Peluang Dalam Statistika [PDF]

Citation preview

PELUANG Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas kuliah Pengantar Statistika Dosen Pengampu : Puji Astuti, S.Pd., M.Sc.



Oleh 1.Muhammad Sazali



(190384202010)



2.Reonita Margi Utami



(190384202043)



3.Asmi Septiani DM



(190384202035)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI 2020



PELUANG DAN ATURAN PELUANG 1.Pengertian Peluang Materi Peluang merupakan bagian dari ilmu statistika karena peluang merupakan salah satu syarat pegetahuan untuk mempelajari statistika.Konsep -konsep yang dipelajari adalah konsep dasar yang digunakan dalam memecahkan masalah terkait dengan peluang.Statistika memberikan alat analisis data dari berbagai bidang ilmu. Kegunaannya bermacam-macam : mempelajari keberagaman akibat pengukuran, mengendalikan proses, merumuskan informasi dari data, dan membantu pengembalian keputusan berdasarkan data. Statistika yang bersifat objektif, sering kali menjadi satu-satunya alat yang bisa diandalkan untuk berbagai kepentingan dan peluang merupakan bagian di dalamnya. Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.Materi Peluang dan Statistika sangat berkaitan , karena statistika dibangun dan dikembangan atas dasar teori probabilitas sehingga kebenaran Statistika merupakan kebenaran probabilistic. 2. Perhitungan Probabilitas ( Peluang) dengan Pendekatan Klasik Perumusan perhitungan berdasarkan pendekatan klasik menyatakan apabila suatu peristiwa E dapat terjadi sebanyak h dari sejumlah n kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi maka, probabilitas peristiwa E atau P(E) dapat dirumuskan : P(E) = h/n



h n



Misalnya : bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masingmasing sisi mempunyai peluang yang sama, yaitu 0,5 karena koin hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau keluar sehingga P(A) = P(B) = 0,5 Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Kata Probabilitas sendiri biasanya disebut dengan peluang atau kemungkinan yang secara umum merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. 3. Eksperimen Acak a.Sampel dan Populasi Populasi dalam statistika merujuk pada sekumpulan individu dengan karakteristik khas yang menjadi perhatian dalam suatu penelitian (pengamatan). Sedangkan sampel adalah bagian kecil dari anggota populasi yang diambil menurut prosedur tertentu sehingga dapat mewakili populasinya.



P(A) =



n( A) n (B) 1



Contoh : Banyak mahasiswa Pendidikan Matematika Semester II Adan B adalah 60 orang. Jika Kepala Jurusan ingin melakukan penelitian tentang hubungan antar tingkat social ekonomi orang tua terhadap hasil belajar siswa, maka dapat ditentukan populasi dan sampelnya, yaitu : Populasinya adalah Seluruh Mahasiswa Pendidikan Matematika Semester II Sedangkan sampel-nya adalah beberapa mahasiswa kelas A dan beberapa mahassiswa kelas B yang diambil secara acak. b.Konsep Ruang Sampel dan Kejadian Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Sedangkan ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan).Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel. Contoh : Dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama,maka tentukan :  Ruang sampelnya  banyaknya ruang sampel  banyaknya kejadian keduanya gambar Penyelesaian : Ruang sampelnya MATA UANG II MATA UANG I A G



A



G



AA GA



AG GG



Banyaknya Ruang sampel, n(S) = 4 Misalkan B adalah keduanya gambar. Maka banyaknyakejadian keduanya gambar, n(B) = 1 c.Perhitungan Peluang suatu kejadian dengan Rumus Peluang Jika A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel (S) maka peluang kejadian A didefinisikan sebagai :



2 Dimana P(A) adalah peluang kejadian A.



Contoh : Pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam, maka tentukan Peluang munculnya angka Peluang munculnya angka atau gambar Jawab : Jika H = angka dan T = gambar, maka : S = { H , T} n (S) = 2 Jika A = kejadian munculnyaangka, maka : A = {H} n (A) = 1



P(A) =



n( A) 1 = n (B) 2



Jika D = Kejadian munculnya angka atau gambar, maka : D = {H,T} n (D) = 2 n(D) 2 = =1 P(D) = n(S) 2 d. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan suatu peristiwa pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah hasil kali peluang peristiwa itu dengan (n). F b=¿ P(K )¿ Contoh : Sebuah mata uang logam dilemparkan 50 kali.Tentukan frekuensi harapan munculnya angka Penyelesaian : Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang,Ruang sampel, S = {A,G}. n(S) = 2 Kejadian A = {A}, n(A) =1 P(A) =



1 maka frekuensi harapan munculnya angka adalah : 2



3



1 F b ( A )= .50=25 kali 2



e. Frekuensi Relatif Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.Peluang suatu kejadian adalah banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.Frekuensi relative adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan.



F r=



banyaknya kejadian k banyaknya percobaan



f.



Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang



sampel S,dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P). 4. Kajian Majemuk 1.Kejadian Saling lepas Dua peristiwa dikatakan kejadian saling lepas jika terjadinya peristiwa yang satu menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. peristiwa tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan sehingga kejadian tersebut dikatakan saling lepas atau saling asing. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya pristiwa tersebut adalah : P (A U B) = P(A) + P(B) Contoh : Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah : A = peristiwa mata dadu 2 muncul B = mata dadu lebih dari 4 muncul Tentukan Probabilitasnya dari kejadian P(A U B) :



4 P(A) = 1/6 dan P(B) = 2/6



P(A U B) = 1/6 + 1/2 = 3/6 2. Kajian tidak saling lepas Dua buah peristiwa dapat dikatakn tidak saling lepas jika kedua peristiwa tersenut terjadi secara bersamaan. Jika kedua peristiwa saling meniadakan atau saling lepas maka probabilitas yang mungkin terjadi adalah : P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Contoh ; Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya dalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ? Misalkan : A = kartu Ace D = kartu diamont Maka P(A U B) = P(A) + P(D) - P(A ∩ B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52



3. Kejadian bebas Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas jika terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B atau sebaliknya. Sehingga Probabilitasnya adalah : P(A∩ B) = P(A) x P(B) Contoh : Suatu mata uang logam Rp 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapatkan gambar burung (B) dan A2 adalah lemparan ke dua yang mendapatkan gambar burung (B) berapakah P (A B) Penyelesaian ; karena pada pelemparan pertama tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan P(A1) = P(B)= 0,5 maka P(A1 U KEBALIK A2) = P(A1).P(A2) = P(B).P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25 5 4. Kejadian bersyarat



Probabilitas bersyarat adalah suatu peristiwa yang terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, probabilitas suatu peristiwa tersebut adalah: P(A/B) dibaca probabilitas terjsdinya B dengan syarat peristiwa A terjadi. 6.Permutasi dan Kombinasi a.Permutasi Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan.Permutasi merupakan susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu.  Permutasi sekumpulan n elemen yang berlainan secara bersama-sama. Rumus :



nPn =n



Contoh : yang dapat dibuat



Kata “SAPI” terdiri dari 4 huruf, berapa banyak susunan hurf



Jawab : 4 P4=4 ! = 4.3.2.1 = 24



Permutasi n elemen, diambil dari r sekaligus Rumus :



n!



n Pr = ( n−r ) ! Contoh : Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3 huruf yang akan diambil dari pada abjad A.B.C.D ! Jawab : 5!



5!



5 P3 = ( 5−3 ) ! = 2! =



5.4 .3 .2 ! = 5.4.3 = 60 2!



6



 Permutasi n elemen dengan beberapa elemen yang sama Jika diketahui ada k unsur yang sama, maka banyaknya permutasi adalah :



n!



P = k ! keterangan:k =unsur yang sama Contoh : Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata “EMBER” Jawab : n = 5 huruf k = 2 huruf P=



n ! 5! 5.4 .3 .2 ! =5.4 .3=60 = = k ! 2! 2! 



Jika diketahui ada n unsur yang sama dan seterusnya sampai n kberjenis k, maka banyaknya permutasi adalah :



P= n! k1! k2! … . kn!



Contoh : Tentukan



banyaknya permutasi pada kata “ MANTAN”



Jawab : n = 6 huruf n1 =A=2 huru f n2 =N=2 huruf P=



6! 6.5 .4 .3 .2! 6.5.4 .3 360 = = =180 = 2! 2 ! 2! .2 ! 2! 2



7







Permutasi Siklis Adalah : permutasi yang letak elemen-elemennya tidak segaris, tetapi melingkar.



P = (n-1) ! Contoh : Dengan berapa cara 4 orang melingkar !



duduk pada 4 kursi disebuah meja



Jawab : P = (n-1)! = (4-1)! = 3! =



3..2.1 = 6



b.Kombinasi Adalah : suatu susunan dari unsur-unsur tanpa memperhatikan unsurnya.



Contoh :



nC k =



n! k ! ( n−k ) !



Ada menjadi anggota inti tim cerdas cermat



beberapa cara 3 orang terpilih dari 6 orang untuk



Jawab :



6! 6.5 .4 .3 ! 6.5.4 120 6C 3= 3! ( 6−3 ) ! = 3 ! 3 ! = 3.2 .1 = 6 =20 3. Aturan Peluang Ada beberapa aturan peluang, yaitu : a.Peluang sebuah kejadian E selalu berkisar antara 0 sampai 1. Tidak mungkin lebih kecil dari 0 dan tidak mungkin lebih besar dari 1 0 ≤ P ( E )≤ 1 Contoh : Peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu adalah 1/6



8



b. Jumlah total peluang pada sebuah kejadian keseluruhan sama dengan 1 Contoh : Jika peluang mnculnya mata 1 pada pelemparan dadu = P(1) = 1/6 Dan peluang munculnya mata bukan 1 (mata 2, mata 3, mata 4, mata 5, mata 6) adalah 5/6, maka total peluang pada pelemparan dadu adalah : 1/6 + 5/6 = 1 c. Kejadian yang saling eklusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang sudah terjadi maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi. P( E1 ∪ E2 ¿ ¿=P ( E1 ) + P( E2) Contoh : jika peluang terambil satu kartu “hati” pada setumpuk kartu bridge adalah peluang terambl kartu “wajik” adalah



13 dan 52



13 . Maka peluang terambil kartu “hati” atau “wajik” 52



13 13 26 + = atau sama dengan peluang terambil kartu yang merah,artinya kalau tidak 52 52 52 “hati” berarti “wajik” yang terambil.Jika satu sudah terambil maka yang lain tidak akan terambil. adalah



d. Kejadian yang saling inklusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lan masih mungkin terjadi P( E1 ∪ E2 ¿ ¿=P ( E1 ) + P ( E 2) −P(E1 ∩ E2 ) Contoh : Jika peluang terambil satu kartu “hati” pada setumpuk kartu bridge adalah



13 dan 52



4 . Maka peluang terambil kartu “hati” atau “As’ adalah 52 13 4 1 16 1 + - = . Disini perhitungan dikurangi karna pada pengambilan kartu ‘hati’ atau 52 52 52 52 52 1 ‘As” ada kemungkinan terambil kartu ‘hati” yang “As” dengan peluang . 52 peluang terambil kartu “As” adalah



e. Kejadian yang saling independent, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu tidak berhubungan dengan kejadian yang lain. P( E1 ∩ E2 ¿ ¿=P ( E 1 ) . P ( E2 ) Contoh : Dilakukan pelemparan dua buah dadu. Jika peluang munculnya mata 1 dadu 1 1 pertama = dan peluang munculnya mata 1 pada dadu kedua . Maka peluang dalam satu 6 6 kali pelemparan 2 dadu akan muncul mata 1 pada dadu pertama dan mata 1 pada dadu kedua 1 1 1 adalah . = 6 6 36



f. Kejadian yang memiliki hubungan bersyarat, yaitu sebuah kondisi dimana kejadian yang satu menjadi syarat untuk kejadian berikutnya. Jadi kejadian kedua terjadi setelah kejadian satu terjadi.



9 P( E1 ∩ E2 ¿ ¿=P ( E 1 ) . P ( E2∨E 1¿ ¿ ) Contoh : Sebuah kotak berisi 3 buah bola berwarna kuning, 4 buah bola berwarna merah dan 5 buah bola berwarna biru, yang sama ukurannya. Peluang terambil bola K = P(K) = terambil bola B = P(B) =



3 4 , peluang terambil bola M = P(M) = dan peluang 12 12



5 12



Jika diambil dua buah bola berurutan, maka peluang terambil pertama bola merah dan kedua bola biru adalah : 4/12 x 5/11 = 0,79.Disini peluang terambil bola biru 5/11 karena bola pertama sudah terambil sehingga jumlah bola keseluruhan tinggal 11 7. Jenis-jenis Peluang a. Peluang bersyarat Pada peluang bersyarat jika dilakukan suatu percobaan maka akan menghasiklan dua atau lebih kemungkinan peristiwa yang akan terjadi. Peluang akan terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi terlebih dahulu adalah : P(B|A) =



P ( A ∩B) yang menyatakan bahwa : P( A)



P(B|A) = Peluang peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu P(A|B) = Peluang peristiwa A dan peristiwa B terjadi bersamaan P(A) = Peluang terjadinya peristiwa A b. Peluang tidak bersyarat Pengertian bebas disini bukanlah pengertian bebas berdasarkan statistik karna pada dasarnya keduanya tidak identic. Peristiwa A dikatakan bebas dari peristiwa B jika salah satu peristiwa tidak dipengaruhi oleh peristiwa lainnya. Misalnya jika peneliti mengambil kartu dari setumpuk kartu bridge secara berurutan dimana setiap pengambilan kartu selalu dikembalikan lagi, maka semua hasil dari peristiwa ini dikatakan bebas antara yang satu dengan yang lainnya. Peluang terambilnya kartu As pada setiap pengambilan akan selalu 4/25.



Jika pengambilan kartu tidak dengan pengembalian maka hasil yang diperoleh akan akan bersifat tidak bebas atau saling tergantung. Peluang terambilnya kartu As ada pengambilan pertama adalah 4/52, pengambilan kedua 3/51, pengambilan ketiga 2/50 dan seterusnya. Dua peristiwa yang saling bebas dinyatakan dalam hubungan A dan B atau secara notasi himpunan A∩ B adalah perkalian antara kedua peluang tersebut. Secara simbolik : P(A dan B) = P(A∩ B ¿=P( A) . P (B) 10 8. Konsep dasar dan Hukum Peluang a.Hukum Penjumlahan Hukum penjumlahan pada peluang menghendaki peristiwa saling lepas dan peristiwa bersama, saling meniadakan. Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peistiwa lain tidak akan terjadi pada saat bersamaan. Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan :



P(A∪ B ¿=P( A atau B)=P ( A )+ P( B)



Rumus kejadian yang tidak saling meniadakan :



penjumlahan untuk kejadian-



Dua kejadian P (A∪ B ¿ = P(A) + P(B) – P(A



Tiga kejadian P(A∪ B∪C ¿=P( A)+ P(B)+ P(C)−P( A ∩ B)−P( A ∩C )−P(B ∩C)+ P( A ∩ B∩ C)



b. Hukum Perkalian A. Hukum bebas (independent)



Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independent, yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dikatakan independent jika peristiwa A tidak menghalangi peristiwa B. B. Peristiwa Bersyarat (tidak bebas) Peluang peristiwa bersyarat adalah peluang suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B akan terjadi jika peristiwa A telah terjadi. c. Teorema Bayes Dalam teori peluang dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan bua buah penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjek harus berubah secara rasiona ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuensi teorema ini menjelaskan representasi invers peluang dua kejadian. 11 Teorema ini merupakan dasar statistika Bayes dan sangat memiliki banyak penerapan seperti dalam sains dan ilmu ekonomi.



9. Manfaat ilmu Peluang dalam penilitian Sebagai ilmu yang Probabilitas, maka ilmu peluang sangat penting kegunaannya terutama dalam penelitian. Adapun beberapa contoh penerapan ilmu peluang dalam penilitian adalah :



 Membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi.  Membantu peneliti dalam mengambil keputusan yang tepat  Dengan teori peluang kita dapat mengambil kesimpulan dengan cepat dan tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi  Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi



12 DAFTAR PUSTAKA Rully .2012 Statistika Dasar . MAT 2215 Tangerang www.content://com.sec.android.app.sbrowser/readinglist/0407073625.mhtml Andi Fahri.2015 konsep dasar probabilitas Makassar www.content://cpo.sec.android.app.sbrowse/readinglist/0428082533 Home Matematika.2020 Teori Peluang www.content://cpo.sec.android.app.sbrowse/readinglist/0428080304.mhtml



13