Operasi Himpunan [PDF]

Citation preview

OPERASI HIMPUNAN INTERSEKSI, UNION, DIFFERENCE DAN COMPLEMENT



Oleh : Kelompok 8 1. Indah Rosidah (20181112032) 2. Andrieany Setyawati (20181112016) 3. Eka Seftiana D (20181112011)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURABAYA TAHUN AJARAN 2018/2019



Kata Pengantar Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada kami sehingga dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul “Himpunan” Kami menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini kami menghaturkan rasa hormat dan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam membuat makalah ini. Kami menyadari bahwa dalam proses pembuatan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, kami telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh karenanya, kami dengan rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima masukan, saran, dan usul guna menyempurnakan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.



Surabaya, 6 November 2018



Penulis



ii



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL ………………………………………………......... KATA PENGANTAR …………………………………………….......... DAFTAR ISI ………………………………………………………......... BAB I PENDAHULUAN  A. Latar Belakang ………………………………………….......  B. Rumusan Masalah ……………………………………….....  C. Tujuan Penulisan ………………………………………....... BAB II PEMBAHASAN  A. Pengertian Irisan ……………………………………...........  B. Pengertian gabungan ……………………………………....  C. Pengertian difference ………………………………………  D. Pengertian komplemen ………………………………........  Rangkuman ........................................................................  Istilah penting......................................................................  Latihan soal dan kunci jawaban.......................................... BAB III PENUTUP  A. Kesimpulan ………………………………………………….  B. Saran ………………………………………………………… DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………........



i ii iii



4 4 4 5 6 7 7 8 9 10 14 14 iv



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari. Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep mengenai teori himpunan. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut rumusan masalah sebagai berikut : 1.2.1. Bagaimana pengertian intereksi himpunan? 1.2.2. Apa pengertian union dalam himpunan? 1.2.3. Apa pengertian dari selisih dua himpunan? 1.2.4. Bagaimana pengertian dari komplemen? 1.3 Tujuan Tujuan dari penuliasan makalah ini adalah, sebagai berikut : 1.3.1. Untuk mengetahui pengertian intereksi dua himpunan atau lebih. 1.3.2. Untuk mengetahui pengertian dari union dua himpunan atau lebih. 1.3.3. Untuk mengetahui pengertian selisih dua himpunan atau lebih. 1.3.4. Untuk mengetahui pengertian dari komplemen himpunan.



BAB II PEMBAHASAN 1. Irisan atau Interseksi Irisan dikenal juga dengan sebutan interseksi. Jika kita mengatakan dua himpunan A dan B beririsan, maksudnya adalah himpunan elemen-elemen yang menjadi anggota himpunan A dan juga menjadi anggota himpunan B. Operasi irisan dapat dinotasikan dengan tanda ∩. Maka untuk menuliskan himpunan A beririsan dengan himpunan B dapat ditulis dengan operasi yaitu: A∩B (dapat dibaca: “A irisan B”, atau “A interseksi B”). Dapat pula dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota yang sama dari himpunan A dan himpunan B. Notasi irisan himpunan adalah ∩. Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B dengan A ∩ B = {x│x ∈ A dan x ∈ B}. Bila dinyatakan dalam diagram venn, irisan dua himpunan dapat digambarkan dalam arsiran sebagai berikut.



Menentukan irisan dua himpunan 1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain. Misalkan A = {1,3,5} dan B = {1,2,3,4,5,6}. Irisan dari himpunan A dan B adalah A∩B = {1,3,5} = A. Tampak bahwa A = {1,3,5} ⊂ B = {1,2,3,4,5,6}. Jika A ⊂ B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A. Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A 2. Kedua Himpunan Sama Dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi anggota A. Oleh karena itu anggota sekutu oleh A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B Jika A = B maka A ∩ B = A atau A ∩ B = B



3. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)



Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A 2. Pengertian union (gabungan) dua himpunan atau lebih Melakukan operasi gabungan dua buah himpunan adalah membentuk himpunan baru yang anggota-anggotanya meliputi semua anggota dua himpunan yang digabungkan. Gabungan (union) dari dua buah himpunan A dan B adalah himpunan elemen-elemen yang menjadi anggota himpunan A saja atau B saja, atau anggota himpunan A dan B kedua-duanya. Himpunan gabungan ditulis A∪ B (“A gabungan B” atau “A union B” atau gabungan dari A dan B” atau union dari A dan B”). Operasi penggabungan himpunan (union) dilambangkan dengan tanda ∪ Definisi : Anggota-anggota A ∪ B adalah semua anggota baik yang ada di A maupun yang ada di B. Anggota yang sama hanya ditulis satu kali. Apabila dituliskan dalam notasi matematika, definisi tersebut adalah A ∪ B = {x│ x ∈ A atau x ∈ B} Menentukan gabungan dua himpunan : 1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain. Misalkan A = {3,5} dan B = {1,2,3,4,5}. Perhatikan bahwa A = {3,5} ⊂ B = {1,2,3,4,5}, sehingga A ∪ B = {1,2,3,4,5} = B Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B



2. Kedua Himpunan Sama Misalkan P = {2,3,5,7,11} dan Q = {bilangan prima yang kurang dari 12}. Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh P = {2,3,5,7,11} dan Q = {2,3,5,7,11} maka, P ∪ Q = {2,3,5,7,11} = P = Q Jika A = B maka A ∪ B = A = B



3. Kedua Himpunan Tidak Saling Lepas (berpotongan) Misalkan A = {1,3,5,7,9} dan B = {1,2,3,4,5}, maka A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan sebagai berikut. n(A ∪ B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 3. Pengertian ( difference ) selisih dua himpunan atau lebih



Selisih (difference) dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\B. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.



Ingat bahwa selisih A dan B tidak sama dengan selisih B dan A Misalkan diketahui dua himpunan A dan B. Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A yang bukan anggota B, dan ditulis A-B={x│x↑A, x↑B} Pada diagram venn dibawah ini daerah yang diarsir adalah A-B. Misalnya himpunan A={1,2,3,4,5,6}, B={2,3,5,7,11}. Himpunan semua anggota A yang bukan anggota B adalah {1,4,6}, jadi A-B={1,4,6}



4. Pengertian dari komplemen himpunan Dalam kamus Matematika, komplemen bilangan A adalah bilangan lain B sedemikian sehingga jumlah A + B akan menghasilkan himpunan semesta yang diinginkan. Komplemen dari himpunan A dilambangkan dengan A′ (A aksen). Komplemen dari himpunan A didefinisikan sebagai suatu himpunan yang anggotaanggotanya adalah anggota himpunan semesta yang tidak (bukan) merupakan anggota himpunan A.



Misalkan diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7} adalah himpunan semesta dan A = {3,4,5}. Komplemen himpunan A adalah Aᶜ = {1,2,6,7}. Komplemen A dinotasikan dengan Aᶜ atau A’ (dibaca : komplemen A)



Rangkuman : Operasi Himpunan 1. Komplemen Himpunan komplemen dari A (A^C atau A^c) adalah himpunan anggotanya bukan A Notasinya : A^C = {x / x ∈ A, x ∈ A}



2. Interseksi atau Irisan (∩) Irisan himpunan A dan B (A ∩ B) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan A dan B Notasinya : A ∩ B = {x / x ∈ A dan x ∈ B}



3. Union atau Gabungan (∪) Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A tetapi juga anggota B Notasinya : A ∪ B = {x / x ∈ A dan x ∈ B}



4. Selisih ( – ) Selisih himpunan A dengan B (A – B) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A tetapi anggota B Notasinya : A – B = {x / x ∈ A dan x ∈ B}



Contoh soal dan jawaban Contoh soal irisan atau interseksi 1. Diketahui A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, e, o, u}. Tentukan A B. Penyelesaian: Anggota-anggota A dan juga merupakan anggota-anggota B adalah a dan e. Jadi, A B = {a, e}. 2. Diketahui: S = x | 0 x 10, x c A = x | x G, x bilangan ganjil B = x | x P, P bilangan prima C = x | x Gn, Gn bilangan genap Himpunan A, B, dan C adalah himpunan bagian dari S. Tentukanlah: a. A B b. B C c. A C Penyelesaian: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 3, 5, 7} C = {0, 2, 4, 6, 8, 10}



Contoh soal gabungan dua himpunan 1. Diketahui: K = {faktor dari 6} dan L = {bilangan cacah kurang dari 6}. Dengan mendaftar anggotanya, tentukan a. anggota K



L;



b. anggota K



L;



c. n(K



L).



Penyelesaian: K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4 L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6 a. K



L = {1, 2, 3}



b. K



L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}



c. n(K



L) = 7.



n(K



L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.



n(K



L) = n(K) + n(L) – n(K



L)



=4+6–3 =7 2. Diketahui: S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={1,2,3,4,5} B = {6, 7, 8} a. Buatlahdiagram Venn-nya. b. Tentukanlah A ∪ B Penyelesaian a.



b. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}



Contoh soal selisih dua himpunan 1. Diketahui : A={himpunan bilangan asli kurang dari 10} dan B={himpunan bilangan prima kurang dari 15} Tentukan anggota dari A – B dan B – A dan gambarkan diagram venn nya Penyelesaian : A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, B= {2,3,5,7,11,13} A – B = {1,4,6,8,9} B – A = {11,13}



2. Diketahui P={x│3≤ x < 7, x Î A}, Q={x│0 < x≤5, x Î B} Ditanya : P – Q dan Q–P Penyelesaian : P={3,4,5,6,7} dan Q={1,2,3,4,5} a. P – Q = {6} b. Q – P = {1,2} Contoh Soal Komplemen Himpunan 1. Diketahui S = {1,2,3,....,10} adalah himpunan semesta. Jika A = {1,2,3,4} dan B = {2,3,5,7}, tentukan : a. Anggota Aᶜ b. Anggota Bᶜ c. Anggota (A∩B) ᶜ



Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4} B = { 2,3,5,7} Jawab : a. Aᶜ = {5,6,7,8,9,10} b. Bᶜ = {1,4,6,8,9,10} c. Untuk menemukan anggota (A∩B) ᶜ, tentukan terlebih dahulu anggota dari A∩B. A∩B = {2,3} (A∩B) ᶜ = {1,4,5,6,7,8,9,10} 2. Diketahui: S = {x | x < 10, x bilangan cacah} dan A = {1, 3, 5, 7, 9} Tentukan komplemen dari A (A'). Penyelesaian: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; A = {1, 3, 5, 7, 9} Semua anggota S yang bukan anggota A membentuk satu himpunan yaitu {0, 2, 4, 6, 8}



Jadi, komplemen himpunan A adalah A' ={0, 2, 4, 6, 8}. Perhatikan diagram Venn di atas. Daerah yang diarsir adalah komplemen A atau A'.



Istilah Penting 1. 2. 3. 4.



Interseksi = irisan dua himpunan atau lebih Union = gabungan dua himpunan atau lebih Difference = selisih dua himpunan atau lebih Complement = komplemen dua himpunan atau lebih Simbol



Arti



{}



Himpunan kosong



∪



Operasi gabungan dua himpunan



∩



Operasi irisan dua himpunan



AC



(A-B)



Komplemen



Difference



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Operasi pada himpunan terdiri dari gabungan, irisan, selisih, dan komplemen. Pembuktian proporsi himpunaan dapat menggunakan diagram venn. Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap,tertib, metodis, dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian. 3.2 Saran Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainnya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matemtika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.



DAFTAR PUSTAKA



http://repository.ut.ac.id/4704/1/PAUD4305-M1.pdf https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika) https://ayunopiandari.wordpress.com/2012/01/31/himpunan-sma/



iv