr himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral, maka M/Mr merupakan modul bebas torsi. Bukti. Menurut Teorema 2.1.4, karena R daerah integral maka Mr adalah submodul atas M sehingga menurut Teorema Modul Faktor M/Mr adalah modul atas R. Andaikan M/Mr memiliki elemen torsi 𝑚 + 𝑀𝑟 ≠ 0𝑀 + 𝑀𝑟 , maka terdapat 𝑟0 ∈ 𝑅 − {0𝑅 } sehingga 𝑟(𝑚 + 𝑀𝑟 ) = 0𝑀 + 𝑀𝑟 . Karena 𝑟(𝑚 + 𝑀𝑟 ) = 𝑟𝑚 + 𝑀𝑟 = 0𝑀 + 𝑀𝑟 , akibatnya rm∈Mr . Karena rm∈Mr , maka terdapat 𝑠 ∈ 𝑅 − {0𝑅 } sedemikian sehingga 𝑠(𝑟𝑚) = (𝑠𝑟)𝑚 = 0𝑀 . Karena R adalah daerah integral, maka 𝑠𝑟 ≠ 0, akibatnya 𝑚 = 0𝑀 dan dengan kata lain 𝑚 + 𝑀𝑟 = 0𝑀 + 𝑀𝑟 . Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa 𝑚 + 𝑀𝑟 ≠ 0𝑀 + 𝑀𝑟 Sehingga yang benar M/Mr modul bebas torsi. ∎



2.2 Modul Bebas Definisi 2.2.1 (Basis) Diketahui M modul atas R dan X ⊆ M . Himpunan X dikatakan basis untuk M jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut: 1. M = X 2. X bebas linear. Definisi 2.2.2 (Modul Bebas) Diketahui M modul atas R. Jika terdapat X ⊆ M dengan X merupakan basis untuk M, maka M disebut modul bebas. Lemma 2.2.3 Diketahui M modul atas R. Jika M modul bebas dan R daerah integral, maka M modul bebas torsi. Bukti. Karena M modul bebas, maka M memiliki basis. Misalkan X merupakan basis untuk M dan Mr merupakan himpunan elemen torsi pada M. Diambil sebarang x∈MT dan dengan demikian 𝑟𝑥 = 0𝑀 untuk suatu 𝑟 ∈ 𝑅 − {0𝑅 }. Karena x∈MT ⊆ M , maka 𝑥 = ∑𝑥𝑖 ∈𝑋 𝑟𝑖 𝑥𝑖 untuk suatu ri ∈R .



Dengan demikian diperoleh 𝑟𝑥 = 𝑟(∑𝑥𝑖 ∈𝑋 𝑟𝑖 𝑥𝑖 ) = ∑𝑥𝑖 ∈𝑋(𝑟𝑟𝑖 )𝑥𝑖 = 0𝑀 . Karena X merupakan basis, maka diperoleh 𝑟𝑟𝑖 = 0𝑅 untuk setiap ri ∈R . Karena R daerah integral dan ≠ 0𝑅 , maka diperoleh 𝑟𝑖 = 0 . Akibatnya = ∑𝑥𝑖 ∈𝑋 𝑟𝑖 𝑥𝑖 = ∑𝑥𝑖 ∈𝑋 0𝑅 𝑥𝑖 = 0𝑀 . Jadi, 𝑀𝑇 = 0𝑀 atau M modul bebas torsi. ∎



Teorema tambahan Teorema submodul (Sudah dibuktikan di perkuliahan) Diketahui M modul atas R dan N ⊆ M , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut: 1. n1-n2 ∈N , ∀n1 ,n2 ∈N 2. rn∈ N , ∀n∈N ∀r∈R



Teorema Modul Faktor Diketahui M modul atas R, N sebarang submodul dari M, dan R ring dengan elemen satuan, maka M/N modul atas R terhadap operasi pergandaan koset r(a + N) = (ra) + N untuk setiap r∈R dan aN ∈M/N . Selanjutnya, M/N disebut dengan modul faktor