6a - Bentuk Polar Dan Eksponensial [PDF]

Citation preview

MATERI-KULIAH-2 I. Bilangan kompleks (Prof. Drs. Zul Amry, M.Si., Ph.D)



Materi kuliah ● Harga mutlak bilangan kompleks ● Tempat kedudukan di bidang kompleks ● Bantuk polar dan bentuk eksponensial bilangan kompleks Kompetensi, mahasiswa mampu: ● Menentukan harga mutlak dari suatu bilangan kompleks ● Merubah bilangan kompleks dari dalam koordinat cartesius ke koordinat polar dan sebaliknya. ● Menentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks



4. Harga mutlak (modulus) bilangan kompleks Definisi 1.6 Jika z = x + yi bilangan kompleks, maka modulus dari Contoh 1) z = 3 + 4i



→ z = 32 + 4 2 = 5



2) z = 1 − 2i



→



3)



ditulis z dan didefinisikan sebagai z = x2 + y 2



z



z = 12 + (− 2 )2 = 5



w = e x cos y + i e x sin y → w =



(e



x



cos y



) + (e 2



x



sin y



)



2



=ex



Teorema 1.3 Jika z , z 1 dan z 2 bilangan kompleks, maka: 1) z 2 = (Re (z ))2 + (Im (z ))2 2) 3) 4) 5) 6) 7)



z



2



=zz



z =z Re (z )  Re (z )  z



Im (z ) Im (z )  z z1 z 2 = z1 z 2 z1 z1 = , z2  0 z2 z2



8) z 1 + z 2  z 1 + z 2 9) z 1 − z 2  z 1 − z 2 5. Tempat kedudukan titik bidang kompleks Persamaan atau persamaan dapat digunakan untuk menyatakan himpunan titik-titik di bidang kompleks. Contoh Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi z − 2i =3 z − 2i = 3







(x + yi) − 2i = 3 x + ( y − 2) i = 3







x 2 + ( y − 2 )2 = 3



→



 x 2 + ( y − 2 )2 = 9







lingkaran berpusat di (0 , 2) dengan jari-jari 3 1



6. Bentuk polar dan bentuk eksponen bilangan kompleks Dalam koordinat polar, bilangan komlpleks z = (x , y ) dinyatakan dalam r dan  ; z = (r ,  ) ,yaitu: z = r (cos  + i sin ) y dimana r = x 2 + y 2 dan  = tan −1   . x



Dengan menggunakan rumus Euler



e i  = cos z + i sin 



, bilangan kompleks z dapat dinyatakan sebagai 



z = r e i



Definisi 1.7 Pada bilangan kompleks z = r (cos  + i sin ) , sudut  disebut argument dari z , ditulis  = arg z . Untuk −     disebut argument utama, ditulis  = Arg z



Definisi 1.8 Dua bilangan kompleks z1 = r1 (cos  1 + i sin 1 ) dan z 2 = r2 (cos  2 + i sin 2 ) dikatakan sama, yaitu z1 = z 2 , jika r1 = r2 dan  1 =  2 .



Contoh Nyatakan bilangan kompleks



z = 1+ i



z = 1 + i → r = 12 + 12 = 2



dalam bentuk polar dan eksponen.



1 ,  = tan −1  = 1



tan



−1



1=



 4



    z = 2  cos + i sin  4 4  i



z = 2e



4



Soal-soal latihan 1) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan kompleks z = c i s  , berlaku: z n + z − n = 2 cos n  . 2) Buktikan: jika 𝑧 = 𝑧̄ maka 𝑧 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 3) Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks dari persamaan/pertidaksamaan berikut dan buat sketsa grafiknya. a) z − 3i = 2 b) z − 5  6 c) Re (z + 2) − 1 3) Nyatakan dalam bentuk polar dan dalam bentuk eksponensial. a) z = 2 − 2 i b) z = 3 i ξξξ



2