![Persamaan Cauchy DLM Bentuk Polar [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/persamaan-cauchy-dlm-bentuk-polar.jpg)
5 0 251 KB
Syarat Cauchy-Riemann pada koordinat polar ( ) ( ) dapat diilustrasikan dalam koordinat cartesius maka dengan Jika ( ) menggunakan hubungan dan diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga ( ) ( ) dalam koordinat polar. Gunakan aturan rantai sehingga diperoleh
Karena
Untuk
maka,
dan
maka
kita gunakan aturan yang sama pada
Karena
maka,
sehingga diperoleh
sehingga diperoleh
dan
maka
sehingga
diperoleh ( Untuk
dan
)
gunakan aturan yang sama dengan di atas, maka diperoleh
Didapatkan empat persamaan untuk persamaan tersebut
,
dan
. Akan dicari hubungan antara keempat
karena dari persamaan CR sebelumnya diketahui bahwa dan Sehingga persamaan di atas dapat ditulis ( Karena
maka diperoleh
)
( Karena
)
dengan menggunakan
maka diperoleh
dan
sehingga didapatkan
Pers. Cauchy-Riemann dalam bentuk polar
Kemudian akan dicari perumusan turunan suatu fungsi kompleks dalam bentuk koordinat polar ( ) ( ) Akan dicari nilai
dan
Diketahui dari persamaan sebelumnya
(
)
Dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut (
)
Sehingga diperoleh |
|
|
|
|
|
(
)(
)
Diketahui dari persamaan sebelumnya
(
)
Dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut (
)
(
)( )
Sehingga diperoleh |
|
|
|
|
|
Maka ( ) (
)
(
)
Contoh : Diketahui ( )
, tentukan
( )
Jawab: Kita dapat menggunakan persamaan koordinat polar untuk menentukan (
maka Telah kita ketahui bahwa (
)
(
( ). Diketahui
)
, maka )
(
(
)
)
Maka diperoleh (
(
)
(
)) …(*)
(
)
(
)
Telah diketahui dari pembuktian sebelumnya bahwa ( ) (
Dari persamaan (*) diketahui bahwa
) dan
(
)
Maka diperoleh (
)
(
)
(
)
(
) jadi ( )
Keempat fungsi ini kontinu dan syarat CR dipenuhi untuk . Dengan demikian
terdiferensial
( )
( (
)
( )(
(
)(
) (
( (
)
(
)
(
)
(
(
))
))
)
)
Soal –soal 1.
Tuliskan fungsi ( )
ke dalam bentuk ( )
(
)
(
). Lalu
tentukan ( )? 2. Selidiki apakah fungsi berikut diferensiable di titik yang diberikan! Bila iya, hitung nilai turunannya. ( ) a. , ( ) b. , 3.
Tentukan turunan dari ( ) a. ⁄ ( b. c.
( ) ( )
√
⁄
( (
); ); )
(
)(
)
