5 0 4 MB
a. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku β siku
P
ROBLEM !!!
(a)
(b)
Perhatikan kedua gambar di atas!! Pemerintah Lebak Banten ingin mengadakan renovasi pada jembatan yang membentang pada sungai Ciberang. Lebar sungai Ciberang adalah 50 meter dan pemerintah ingin membuat jembatan itu 10 meter di atas permukaan air sungai, seperti yang terlihat pada gambar (b). Berapakah panjang kawat yang dibutuhkan untuk membentangkan kawat dari ujung tiang penyangga sampai ujung jembatan? Konsep Dasar!
Definisi. 1. Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang
sisi di depan sudut dengan sisi miring, π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
ditulis sin C = π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ 2. Cosinus suatu sudutdidefinisikan sebagai perbandingan panjang
sisi disamping sudut dengan sisi miring, ditulis cos π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
C= π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘
3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan C = π ππ π πππππ π π’ππ’π‘ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
4.
Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai panjang sisi miring dengan sisi di depan sudut, ditulis cosec C
=
π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
atau cosec
1
C=sin πΆ
5. Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan sisi di samping sudut, ditulis sec C =
π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
1 cos πΆ
atau sec C=
6. Cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis cotan C =
π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
atau
1
cot C=tan πΆ
Jika diperhatikan aturan perbandingan di atas, prinsip matematika lain yang perlu diingat kembali adalah teorema Phytagoras.Teorema phytagoras menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa merupakan jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya.
π2 + π2 = π 2
sin πΌ =
π ππ π πππππ π = π ππ π ππππππ π
cos πΌ =
π ππ π π ππππππ π = π ππ π ππππππ π
tan πΌ =
π ππ π πππππ π = π ππ π π ππππππ π
sec πΌ =
π ππ π ππππππ π = π ππ π π ππππππ π
cosec πΌ =
cot πΌ =
π ππ π ππππππ π = π ππ π πππππ π
π ππ π π ππππππ π = π ππ π πππππ π
Pada peradaban kehidupan budaya Dayak, kajian mengenai trigonometri sudah tercermin dari berbagai ikon kehidupan mereka. Misalnya, para arsitekturnya, sudah menerapkan kesetimbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan. Rumah adat tersebut berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antara besar sudut yang dikaitkan dengan panjang sisi-sisinya. Apakah para Arsitektur tersebut mempelajari trigonometri juga?
Pada sub bab ini, akan dipahami konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga sikusiku Ayo Perhatikan
Sebuah tangga panjangnya 4 meter bersandar pada sebuah dinding vertikal. Titik puncak tangga yang menempel di dinding berada pada ketinggian 3 meter dari permukaan tanah. Ayo Analisis
Dapat dicermati bahwa dinding dengan
B
lantai saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku dan sapu membentuk sisi miring. Ilustrasinya disajikan pada Gambar di samping. Dari di samping, dapat disebut sisisisi segitiga sikusiku berturut-turut, yaitu ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ π΅π,
P
A
ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€, dan π΄π΅ ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€. Sedangkan ketiga sudutnya, ππ΄ berturut-turut yaitu β A, β B, dan β P adalah sudut siku-siku.
Adakah hubungan perbandingan antara sudut lancip A dan B dengan sisi-sisi segitiga siku-siku BPA?
Definisi Jika terdapat segitiga siku-siku BPA, siku-siku di P maka yang dimaksud sisi miring segitiga merupakan sisi yang terpanjang / sisi yang tidak membentuk sudut siku-siku/ sisi di depan ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€) : sudut siku-siku (π΅π΄ Rdian
1. Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
ππ΅
dengan panjang sisi miring, ditulis sin π΄ = πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ = π΅π΄
2. Cosinus
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
samping sudut dengan panjang sisi miring, ditulis cos π΄ = πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ = ππ΄ π΅π΄
4. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
ππ΅
dengan panjang sisi di samping suut, ditulis tan π΄ = πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘ = ππ΄ 5. Cosecan
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring
dengan panjang sisi di samping sudut, ditulis cosec π΄ = π΅π΄ ππ΅
πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ πππππππ π ππ ππππππ π π’ππ’π‘
=
1
= sin π΄
6. Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan panjang sisi di samping sudut, ditulis cosec π΄ = 7. Cotangen samping tan π΄ =
πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
π΅π΄
1
= ππ΄ = cos π΄
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di sudut dengan panjang sisi di depan sudut, ditulis
πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘ πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
ππ΄
1
= ππ΅ = tan π΄
Catatan
ο·
Istilah lain bagi perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri
ο·
Hipotenusa sering disebut dengan sisi miring.
ο·
Dalam beberapa buku, tangen dan kotangen seringkali disingkat tg dan ctg, sedangkan kosekan disingkat sebagai csc. Ayo Simpulkan
Berdasarkan definisi di atas, jika terdapat suatu sudut lancip berukuran Ξ±, dapat diturunkan hubungan-hubungan matematika yang disebut sebagai rumus kebalikan dan rumus perbandingan sebagai berikut :
Rumus Kebalikan
a. sin πΌ = b. cos πΌ =
1
d. cosec πΌ =
πππ ππ πΌ 1
e. sec πΌ =
π ππ πΌ 1
c. tan πΌPerbandingan = Rumus
f. πππ‘ πΌ =
πππ‘ πΌ
a. tan πΌ =
sin πΌ
b. cot πΌ =
πππ πΌ
1 π ππ πΌ
1 πππ πΌ 1 π‘ππ πΌ cos πΌ π ππ πΌ
Contoh
2
Diketahui sin πΌ = 3, dan πΌ adalah sudut lancip (0 < πΌ < 900 ). Carilah nilai pebandingan trigonometri sudut πΌ yang lain.
Penyelesaian : Langkah 1 π΅ π=3
π=2
πΆ
π
Gambarlah segitiga siku-siku ABC sehingga nilai πΌ
2
perbandingan trigonometri sin πΌ = 3 (perhatikan gambar).
π΄
Langkah 2 Hitunglah panjang sisi b dengan menggunakan teorema phytagoras : π 2 = π2 + π 2 ο³ π 2 = π 2 β π2
ο³ π 2 = 32 β 22 ο³ π2 = 9 β 4 ο³ π2 = 5 ο³ π = β5 Langkah 3 Mencari nilai pebandingan trigonometri sudut πΌ yang lain. cos πΌ =
π π
=
π
tan πΌ = π = π
cot πΌ = π =
β5 3 2 β5 β5 2
π
cosec πΌ = π = π
sec πΌ = π =
2
= 5 β5
3 β5
β5 2 3
= 5 β5
Berlatih Mandiri 1. Dari setiap pasangan perbandingan trigonometri berikut ini, mana yang lebih besar? a. Tan 350 dan cot 350 b. Sin 700 dan cos 700 Petunjuk : buatlah gambar segitiga siku-siku dengan besar sudut sesuai dengan sudut-sudut yang diketahui. 1
2. Diketahui tan πΌ = π₯ (x π β dan x β 0, πΌ merupakan sudut lancip). Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut πΌ yang lain (nyatakan hasilnya dalam x)
4
= 3 π rad C.PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU Ayo Kita Mencoba
Perhatikan gambar diatas,tinggi pohon dan Sinta berturut-turut adalah 3,2m dan 1,6 m.Dedi yang berdiri tidak jauh dari Sinta mengukur bayangan pohon dan Sinta,didapat hasilnya yaitu 6 m untuk pohon dan 3m untuk Sinta.Data yang didapat Dedi akan digunaka untuk mengetahui perbandingan trigonometri.Bagaimana caranya? Penyelesaian: Dimana AB=tinggi pohon BC=panjang bayangan pohon DE=tinggi ibu EC=panjang bayangan ibu Berdasarkan gambar segitiga di atas terdapat dua buah segitiga, yaitu βABC dan βDEC
Berdasarkan βABC dan βDEC diperoleh perbandingan sebagai berikut a)
π΄π΅ π΄πΆ
π·πΈ
3,2
1,6
= π·πΆ = 6,8 = 3,4 = 0,47
Perbandingan ini disebut sinus sudut C,ditulis sin π₯Β° = 0,47 b)
π΅πΆ π΄πΆ
πΈπΆ
6
3
= π·πΆ = 6,8 = 3,4 = 0,88
Perbandingan ini disebut sinus sudut C,ditulis cos π₯Β° = 0,88 c)
π΄π΅ π΅πΆ
=
π·πΈ πΈπΆ
=
3,2 6
=
1,6 3
= 0,53
Perbandingan ini disebut tangen sudut C,ditulis sin π₯Β° = 0,53
Amati
Dari gambar di atas ,diperoleh sisi-sisi segitiga siku-siku berturut-turut BA,BC,dan CA , dan ketiga sudutnya berturut-turut yaitu C,A,dan B adalah sudut siku-siku .
7. sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang
sisi di depan sudut dengan sisi miring, π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
ditulis sin C = π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ 8. cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang
sisi disamping sudut dengan sisi miring, π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
ditulis cos C= π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘
9. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan C =
π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
Jika diperhatikan aturan perbandingan di atas, prinsip matematika lain yang perlu diingat kembali adalah teorema Phytagoras.Teorema phytagoras menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa merupakan jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya.
π2 + π 2 = π 2
sin πΌ =
π ππ π πππππ π = π ππ π ππππππ π
cos πΌ =
π ππ π π ππππππ π = π ππ π ππππππ π
tan πΌ =
π ππ π πππππ π = π ππ π π ππππππ π
sec πΌ =
π ππ π ππππππ π = π ππ π π ππππππ π
cosec πΌ =
cot πΌ =
π ππ π ππππππ π = π ππ π πππππ π
π ππ π π ππππππ π = π ππ π πππππ π
Contoh : Diketahui ada segitiga siku-siku ABC,siku-siku di β π΄π΅πΆ . Jika panjang sisi AB = 3 satuan , BC = 4 satuan . Tentukanlah sin A,cos C,dan tan A . Penyelesaian : A
Dengan teorema phytagoras diperoleh
4 satuan
AC = 5 satuan
B
C πππππππ π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π΄
4
ο·
Sin A = 3πππππππ satuan π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π΄
ο·
Cos A
=
ο·
Tan A
= πππππππ π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π΄ =
=
5
πππππππ π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π΄ πππππππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π΄ πππππππ π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π΄
=
3 5 4 3
Sisi pada segitiga siku-siku tidak selalu miring , tetapi sisi miring selalu dihadapan sudut siku-siku
A. Peta Konsep Segitiga
Materi Prasyarat
Segitiga siku-siku
Masalah Otentik
Perbandingan Sisi-sisi dalam Segitiga
Sin β
Cos β
Tan β
Sec β
Segitiga siku-siku
Cosec β
Cot β
3. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai bentuk segitiga siku-siku, misalnya, menyenderkan tangga pada dinding. Perhatikan gambar di bawah ini.
A
C
B
Gambar 1 Gambar 2 Dari Gambar 1 kita mengetahui bahwa posisi dinding dan tanah tegak lurus, sedangkan posisi tangga dan tanah membentuk sudut lancip dengan tangga sebagai sisi miringnya. Ilustrasinya disajikan pada Gambar 2. Dari Gambar 2, sisi-sisi dari segitiga siku-siku tersebut yaitu AB, BC, dan AC, dan ketiga sudutnya berturut-turut yaitu C, A, dan Badalah sudut siku-siku.
DEFINISI 1. π πππ’π π π’ππ‘π’ π π’ππ’π‘ didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut π΄π΅ dengan sisi miring, π πππ’π πΆ ditulis sin πΆ = π΄πΆ . 2. πππ πππ’π π π’ππ‘π’ π π’ππ’π‘ didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping π΅πΆ sudut dengan sisi miring, πππ πππ’π πΆ ditulis cos πΆ = π΄πΆ . 3. π‘πππππ π π’ππ‘π’ π π’ππ’π‘ didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut π΄π΅ dengan sisi di samping sudut, π‘πππππ πΆ ditulis tan πΆ = π΅πΆ . 4. πππ ππππ π π’ππ‘π’ π π’ππ’π‘ didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring π΄πΆ dengan sisi di depan sudut, πππ ππππ πΆ ditulis πππ ππ πΆ atau csc πΆ = π΄π΅ atau csc πΆ = 1
. 5. π ππππ π π’ππ‘π’ π π’ππ’π‘ didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan π΄πΆ 1 sisi di samping sudut, π ππππ πΆ ditulis sec πΆ = π΅πΆ atau sec πΆ = cos πΆ. 6. πππ‘πππππ π π’ππ‘π’ π π’ππ’π‘ didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, πππ‘πππππ πΆ ditulis πππ‘ππ πΆ atau cot πΆ = π΅πΆ 1 atau cot πΆ = . π΄π΅ tan πΆ sin πΆ
Selain aturan perbandingan di atas, teorema phytagoras juga merupakan konsep matematika yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.
Contoh Soal 5
Diberikan segitiga siku-siku πππ
, siku-siku di β πππ
. Jika π ππ π
= 13,
tentukanlah tan π
, sin π , dan cos π. Penyelesaian: Untuk menjawab soal ini, kita harus memuai dari sin π
=
5
. Artinya menurut Definisi 1, bahwa
1. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku
Rumah Adat Suku Dayak
Pada peradaban kehidupan budaya Dayak, kajian mengenai trigonometri sudah tercermin dari berbagai ikon kehidupan mereka. Misalnya, para arsitekturnya, sudah menerapkan kesetimbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan. Rumah adat tersebut berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antara besar sudut yang dikaitkan dengan panjang sisisisinya. Apakah para Arsitektur tersebut mempelajari trigonometri juga? Pada sub bab ini, akan dipahami konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bentuk segitiga siku-siku; misalnya, meletakkan posisi sapu. Perhatikan gambar berikut ini.
Posisi sapu di dinding
Coba kita pahami deskripsi berikut. Pak Dangu adalah seorang penjaga sekolah. Tinggi Pak Dangu adalah 1,6 m. Dia mempunyai seorang anak, namanya Sofyan. Sofyan masih kelas II Sekolah Dasar. Tinggi badannya 1,2 m. Sofyan adalah anak yang baik dan suka bertanya. Dia pernah bertanya kepada ayahnya tentang tinggi tiang bendera di lapangan itu. Dengan senyum, Ayahnya menjawab 8 m. Suatu sore, disaat dia menemani ayahnya membersihkan rumput liar di lapangan, Sofyan melihat
bayangan setiap benda ditanah. Dia mengambil tali meteran dan mengukur panjang bayangan ayahnya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 3 m dan 15 m. Tetapi dia tidak dapat mengukur panjang bayangannya sendiri karena bayangannya mengikuti pergerakannya. Jika kamu sebagai Sofyan, dapatkah kamu mengukur bayangan kamu sendiri? Konsep kesebangunan pada segitiga terdapat pada cerita tersebut. Mari kita gambarkan segitiga sesuai cerita di atas.
Model tiang bendera dan orang
Dimana: AB = tinggi tiang bendera (8 m) BC = panjang bayangan tiang (15 m) DE = tinggi Pak Dangu (1,6 m) EC = panjang bayangan Pak Dangu (3 m) FG = tinggi Sofyan (1,2 m) GC= panjang bayangan Sofyan Berdasarkan gambar segitiga di atas terdapat tiga segitiga, yaitu β ABC, β DEC, dan β FGC sebagai berikut.
Kesebangunan
Karena β ABC, β DEC, dan β FGC adalah sebangun, maka berlaku: πΉπΊ π·πΈ
πΊπΆ
1,2
π
= πΈπΆ = 1,6 = 3. Diperoleh f = 2,25
Dengan menggunakan Teorema Phytagoras diperoleh nilai FC = g = β6,5025 = 2,55. Berdasarkan kesebangunan β ABC, β DEC, dan β FGC diperoleh perbandingan sebagai berikut. a.
πΉπΊ π·πΈ
π·πΈ
π΄π΅
1,2
1,6
8
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘
= π·πΆ = π΄πΆ = 2,25.= 3,4 = 17 = π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ = 0,47 8
Perbandingan ini disebut sinus sudut C, ditulis sin xΒ° atau sin C = 17 b.
πΊπΆ πΉπΆ
=
πΈπΆ π·πΆ
=
π΅πΆ π΄πΆ
=
2,25
3
2,55
3,4
.=
=
15 17
=
π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ
= 0,88
Perbandingan ini disebut cosinus sudut C, ditulis cos xΒ° atau cos C = c.
πΉπΊ πΊπΆ
=
π·πΈ πΈπΆ
π΄π΅
1,2
= π΅πΆ = 2,25.=
1,6 3
8
15 17
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘
= 15 = π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ = 0,53 8
Perbandingan ini disebut tangen sudut C, ditulis tan xΒ° atau tan C = 15
definisi
1. Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di sisi di depan sudut
depan sudut dengan sisi miring, ditulis sin C = sisi miring segitiga 2. Cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi disamping sudut dengan sisi miring, ditulis cos C =
sisi disamping sudut sisi miring segitiga
3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan C = sisi di depan sudut sisi disamping sudut
4. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai panjang sisi miring dengan
Jika diperhatikan aturan perbandingan di atas, prinsip matematika lain yang perlu diingat kembali adalah teorema Phytagoras. Selain itu, pengenalan akan sisi miring, sisi di samping sudut, dan sisi di depan sudut tentunya dapat mudah diperhatikan. Nah, karena yang telah didefinisikan perbandingan sudut untuk sudut lancip C, silakan Anda rumuskan ke enam jenis perbandingan sudut untuk sudut A.
contoh
Tiang Bendera
Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60Β° dan guru kedua 30Β° maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut?
Memahami dan Merencanakan Pemecahan Masalah Sudut elevasi:
Sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah
pandangan mata pengamat ke arah atas.
Misalkan tempat berdiri tegak tiang bendera, dan kedua guru tersebut adalah titik. Ujung puncak tiang bendera dan kepala kedua guru juga diwakili oleh titik, maka dapat diperoleh gambar diatas sebagai berikut.
Model masalah tiang bendera
Dimana: AC = tinggi tiang bendera DG = tinggi guru pertama EF = tinggi guru kedua DE = jarak kedua guru Penyelesaian: Perhatikan gambar diatas Tinggi tiang bendera yaitu AC = BC + AB. Dari segitiga ABG dan ABF, tentunya kamu dapat menemukan antara tan 60Β° dan tan 30Β° Teruskan kajian tentang penjabaran dan hingga kamu menemukan tinggi tiang bendera. Menentukan nilai tan 60Β° dan tan 30Β° akan dibahas pada sub bab selanjutnya sehingga tinggi tiang bendera ditemukan.
2. Konsep Dasar Sudut
Coba kita pahami deskripsi berikut. Pak Cipto adalah seorang penjaga sekolah. Tinggi pak Cipto adalah 1,6 m. Dia mempunyai seorang anak, namanya Dani. Dani masih kelas II Sekolah Dasar. Tinggi badannya 1,2 m. Dani adalah anak yang baik dan suka bertanya. Dia pernah bertanya kepada ayahnya tentang tinggi tiang bendera di lapangan itu. Dengan senyum, Ayahnya menjawab 8 m. Suatu sore, disaat dia menemani ayahnya membersihkan rumput liar di lapangan, Dani melihat bayangan setiap benda ditanah. Dia mengambil tali meteran dan mengukur panjang bayangan ayahnya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 6,4 m dan 32 m. Tetapi dia tidak dapat mengukur panjang bayangannya sendiri karena bayangannya mengikuti pergerakannya. Jika anda sebagai Dani, dapatkah anda mengukur bayangan anda sendiri? Konsep kesebangunan pada segitiga terdapat pada cerita tersebut. Mari kita gambarkan segitiga sesuai cerita di atas. A Gambar 7.6 Model tiang bendera dan orang D F
B
x0
E
G
C
Dimana: AB
= tinggi tiang bendera (8 m)
BC
= panjang bayangan tiang (32 m)
DE
= tinggi pak Yahya (1,6 m)
EC
= panjang bayangan pak Yahya (6,4 m)
FG
= tinggi Dani (1,2 m)
GC
= panjang bayangan Dani
Berdasarkan gambar segitiga di atas terdapat tiga buah segitiga, yaitu βABC, βDEC, dan βFGC sebagai berikut. A β1088 8
D F
β43,52
1,6
B x0
C
g
1,2 x0
E
32
x0
C G
6,4
C
f
Gambar 7.7 Kesebangunan Karena βABC, βDEC, dan βFGCadalah sebangun maka berlaku πΉπΊ π·πΈ
=
πΊπΆ πΈπΆ
=
1,2 1,6
=
π . 6,4
Diperoleh π = 4,8
Dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh nilai dari FC = g = β2448 . Berdasarkan βABC, βDEC, dan βFGCdiperoleh perbandingan sebagai berikut. a.
πΉπΊ πΉπΆ
=
π·πΈ π·πΆ
=
π΄π΅ π΄πΆ
=
1,2 β24,48
=
1,6 β43,52
=
8 β1088
=
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ
= 0,24
Perbandingan ini disebut dengan sinus sudut C, ditulis sin x0= 0,24 b.
πΊπΆ πΉπΆ
=
πΈπΆ π·πΆ
=
π΅πΆ π΄πΆ
=
4,8 β24,48
=
6,4 β43,52
=
32 β1088
=
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ
= 0,97
Perbandingan ini disebut dengan cosinus sudut C, ditulis cos x0= 0,97 c.
πΉπΊ πΊπΆ
=
π·πΈ πΈπΆ
=
π΄π΅ π΅πΆ
=
1,2 4,8
=
1,6 6,4
=
8 32
=
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ
= 0,25
Perbandingan ini disebut dengan tangen sudut C, ditulis tan x0= 0,25 Dari ketiga segitiga tersebut, terdapat perbandingan yang sama
3. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku
Pada subbab ini, akan dipahami konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bentuk segitiga siku-siku, misalnya, meletakkan posisi sapu. Perhatikan Gambar 7.8 berikut. B
P
J
Gambar 7.8 Posisi Sapu di dinding
Gambar 7.9 Segitiga PBJ
Dari Gambar 7.8, dapat dicermati bahwa dinding dengan lantai saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku dan sapu membentuk sisi miring. Ilustrasinya disajikan pada Gambar 7.7. Dari Gambar 7.7, dapat disebut sisi-sisi segitiga sikusiku berturut-turut, yaitu PB, PJ, dan JB, dan ketiga sudutnya, berturut-turut yaitu, J, B, dan P adalah sudut siku-siku. Sudut yang menjadi perhatian adalah sudut lancip pada segitiga siku-siku tersebut, yaitu β Jdan β B. Adapun hubungan perbandingan antara sudut lancip dan sisi-sisi segitiga siku-siku BPJ di atas.
Definisi 7.5 1.
sinus
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di
depan sudut dengan sisi miring, ditulis sin J =
ππ΅ . π΅π½
2. cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di ππ½
samping sudut dengan sisi miring cosinus J, ditulis cos J = π΅π½. 3. tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di ππ΅ π΅π½
depan sudut dengan sisi di samping sudut, tangen J, ditulis tan J = . 4. cosecan
suatu sudut didefinisikan sebagai panjang sisi miring dengan
sisi di depan sudut, cosecan J, ditulis cosec 5. secan suatu sudut didefinisikan
J=
sebagai
ππ΅ , π΅π½
1
atau cosec J = sin π½.
perbandingan
miringdengan sisi di samping sudut, secan J, ditulis sec J = 6. cotangen
suatu sudut didefinisikan
sebagai
π΅π½ ,atau ππ½
sec J =
perbandingan
samping sudut dengan sisi di depan sudut, cotangen J, ditulis ππ½ , ππ΅
panjang
cotan
sisi
1 . cos π½
sisi
di
J
=
1
atau cotan J = tan π½β².
Jika diperhatikan aturan perbandingan di atas, konsep matematika lain yang perlu diingat kembali adalah teorema Phytagoras. Selain itu, pengenalan akan sisi miring, sisi di samping sudut, dan sisi di depan sudut tentunya dapat mudah diperhatikan. Nah, karena yang telah didefinisikan perbadingan
sudut untuk sudut lancip J, silahkan rumuskan ke enam jenis perbandingan sudut untuk sudut B. Untuk lebih paham dengan konsep di atas, mari kita pelajari contoh-contoh berikut ini
Contoh Soal 7.3 Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di β ABC. Jika Panjang sisi AB = 3 satuan, BC= 4 satuan. Tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. Penyelesaian: Untuk segitiga di samping, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan. Selanjutnya, dengan menggunakan Definisi 7.5. C
Bagian 1, 2, dan 3, maka berlaku: ο·
sin π΄ =
πππππππ π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π΄ πππππππ π ππ π ππππππ
=
4 5
ο·
cos π΄ =
πππππππ π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π΄ πππππππ π ππ π ππππππ
=
ο·
sin π΄ =
πππππππ π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π΄ πππππππ π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π΄
= 3
3 5
A
B
Perlu diketahui, bahwa yang disebut sisi pada suatu segitiga siku-siku tidak selalu miring, tetapi sisi miring selalu dihadapan sudut siku-siku.
Trigonometri pada mulanya merupakan kajian tentang segitiga dan diterapkan sebagai tambahan kepraktisan pada astronomi, survey dan navigasi. Peninggalan berupa tablet dari tanah liat bangsa Babilonia dan batang papyrus dari Bangsa Mesir yang menunjukkan tahun sekitar 1600 SM menunjukkan bukti-bukti pemecahan masalah praktis dengan menggunakan pengukuran segitiga. Ahli Astronomi bangsa Yunani telah berusaha menghilangkan perbandingan ο° di surga ketika mereka sedang menghitung panjang lintasan (orbit) yang dilalui oleh bintang-bintang. Dengan demikian, kajian mereka dalam bidang trigonometri secara praktiknya adalah menggunakan table tali busur perhitungan periode dan orbit. Hiparcus (140 SM) yang dikenal sebagai Bapak Trigonometri telah menulis 12 buku tentang perhitungan dari tali busur yang berkaitan dengan sudut pusat yang dipotong oleh tali busur itu. Sebagai fakta
nyata, ketika mereka berkecimpung dengan masalah-masalah pada ruang dimensi tiga, apa yang mereka bangun biasanya dirujuk sebagai trigonometri bola, ketimbang sebagai trigonometri bidang. Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar). at-Tusi
Di Arab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri berkembang dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi
Gb. 2.1. matematikawan
juga untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika
melakukan ibadah sholat, harus menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan tersebut. Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga sikuοsiku.
1. Konsep Dasar Sudut Perhatikan segitiga dibawah ini!
A
D F
B
E
G
C
Perhatikan β³ π΄π΅πΆ,β³ π·πΈπΆ, dan β³ πΉπΊπΆ. Ketiga segitiga tersebut adalah segitiga yang kongruen. Yang berakibat ketiga sudut segitiga tersebut sama (susut-sudut yang bersesuaian). Dari kekongruenan tersebut kita dapat mem[eroleh perbandinag sebagai berikut: a.
π΄π΅ π΄πΆ
π·πΈ
πΉπΊ
= π·πΆ = πΉπΆ =
(π ππ π πππππ) π ππ π ππππππ
Perbandingan tersebut disebut sinus dari sudut C. b.
π΅πΆ π΄πΆ
πΈπΆ
πΊπΆ
= π·πΆ = πΉπΆ =
(π ππ π π ππππππ) π ππ π ππππππ
Perbandingan tersebut disebut cosinus dari sudut C. c.
π΄π΅ π΅πΆ
=
π·πΈ πΈπΆ
πΉπΊ
= πΊπΆ =
(π ππ π πππππ) π ππ π ππππππ
Perbandingan tersebut disebut tangen dari sudut C. Conoh soal: 1) Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas adalah merupakan visualisasi bentuk tangga di suatu rumah. Jika diketahui panjang tangga tesebut adalah 5 meter. Dan sudut yang dibentuk antara tangga dan lantai adalah 45o. maka hitunglah tinggi tangga tersebut! Penyelesaian: π ππ 450 =
π΄πΆ π΅πΆ
β π΄πΆ = π΅πΆ sin 450 1 β π΄πΆ = 5( β2) 2 β π΄πΆ = 2,5 β2 π Jadi tinggi Lantai adalah 2,5 β2 π.
2. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku Gambar di dibawah adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c. A
b
c
ο‘
B
C
a Gb. 2.2. perbandingan trigonometri
Terhadap sudut ο‘:
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut ο‘ Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut ο‘ Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut ο‘ sebagai berikut:
DEFINISI 1. sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di π΄π΅ depan sudut dengan sisi miring, ditulis sin πΌ = π΄πΆ . 2. cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di π΅πΆ samping sudut dengan sisi miring , ditulis πΆππ πΌ = π΄πΆ . 3. tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di π΄π΅ depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan πΌ = π΅πΆ . 4. cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi π΄πΆ miring dengan sisi di depan sudut, ditulis πππ ππ πΌ = π΄π΅. 5. secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring π΅πΆ dengan sisi di samping sudut, ditulis sec πΌ = π΄πΆ . 6. cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi π΅πΆ disamping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis cot πΌ = π΄π΅ .
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
tan ο‘ ο½
sin ο‘ cos ο‘
sec ο‘ ο½
dan
cot ο‘ ο½
cos ο‘ sin ο‘
1 1 dan csc ο‘ ο½ cos ο‘ sin ο‘
Jika kita pahami kembali, maka hal-hal yang dibutuhkan dalam bab ini adalah pemahaman tentang teorema phytagoras dan ketelitian melakukan operasi pembagian dan perkalian dalam menghitung perbandingan tertentu. Contoh soal:
1. Pada gambar di samping segitiga sikuοsiku ABC dengan panjang a ο½ 24 dan c ο½ 25. Tentukan
B a
keenam
perbandingan
trigonometri untuk ο‘.
c
ο‘ A b Gb. 2.3. perbandingan trigonometri C
Penyelesaian: Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras
b ο½ 252 ο 24 2 ο½ 625 ο 576
ο½ 49 ο½ 7 sin ο‘ ο½
a 24 ο½ c 25
csc ο‘ ο½
c 25 ο½ a 24
cos ο‘ ο½
b 7 ο½ c 25
sec ο‘ ο½
c 25 ο½ b 7
tan ο‘ ο½
a 24 ο½ b 7
cot ο‘ ο½
c 7 ο½ a 24
2. Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. jika panjang AB=6 cm, BC = 8 cm. tentukanlah sin A, Cos A, dan tan A! Penyelesaian: Dengan teorema phytagoras kita dapat memperoleh panjang AC yaitu 10 cm. sin π΄ =
π΅πΆ 8 = = 0.8 π΄πΆ 10
cos π΄ =
π΄π΅ 6 = = 0.6 π΄πΆ 10
tan π΄ =
π΅πΆ 8 = = 1.33 π΄π΅ 6
C
A
B
Perlu diketahui bahwa panjang sisi miring selalu lebih besar dari sisi-sisi yang lain pada segitiga siku-siku. Sisi miring selalu dihadapan sudut siku-siku.
3.
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKUSIKU
Masalah 8.1 Pak Dangu ingin membangun rumah idaman yang terdiri dari dua lantai. Untuk menghubungkan lantai 1 dan lantai 2 Pak Dangu menginginkan dibangun satu tangga yang kemiringannya tidak terlalu terjal, dengan sudut yang dibentuk oleh lantai dan tangga adalah 30 Β° . Untuk merancang semua bagian β bagian dari rumah tersebut, Pak Dangu mempercayakannya kepada seorang arsitektur. Dapatkah anda membantu arsitektur tersebut untuk mementukan panjang dan tinggi dari tangga rumah Pak Dangu, jika diketahui panjang lantai yang akan menjadi dasar tangga adalah 5 meter.
C
πΆ B
A
Gambar 1
Gambar 2
Dari Gambar 1, dapat dicermati bahwa dinding dengan lantai saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku dan tangga membentuk sisi miring. Ilustrasinya disajikan pada Gambar 2. Dari Gambar 2, dapat disebut sisi-sisi segitiga siku β siku berturutturut, yaitu AB, BC, dan AC, dan ketiga sudutnya, berturut-turut yaitu: B, C, dan A pada sudut siku-siku. Sudut yang menjadi perhatian adalah sudut lancip pada segitiga siku-siku tersebut, yaitu β B dan β C.
C
Untuk mengetahui definisi perbandingan trigonometri, kita harus pahami terlebih dahulu nama-nama sisi yang terdapat pada
segitiga
siku-siku.
Perhatikan πΆ
segitiga siku-siku padagambar 2. A
B
Gambar 2 Nama β nama segitiga siku β siku sangat tergantung sudut acuan (sudut yang menjadi patokannya). Pada gambar segitiga ABC diatas yang menjadi sudut acuanadalahβ π΄ ππ‘ππ’ β πΌ , sehingga : ο§
Sisi AC disebut sisi depan ( sisi yang menghadap β πΌ )
ο§
Sisi AB disebut sisi samping ( sisi di samping β πΌ )
ο§
Sisi BC disebut sisi miring ( sisi yang menghadap β 900 )
Adapunhubungan antara sudut πΌ dengan perbandingansisi-sisisegitigasiku-siku ABC di atas adalah sebagai berikut:
π ππ π πππππ
π΄πΆ
1
sin πΌ = π ππ π ππππππ = π΅πΆ cos πΌ =
π ππ π π ππππππ π ππ π ππππππ sin πΌ
π΄π΅
= π΅πΆ
π ππ π πππππ
π΅πΆ
πππ ππ πΌ = sin πΌ = π΄πΆ 1
π΅πΆ
1
π΄π΅
sec πΌ = cos πΌ = π΄π΅ π΄πΆ
tan πΌ = cos πΌ = π ππ π π ππππππ = π΄π΅
cot πΌ = tan πΌ =
π΄πΆ
Untuk lebih memahami lebih dalam mengenai sisi β sisi segitiga siku β siku perhatikan
C
kembali segitiga ABC di samping. Pada gambar segitiga ABC tersebut yang menjadi sudut acuan adalah β πΆ atau β π sehingga :
π½ A
ο§ Sisi AC disebut sisi samping ( sisi di sampingβ π ) ο§ Sisi AB disebut sisi depan ( sisi yang menghadap β π )
B
ο§ Sisi BC disebut sisi miring ( sisi yang menghadap β 900 ) Adapunhubungan antara sudut π dengan perbandingansisi-sisisegitigasiku-siku ABC di atas adalah sebagai berikut:
π ππ π πππππ
π΄π΅
1
sin π = π ππ π ππππππ = π΅πΆ cos π =
π ππ π π ππππππ π ππ π ππππππ sin π
π΅πΆ
πππ ππ π = sin π = π΄π΅
π΄πΆ
= π΅πΆ
1
π΅πΆ
1
π΄πΆ
sec π = cos π = π΄πΆ
π ππ π πππππ
tan π = cos π = π ππ π π ππππππ =
π΄π΅ π΄πΆ
cot π = tan π = π΄π΅
Perlu Diingat a) sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sisi depan
sudut dengan sisi miring, ditulis sin ΞΈ = sisi miring b) cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping
sudut dengan sisi miring, ditulis cos ΞΈ =
sisi samping sisi miring
c) tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sisi depan
sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan ΞΈ = sisi samping d) cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai panjang sisi miring dengan sisi didepan sudut, ditulis cosec ΞΈ =
sisi miring
atau cosec ΞΈ = sisi depan
1 sin ΞΈ
e) secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan sisi disamping sudut, ditulis sec ΞΈ =
sisi miring sisi samping
ata sec ΞΈ =
1 cos ΞΈ
f) cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis cot ΞΈ =
sisi samping sisi depan
atau cot ΞΈ =
1 tan ΞΈ
BERLATIH SOAL YUUUKβ¦!!!
Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di β ABC. Jika Panjang sisi AB = 5 satuan, BC= 12 satuan. Tentukanlah sin A, cos A, dan tan A.
PENYELESAIAN
Untuk segitiga di samping, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC= 13 C satuan. 12
β’ sin A =
ππππππππ ππ πππππππππ π’ππ’π‘π΄
β’ cos A =
ππππππππ ππ ππππ πππππππ π’ππ’π‘π΄
β’ tan A =
ππππππππ ππ πππππππππ π’ππ’π‘π΄
ππππππππ ππ πππππππ
=
ππππππππ ππ πππππππ
ππππππππππ πππππππ π’ππ’π‘
=
13 5
= 13
12 5
B
A
CONTOH 2 Perhatikan segitiga siku-siku KLM di samping ini. 8
Diketahui tan M= 15tentukanlah sin M dan cos M!
M
PENYELESAIAN Jika pada contoh 1 diketahui panjang sisi datar dan sisi tegak segitiga, untuk menentukan perbandingan trigonometri yang diinginkan bukanlah persoalanmudah. Namun, pada contoh ini, hanya satu sisi yang diketahui panjang sisinya, yaitu sisi KL. 8
Untuk menjawab contoh ini, kita mulai dari tan M=15. Maka : tan M=
ππππππππ ππ πππππππππ π’ππ’π‘πΎπΏ ππππππππ ππ ππππ πππππππΏπ
=
8 15
Jadi, panjang sisi KL= 8, dan LM=15. Sekarang, sudah dapat ditentukan panjang sisi KM, tentunya dengan Teorema
Phytagoras, dengan mudah diperoleh KM= 17. Nah, untuk menentukan nilai sin Mdan cos Ktentunya sudah mudah. ο§ sin π = ο§ cos πΎ =
ππππππππ ππ πππππππππ π’ππ’π‘ ππππππππ ππ πππππππ
=
ππππππππ ππ ππππ πππππππ π’ππ’π‘ ππππππππ ππ πππππππ
πΎπΏ πΏπ
=
= πΏπ
8 17
= πΎπ
15 17
Dari kedua contoh di atas, dapat dipelajari berbagai kombinasi persoalan mengenai nilai perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku.
C. Perbandingan Trigonometri pada segitiga siku-siku
Sebuah tangga panjangnya 4 meter bersandar pada sebuah dinding vertikal.Titik puncak tangga yang menempel di dinding berada pada ketinggian 3 meter dari permukaan tanah.
Dapat dicermati bahwa dinding dengan lantai
B
saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku dan sapu membentuk sisi miring.Ilustrasinya disajikan pada Gambar di samping. Dari di samping, dapat disebut sisi-sisi segitiga sikusiku berturut-turut, yaitu ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ π΅π, ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ ππ½, ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€. Sedangkan ketiga sudutnya, berturut-turut dan π½π΅ J
P
yaituβ J, β B, dan β Padalah sudut siku-siku.
Adakah hubungan perbandingan antara sudut lancip J dan B dengan sisi-sisi segitiga siku-siku BPJ?
Definisi
Jika terdapat segitiga siku-siku BPJ, siku-siku di P maka yang dimaksud sisi miring segitiga merupakan sisi yang terpanjang / sisi yang tidak membentuk sudut siku-siku/ sisi di depan ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€) : sudut siku-siku (π΅π½ 1. Sinus
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
dengan panjang sisi miring, ditulis sin π½ = πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ =
ππ΅ π΅π½
2. Cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
ππ½
dengan panjang sisi miring, ditulis cos π½ = πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ = π΅π½ 3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
dengan panjang sisi di samping suut, ditulis tan π½ = πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘ =
ππ΅ ππ½
4. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan panjang sisi di depan sudut, ditulis cosec π½ =
πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
π΅π½
1
= ππ΅ = sin π½
5. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan
Catatan ο·
Istilah lain bagi perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri
ο·
Hipotenusa sering disebut dengan sisi miring.
ο·
Dalam beberapa buku, tangen dan kotangen seringkali disingkat tgdan ctg, sedangkan kosekan disingkat sebagai csc.
Berdasarkan definisi di atas, jika terdapat suatu sudut lancip berukuran Ξ±, dapat diturunkan hubungan-hubungan matematika yang disebut sebagai rumus kebalikan dan rumus perbandingan sebagai berikut :
Rumus Kebalikan
d. sin πΌ = e. cos πΌ = f. tan πΌ =
1 πππ ππ πΌ 1 π ππ πΌ 1 πππ‘ πΌ
d. cosec πΌ = e. sec πΌ = f. πππ‘ πΌ =
1 π ππ πΌ
1 πππ πΌ 1 π‘ππ πΌ
Rumus Perbandingan
b. tan πΌ =
sin πΌ
b. cot πΌ =
πππ πΌ
cos πΌ π ππ πΌ
CONTOH: 2
Diketahui sin πΌ = 3, dan πΌ adalah sudut lancip (0 < πΌ < 90). Carilah nilai pebandingan trigonometri sudut πΌ yang lain. Penyelesaian : Langkah 1 π΅
Gambarlah segitiga siku-siku ABC sehingga nilai
π=3
π=2
2
perbandingan trigonometri sin πΌ = 3 (perhatikan gambar). πΌ
πΆ
π
π΄
Langkah 2 Hitunglah panjang sisi b dengan menggunakan teorema phytagoras : π 2 = π2 + π 2 ο³π 2 = π 2 β π2 ο³π 2 = 32 β 22 ο³π 2 = 9 β 4 ο³π 2 = 5 ο³π = β5 Langkah 3 Mencari nilai pebandingan trigonometri sudut πΌ yang lain.
cos πΌ =
π β5 = π 3
tan πΌ =
π 2 2 = = β5 π β5 5
cot πΌ =
π β5 = π 2
cosec πΌ = sec πΌ =
π β5 = π 2
π 3 3 = = β5 π β5 5
Ayo Berlatih
3. Dari setiap pasangan perbandingan trigonometri berikut ini, mana yang lebih besar? b. Tan 35 dan cot 35 b. Sin 70 dan cos 70 Petunjuk : buatlah gambar segitiga siku-siku dengan besar sudut sesuai dengan sudut-sudut yang diketahui. 1
4. Diketahui tan πΌ = π₯ (xπ β dan x β 0, πΌ merupakan sudut lancip).
Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut πΌ yang lain (nyatakan hasilnya dalam x)
Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku
Amati gambar berikut!
Perhatikan gambar rumah adat suku dayak di atas, para arsitekturnya telah menerapkan kesetimbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan. Rumah adat tersebut dapat berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antara besar sudut yang dikaitkan dengan panjang sisi-sisinya. Apakah para arsitektur tersebut juga mempelajari trigonometri? Pada sub bab ini, kita akan mempelajari mengenai konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai bentuk segitiga siku-siku, misalnya tangga yang berada dirumah, seperti gambar di samping berikut:
Pak Somat adalah seorang penjanga sekolah. Tinggi pak Somat adalah 1,6 m. dia mempunyai seorang anak bernama Adit. Adit masih kelas II SD. Tinggi badanya 1,2 m. Adit adalah anak yang baik dan suka bertanya. Dia pernah bertanya kepada ayahnya tentang tinggi tiang bendera di lapangan sekolah dimana ayahnya bekerja. Kemudian ayahnya menjawab tingginya 8m. Suatu sore ketika ia menemani ayahnya membersihkan rumput liar yang tumbuh di halaman sekolah, Adit melihat bayangan setiap benda ditanah. Kemudian dia mengambil tali meteran milik ayahnya dan mengukur panjang bayangan ayahnya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 3 m dan 15 m. Tetapi dia tidak dapat mengukur panjang bayangannya sendiri karena bayangannya mengikuti pergerakannya. Jika kamu sebagai Adit, dapatkah kamu mengukur bayangan kamu sendiri?
Ayo menalar!
Konsep kesebangunan pada segitiga ada dalam cerita di atas, mari kita gambarkan segitiga sesuai dengan cerita diatas. Dimana: A AB = tinggi tiang bendera (8 m)
D
BC = panjang bayangan tiang (15 m)
F
B
Xo
G E Gambar.model tiang bendera dan orang
DE = tinggi Pak Somat (1.6 m) C
EC = panjang bayangan Pak Somat (3 m)
FG = tinggi Adit (1.2 m) GC = panjang bayangan Adit
Berdasarkan gambar segitiga di atas terdapat tiga segitiga, yaitu βπ΄π΅πΆ, βπ·πΈπΆ, dan βπΉπΊπΆ sebagai berikut. A 17
8
D 1.6
xo
B
C E
15
F
3.4
3
1.2
xo C G
g
f
xo
C
Karena βπ΄π΅πΆ, βπ·πΈπΆ, dan βπΉπΊπΆ adalah sebangun maka, berlaku: πΉπΊ π·πΈ
πΊπΆ
1.2
π
= πΈπΆ = 1.6 = 3 diperoleh f=2.25.
Dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh nilai πΉπΆ = π = β6.5025 = 2.55.
Dapat disimpulkan:
Berdasarkan kesebangunan βπ΄π΅πΆ, βπ·πΈπΆ, dan βπΉπΊπΆ diperoleh perbandingan sebagai berikut: a.
πΉπΊ πΉπΆ
π·πΈ
π΄π΅
1.2
1.6
8
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘
= π·πΆ = π΄πΆ = 2.55 = 3.4 = 17 = π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ = 0.47. 8
Perbandingan ini disebut sinus sudut C, ditulis sin xo atau sin C = 17.
b.
πΊπΆ πΉπΆ
πΈπΆ
π΅πΆ
2.25
3
15
= π·πΆ = π΄πΆ = 2.55 = 3.4 = 17 =
π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ
= 0.88. 15
Perbandingan ini disebut cosinus sudut C, ditulis cos xo atau cos C = 17. c.
πΉπΊ πΊπΆ
=
π·πΈ πΈπΆ
π΄π΅
1.2
= π΅πΆ = 2.25 =
1.6 3
8
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘
= 15 = π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ = 0.53 8
Perbandingan ini disebut tangen sudut C, ditulis tan xo atau tan C = 15. Definisi
J ika diper hatik an 1. Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi atura B C n di depan sudut dengan panjang sisi miringnya, ditulis sin πΆ = π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ perb . π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ andi 2. Cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbanding panjang sisi ngan disamping sudut dengan sisi miringnya, ditulis cos πΆ = di π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ . atas, π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ prins 3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang ip sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan πΆ = mate π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ . mati π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ ka 4. Cosecant suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang lain sisi miring dengan panjang sudut di depan sudut, ditulis cosec πΆ = π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ 1 yang atau cosec πΆ = sin πΆ. π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ perlu 5. Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi diing at miring dengan panjang sisi di samping sudut, ditulis sec πΆ = π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ 1 kem atau sec πΆ = cos πΆ. π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ bali 6. Cotangent suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang adal do samping sudut dengan panjang sisi di depan sudut, ditulis ah π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ 1 cot πΆ = π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ atau cot πΆ = tan πΆ . teore ma Phytagoras. Selain itu, pengenalan akan sisi miring, sisi di samping sudut, dan sisi di depan sudut tentunya dapat dengan mudah diperhatikan. Karena yang telah didefinisikan diatas merupakan perbandingan sudut untuk sudut lancip C, maka silahkan rumuskan ke enam jenis perbandingan sudut seperti pada definisi di atas untuk sudut A. A
Cermati contoh berikut! Contoh
Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan siku-siku di B. jika panjang sisi AB adalah 10 satuan, BC adalah 24 satuan, tentukan sin A, cos C, dan tan A! Penyelesaian: Untuk segitiga di bawah ini, dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC adalah 26 satuan. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi di atas, maka di dapatkan: sin π΄ =
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π΄ 24 = π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ 26
cos π΄ =
π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ πΆ 24 = π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ 26
tan π΄ =
π ππ π ππ πππππ π π’ππ’π‘ π΄ 24 = π ππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ 10
Cermati masalah! C Masalah!
Dua orang guru dengan tinggi badan sama yaitu 170cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10m di depan guru 24 satuan kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60o dan guru kedua 30o maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut? A
Ayo menalar!
10 satuan
B
Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat kea rah atas. Misalkan tempat berdiri tegak tiang bendera, dan kedua guru tersebut adalah titik. Ujung puncak tiang bendera dan kepala kedua guru juga diwakili oleh titik, maka dapat diperoleh ilustrasi sebagi berikut: A
Dimana: AC = tinggi tiang bendera DG = tinggi guru pertama 60o G
B
Penyelesaian: C
D
30o
F 1.7 m E
10 m
EF = tinggi guru kedua DE = jarak kedua guru
Berdasarkan definisi tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku pada bagian sebelumnya, maka kita mendapatkan perbandingan dari permasalahan di atas, sebagai berikut: π΄π΅
π΄π΅
tan 60π = π΅πΊ βΊ π΅πΊ = tan 60π . tan 30π =
π΄π΅ π΄π΅ = β π΄π΅ = (10 + π΅πΊ). tan 30π π΅πΉ 10 + π΅πΊ
β π΄π΅ = (10 +
π΄π΅ ) . tan 30π tan 60π
β π΄π΅. (tan 60π ) = (π΄π΅ + 10. (tan 60π )). (tan 30π ) β π΄π΅. (tan 60π ) = π΄π΅. (tan 30π ) + 10. (tan 60π ) . (tan 30π ) β π΄π΅. [(tan 60π ) β (tan 30π )] = 10. (tan 60π ). (tan 30π ) 10. (tan 60π ) . (tan 30π ) β π΄π΅ = . [(tan 60π ) β (tan 30π )] Jadi, tinggi tiang bendera adalah: AC = AB + BC atau π΄πΆ =
10.(tan 60π ).(tan 30π ) [(tan 60π )β(tan 30π )]
Contoh
Perhatikan segitiga siku-siku KLM di bawah ini: L
+ 1.7
16
Diketahui tan π = 30 Tantukan sin M dan cos M!
Alternative penyelesaian: 16
Kita mulai dari tan π = 30, artinya menurut definisi adalah: πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘ π πΎπΏ 16 = = πππππππ π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π πΏπ 30
tan π =
Jadi, panjang sisi KL = 16, dan LM = 30. Dengan menggunakan Teorema Phytagoras, diperoleh KM = 34, untuk menentukan nilai sin M dan cos M, menurut definisi diperoleh: sin π =
πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘ π πΎπΏ 16 = = . πππππππ π ππ π ππππππ πΎπ 34
tan π =
πππππππ π ππ π ππ π ππππππ π π’ππ’π‘ π πΏπ 30 = = . πππππππ π ππ π ππππππ πΎπ 34
Note: Perlu diketahui bahwa yang disebut sisi pada suatu segitiga siku-siku tidak selau miring, tetapi sisi miring selalu di hadapan sudut siku-siku.
Ayo Menalar Bacalah cerita di bawah ini! Pak Yahya adalah seorang penjaga sekolah. Tinggi pak Yahya adalah 1,6 m. Dia mempunyai seorang anak, namanya Dani. Dani masih kelas II Sekolah Dasar. Tinggi badannya 1,2 m. Dani adalah anak yang baik dan suka bertanya. Dia pernah bertanya kepada ayahnya tentang tinggi tiang bendera di lapangan itu. Dengan senyum, Ayahnya menjawab 8 m. Suatu sore, disaat dia menemani ayahnya membersihkan rumput liar di lapangan, Dani melihat bayangan setiap benda ditanah. Dia mengambil tali meteran dan mengukur panjang bayangan ayahnya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 6,4 m dan 32 m. Tetapi dia tidak dapat mengukur panjang bayangannya sendiri karena bayangannya mengikuti pergerakannya. Jika anda sebagai Dani, dapatkah anda mengukur bayangan anda sendiri?
Konsep kesebangunan pada segitiga terdapat pada cerita tersebut. Mari kita gambarkan segitiga sesuai cerita di atas.
Berdasarkan gambar segitiga di atas terdapat tiga buah segitiga, yaitu βABC, βDEC, dan βFGC sebagai berikut.
Ayo Mencoba! Selesaikan permasalahan di bawah ini!
Memahami dan Merencanakan Pemecahan Masalah Misalkan tempat berdiri tegak tiang bendera, dan kedua guru tersebut adalah titik. Ujung puncak tiang bendera dan kepala kedua guru juga diwakili oleh titik, maka dapat diperoleh sebagai berikut.
A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Pada subbab ini, akan dipahami konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku.
Y P(x,y)
y
Keterangan: - X disebut absis - Y ordinat - r disebut jari-jari - sudut ο‘ positif diukur dari sumbu X berlawanan arah putaran jarum jam.
r X x
-
r ο½ x2 ο« y2
Definisi :
sinο‘ ο½
y r
cos ecο‘ ο½
r y
y x
cosο‘ ο½
x r
tgο‘ ο½
secο‘ ο½
r x
ctgο‘ ο½
x y
Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena x ο£ r dan y ο£ r maka berlaku ο 1 ο£ cosο‘ ο£ 1 dan ο 1 ο£ sin ο‘ ο£ 1. Khusus untuk tgο‘ dan ctgο‘ dapat bernilai setiap harga positif dan negatif. Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :
Hipotenusa (sisi miring)
ο‘ sisi di samping sudut
sisi di depan sudut
Jadi :
samping depan depan tg cos sin ο‘ο½ ο‘ο½ ο‘ο½ samping miring miring 1 cos ec ο‘ο½ cos ο‘
1 sec ο‘ο½ sin ο‘
ctg ο‘ο½
1 tgο‘
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bentuk segitiga siku-siku, misalnya, meletakkan posisi sapu. Perhatikan Gambar berikut.
Gambar 1
Gambar 2
Dari Gambar 1, dapat dicermati bahwa dinding dengan lantai saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku dan sapu membentuk sisi miring. Ilustrasinya disajikan pada Gambar 2. Dari Gambar 2, dapat disebut sisi-sisi segitiga siku-siku berturutturut, yaitu PB, PJ, dan JB, dan ketiga sudutnya, berturut-turut yaitu, J, B, dan P adalah sudut siku-siku.
Sudut yang menjadi perhatian adalah sudut lancip pada segitiga siku-siku tersebut, yaitu β J dan β B. Adapun hubungan perbandingan antara sudut lancip dan sisi-sisi segitiga siku-siku BPJ di atas.
Jika diperhatikan aturan perbandingan di atas, konsep matematika lain yang perlu diingat kembali adalah teorema Phytagoras. Selain itu, pengenalan akan sisi miring, sisi di samping sudut, dan sisi di depan sudut tentunya dapat mudah diperhatikan. Nah, karena yang telah didefinisikan perbadingan sudut untuk sudut lancip J, silahkan rumuskan ke enam jenis perbandingan sudut untuk sudut B. Untuk lebih paham dengan konsep di atas, mari kita pelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh 1:
Contoh 2:
Ayo Mencoba! Kerjakan soal di bawah ini! Latihan 1: Tentukan nilai sin ο‘ , cos ο‘ dan tgο‘ dari gambar berikut : a. b. c
p
q b
ο‘
ο’
a r
Jawab
:
... ... ... b. sin ο’ ο½ ...
a. sin ο‘ ο½
Latihan 2: Diketahui tgο‘ ο½
... ... ... cos ο’ ο½ ... cos ο‘ ο½
... ... ... tgο’ ο½ ...
tgο‘ ο½
4 . Tentukan sin ο‘ dan cos ο‘ ! 3
Jawab
sin ο‘ =
: ... ο½ .... ...
tgο‘ ο½
4 ... = ο r ο½ .... 3 ... ... cos ο‘ = ο½ .... ...
Ayo Pehatikan Sebuah tangga panjangnya 4 meter bersandar pada sebuah dinding vertikal. Titik puncak tangga yang menempel di dinding berada pada ketinggian 3 meter dari permukaan tanah. Ayo Analisis Dapat dicermati bahwa dinding dengan lantai
B
saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku dan sapu membentuk sisi miring. Ilustrasinya disajikan pada Gambar di samping. Dari di samping, dapat disebut ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€, ππ½ ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€, sisi-sisi segitiga sikusiku berturut-turut, yaitu π΅π dan ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€ π½π΅. Sedangkan ketiga sudutnya, berturut-turut
P
J
yaitu β J, β B, dan β P adalah sudut siku-siku.
Adakah hubungan perbandingan antara sudut lancip J dan B dengan sisi-sisi segitiga siku-siku BPJ?
Definisi Jika terdapat segitiga siku-siku BPJ, siku-siku di P maka yang dimaksud sisi miring segitiga merupakan sisi yang terpanjang / sisi yang tidak membentuk sudut siku-siku/ sisi di depan ΰ΄€ΰ΄€ΰ΄€) : sudut siku-siku (π΅π½
7. Sinus
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
dengan panjang sisi miring, ditulis sin π½ = πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ =
ππ΅ π΅π½
8. Cosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
ππ½
dengan panjang sisi miring, ditulis cos π½ = πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ = π΅π½ 9. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
dengan panjang sisi di samping suut, ditulis tan π½ = πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘ =
ππ΅ ππ½
10. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan panjang sisi di depan sudut, ditulis cosec π½ =
πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
π΅π½
1
= ππ΅ = sin π½
11. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring dengan
panjang sisi di samping sudut, ditulis cosec π½ =
πππππππ π ππ π ππππππ π ππππ‘πππ
πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘
π΅π½
1
= ππ½ = cos π½
12. Cotangen samping tan π½ =
suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di sudut dengan panjang sisi di depan sudut, ditulis
πππππππ π ππ π π ππππππ π π’ππ’π‘ πππππππ π ππ π πππππ π π’ππ’π‘
ππ½
1
= ππ΅ = tan π½
Catatan ο·
Istilah lain bagi perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri
ο·
Hipotenusa sering disebut dengan sisi miring.
ο·
Dalam beberapa buku, tangen dan kotangen seringkali disingkat tg dan ctg, sedangkan kosekan disingkat sebagai csc.
Berdasarkan definisi di atas, jika terdapat suatu sudut lancip berukuran Ξ±, dapat diturunkan hubungan-hubungan matematika yang disebut sebagai rumus kebalikan dan rumus perbandingan sebagai berikut :
Rumus Kebalikan
g. sin πΌ = h. cos πΌ = i. tan πΌ =
1 πππ ππ πΌ
1 π ππ πΌ 1 πππ‘ πΌ
d. cosec πΌ = e. sec πΌ = f. πππ‘ πΌ =
1 π ππ πΌ
1 πππ πΌ 1 π‘ππ πΌ
Rumus Perbandingan
c. tan πΌ =
sin πΌ πππ πΌ
b. cot πΌ =
cos πΌ π ππ πΌ
Contoh 2
Diketahui sin πΌ = 3, dan πΌ adalah sudut lancip (0 < πΌ < 90). Carilah nilai pebandingan trigonometri sudut πΌ yang lain.
Penyelesaian : Langkah 1 π΅
Gambarlah segitiga siku-siku ABC sehingga nilai π=3
π=2
2
perbandingan trigonometri sin πΌ = 3 (perhatikan gambar). πΌ
πΆ
π΄
π
Langkah 2 Hitunglah panjang sisi b dengan menggunakan teorema phytagoras : π 2 = π2 + π 2 ο³ π 2 = π 2 β π2 ο³ π 2 = 32 β 22 ο³ π2 = 9 β 4 ο³ π2 = 5 ο³ π = β5 Langkah 3 Mencari nilai pebandingan trigonometri sudut πΌ yang lain. cos πΌ =
π π
=
π
tan πΌ = π = π
cot πΌ = π =
β5 3 2 β5 β5 2
2
= 5 β5
π
cosec πΌ = π = π
3
β5 2 3
sec πΌ = π = Ayo=Berlatih β5 5 β5
5. Dari setiap pasangan perbandingan trigonometri berikut ini, mana yang lebih besar? c. Tan 35 dan cot 35 b. Sin 70 dan cos 70 Petunjuk : buatlah gambar segitiga siku-siku dengan besar sudut sesuai dengan sudut-sudut yang diketahui. 1
6. Diketahui tan πΌ = π₯ (x π β dan x β 0, πΌ merupakan sudut lancip). Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut πΌ yang lain (nyatakan hasilnya dalam x)