8 0 793 KB
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018
Lembar Pengesahan “FISIKA KOMPUTASI II” “Koveksi-Difusi Menggunakan Crank-Nicholson”
Nama
: Quintiza Anugerah
NIM
: 1507045018
Kelas
:B
Mengetahui, Asisten
Satria Al-Huda Nim: 1507045009
Samarinda, 18 Oktober 2018 Praktikan
Quintiza Anugerah Nim: 1507045018 FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018
KONVEKSI-DIFUSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE FTCS Disusun Oleh Nama : Quintiza Anugerah (1507045018) Laboratorium Fisika Komputasi Dan Pemodelan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman ABSTRAK Telah dilakukan praktikum tentang “Konveksi-Difusi Dengan Menggunakan Metode BTCS” pada hari Selasa, 28 September 2018 oleh Firgienila Dora, Mutiara Ayu, Radila Mawarsari, Sunarti dan Quintiza Anugerah dari kelompok 2 dibawah bimbingan Asisten Satria Al Huda. Praktikum ini dilakukan untuk mengetahui penyebaran panas secara konveksi-difusi dengan menggunakan metode Crank-Nicholson. Skema Crank-Nicolson adalah pengembangan dari metode beda hingga skema eksplisit dengan metode beda hingga maju skema implisit. Namun bentuk dari skema Crank-Nicolson adalah skema implisit. Kata Kunci :Implisit, Difusi, Konveksi ABSTRACK Practicum has been carried out on "Konveksi-Difusi Using BTCS Method" on Tuesday, September 28 2018 by Firgienila Dora, Mutiara Ayu, Radila Mawarsari, Sunarti dan Quintiza Anugerah from group 2 under the guidance of Assistant Satria Al Huda. This practicum is carried out to determine the heat distribution by convectiondiffusion by using the Crank-Nicholson method. The Crank-Nicolson scheme is the development of the finite difference method, explicit
FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018
schemes with finite difference methods, and implicit schemes. But the form of the CrankNicolson scheme is an implicit scheme. Keywords: Implicit, Diffusion, Convection
FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 diinginkan. Dengan pemotongan order yang
I. PENDAHULUAN error
ke n, maka hasil perhitungan akan mendekati
didapatkan dari ekspansi daret Taylor yang
solusi. Jadi dalam estimasi error akan
dipotong
yang
dihasilkan suatu solusi yang akurat. Solusi
diinginkan. Dengan pemotongan order yang
akurat yaitu dekatnya suatu solusi pendekatan
ke n, maka hasil perhitungan akan mendekati
terhadap nilai sebenarnya.
solusi. Jadi dalam estimasi error akan
II. DASAR TEORI
Dalam
prosesnya,
setelah
estimasi
suku
turunan
dihasilkan suatu solusi yang akurat. Solusi
Persamaan diferensial parsial (Partial
akurat yaitu dekatnya suatu solusi pendekatan
Differential
terhadap nilai sebenarnya
bagian utama Fisika Komputasi karena
Estimasi error adalah suatu proses yang bertujuan untuk
mencari solusi
terbaik
Equation/PDE)
menempati
berbagai gejala penting dalam fisika dapat dinyatakan
dalam
bentuk
persamaan
dengan mempertimbangkan besarnya nilai
diferensial parsial (PDP). Bentuk umum
error
persamaan diferensial parsial yang sering
yang
dihasilkan
dengan
metode
numerik.
ditemukan dalam problema fisika adalah
Dalam
prosesnya,
dibutuhkan
suatu
metode numerik yang akan menghasilkan solusi pendekatan terbaik. Solusi pendekatan salah satunya adalah skema Crank-Nicolson. Skema
Crank-Nicolson
adalah
pengembangan dari metode beda hingga skema eksplisit dengan metode beda hingga maju skema implisit. Namun bentuk dari skema
Crank-Nicolson
adalah
skema
implisit. Kelebihan metode ini dibandingkan dengan metode beda hingga yang lain adalah stabil tanpa syarat
orde-2 sebagai berikut: 𝑎
𝜕2 𝑉 𝜕𝑥 2
+ 2𝑏
𝜕2 𝑉 𝜕𝑥𝜕𝑦
−𝑐
𝜕2 𝑉 𝜕𝑦 2
+ 𝑑
𝜕𝑉 𝜕𝑥
+𝑒
𝜕𝑉 𝜕𝑦
+ 𝑓𝑉 + 𝑔 = 0
Kemudian berdasarkan nilai koefisien a, b, c, d, e, f, dan g, bentuk umum ini dapat dibedakan atas beberapa bentuk khusus, yang kemudian dikenal atau popular sebagai bentuk PDP parabolik, hiperbolik, eliptik (Suarga, 2007). Salah satu pengembangan dari skema eksplisit dan skema implisit, yaitu skema Crank-Nicholson. Dalam skema eksplisit, ruas kanan pada waktu ke n. Dalam skema implisit, ruas kanan dapar ditulis untuk waktu
Dalam
prosesnya,
estimasi
error
didapatkan dari ekspansi daret Taylor yang dipotong
setelah
suku
turunan
n+1. Dalam kedua skema tersebut diferensial terhadap waktu ditulis dalam bentuk:
yang FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 T (Ti n 1 Ti n t t
kualitas produk dengan memperhatikan efek geometrinya. Secara umum, senuah unit
Yang berarti diferensial terpusat terhadap
proses dikendalikan oleh hukum konvermasi
waktu
massa, momentum dan energi. Persamaan-
n=1/2.
Skema
Crank-Nicholson
menulis ruas kanan pada waktu n=1/2 yang
persamaan
merupakan nilai rerata dari skema eksplisit
dibentuk oleh suku trasien, suku difusi dan
dan implisit (Triatmodjo, 2016).
suku generasi (Bindar, 1998).
perpindahan
ini
biasanya
Kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan
dan
teknologi
dapat
dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensia
parsiil.
Persamaan
tersebut
merupakan laju perubahan terhadap dua atau
III. METODE PRAKTIKUM Kasus
lebih variabel bebas yang biasanya adalah
L= 10
waktu dan jarak (ruang 0. Bentuk umum
dx= 0.1
persamaan diferensial parsiil order dua dan 2
ft= 60
dimensi adalah :
dt= 0.02
𝑎
𝜕2𝑢 𝜕𝑥 2
+ 2𝑏
𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦
Dengan
+𝑐
𝜕2𝑢 𝜕𝑦 2
+𝑑
𝜕𝑢 𝜕𝑢 +𝑒 + 𝑓. 𝑢 + 𝑔 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓
dan
𝑔
bisa
merupakan fungsi dari variabel 𝑥 dan 𝑦 dan variabel tidak bebas 𝑢 (Triadmodjo, 2016). Persamaan
diferensial
parsiil
alpha= 0.5
dapat
3.1 Algoritma 1. Dimulai program 2. Dideklarasikan variabel 3. Membuat matriks dengan perulangan
dibedakan menjadi 3 tipe yaitu1. Persamaan Elips jika: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0
yang disesuaikan kondisi awal dan
2. Persamaan Parabola jika: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0
syarat batas .
3. Persamaan Hiperbola jika: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 Proses
pemanasan
atau
pendinginan
untuk keperluan reaksi kimia untuk proses metalurgi dilangsungkan melalui tahaptahap tertentu. Persyaratan proses terhadap hasil pemanasan atau pendinginan seperti
4. Dihitung penyebaran panas konvesidifusi dengan rumus Crank-Nicholson : t t n 1 t .uin11 1 2. .ui .uin11 2x 2 2x 2 2x 2 t t n t 1. .uin11 1 .ui .uin1 2 2 2 2x 2x 2x
keseragaman temperatur sangat menentukan FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 5. Ditampilkan dalam bentuk grafik 6. Diakhiri program.
Flowchart Mulai
Script program crank
Deklarasikan variabel
implicit none integer :: i,n,j,ps real :: dy,dt,nn,pu,k,lm,c,h,t real,dimension(1000,1000) :: u
Menampilkan Matriks kondisi awal dan syarat batas
open(10,file='p.txt',status='unknown') open(12,file='s.txt',status='unknown') t=0 dy=0.001
Menentukan dx dan dt
ps=541 j=41
Perhitungan penyebaran panas konveksidifusi menggunakan rumus CrankNicholson
nn=0.000217 pu=40 dt=0.002 k=(nn*dt)/(dy**2) u(1,1)=pu
Menampilkan hasil perhitungan dan grafik kontur
do i=2,j u(1,i)=0 end do do n=1,ps
selesai
u(n,1)=pu u(n,j)=0. end do do n=1,ps do i=2,m-1
FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 u(n+1,i)= u(n,i) + (k * ( u(n,i+1) 2*u(n,i) + u(n,i-1) ) )
dimana beda mundur sebagai fungsi waktu dan beda tengah sebagai fungsi ruang,
end do
metode ini merupakan metode dari metode
end do
implisit dan Metode FTCS adalah suatu
do n=1,ps
metode yang dapat menyelesaikan persamaan
write(10,50)(u(n,i),i=1,j)
differensial
end do
persamaan beda hingga dimana beda maju
do i=1,j
sebagai fungsi waktu dan beda tengah
write(12,50)dy*i
sebagai fungsi ruang, metode ini merupakan
end do
metode dari metode emplisit.
48 format(548f8.3)
dengan
mengaproksimasikan
Laju Plat secara konveksi terjadi jika
end program
penyebaran panas pada plat yang bergerak dengan batas permukaan ketika keduanya berada temperatur yang berbeda sedangan
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
perpindahan secara difusi adalah penyebaran
Hasil program
panas pada plat dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian berkosentrasi rendah. V. PENUTUP Kesimpulan Jadi dapat disimpulkan bahwa CrankNicholson
merupan
salah
satu
pengembangan dari skema eksplisit dan skema implisit. Pembahasan Crank-Nicholson
merupan
salah
satu
DAFTAR PUSTAKA
pengembangan dari skema eksplisit dan
Bindar, Y., Pemodelan Numerik Fenomena
skema implisit. Dimana metode BTCS adalah
Tiga Dimensi Aliran Fluida, Reaksi
suatu metode yang dapat menyelesaikan
Kimia, Perpindahan Panas, dan
persamaan
dengan
Massa Secara Simultan, Proceeding
mengaproksimasikan persamaan beda hingga
Seminar Sehari Aplikasi Metoda
differensial
FMIPA-Fisika Kelompok-2B
Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 Numerik
Dalam
Rekayasa,.
Bandung, hal 24-41. Suarga. 2007. Fisika Komputasi Solusi Problem Fisika dengan METLB. Yogjakarta: Penerbit Andi. Triatmodjo,
Bambang.2016,.
Metode
Numerik.. Yogyakarta: Beta Offset
FMIPA-Fisika Kelompok-2B