6 0 299 KB
MATERI-KULIAH-2 I. Bilangan kompleks (Prof. Drs. Zul Amry, M.Si., Ph.D)
Materi kuliah ● Harga mutlak bilangan kompleks ● Tempat kedudukan di bidang kompleks ● Bantuk polar dan bentuk eksponensial bilangan kompleks Kompetensi, mahasiswa mampu: ● Menentukan harga mutlak dari suatu bilangan kompleks ● Merubah bilangan kompleks dari dalam koordinat cartesius ke koordinat polar dan sebaliknya. ● Menentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks
4. Harga mutlak (modulus) bilangan kompleks Definisi 1.6 Jika z = x + yi bilangan kompleks, maka modulus dari Contoh 1) z = 3 + 4i
→ z = 32 + 4 2 = 5
2) z = 1 − 2i
→
3)
ditulis z dan didefinisikan sebagai z = x2 + y 2
z
z = 12 + (− 2 )2 = 5
w = e x cos y + i e x sin y → w =
(e
x
cos y
) + (e 2
x
sin y
)
2
=ex
Teorema 1.3 Jika z , z 1 dan z 2 bilangan kompleks, maka: 1) z 2 = (Re (z ))2 + (Im (z ))2 2) 3) 4) 5) 6) 7)
z
2
=zz
z =z Re (z ) Re (z ) z
Im (z ) Im (z ) z z1 z 2 = z1 z 2 z1 z1 = , z2 0 z2 z2
8) z 1 + z 2 z 1 + z 2 9) z 1 − z 2 z 1 − z 2 5. Tempat kedudukan titik bidang kompleks Persamaan atau persamaan dapat digunakan untuk menyatakan himpunan titik-titik di bidang kompleks. Contoh Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi z − 2i =3 z − 2i = 3
(x + yi) − 2i = 3 x + ( y − 2) i = 3
x 2 + ( y − 2 )2 = 3
→
x 2 + ( y − 2 )2 = 9
lingkaran berpusat di (0 , 2) dengan jari-jari 3 1
6. Bentuk polar dan bentuk eksponen bilangan kompleks Dalam koordinat polar, bilangan komlpleks z = (x , y ) dinyatakan dalam r dan ; z = (r , ) ,yaitu: z = r (cos + i sin ) y dimana r = x 2 + y 2 dan = tan −1 . x
Dengan menggunakan rumus Euler
e i = cos z + i sin
, bilangan kompleks z dapat dinyatakan sebagai
z = r e i
Definisi 1.7 Pada bilangan kompleks z = r (cos + i sin ) , sudut disebut argument dari z , ditulis = arg z . Untuk − disebut argument utama, ditulis = Arg z
Definisi 1.8 Dua bilangan kompleks z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) dan z 2 = r2 (cos 2 + i sin 2 ) dikatakan sama, yaitu z1 = z 2 , jika r1 = r2 dan 1 = 2 .
Contoh Nyatakan bilangan kompleks
z = 1+ i
z = 1 + i → r = 12 + 12 = 2
dalam bentuk polar dan eksponen.
1 , = tan −1 = 1
tan
−1
1=
4
z = 2 cos + i sin 4 4 i
z = 2e
4
Soal-soal latihan 1) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan kompleks z = c i s , berlaku: z n + z − n = 2 cos n . 2) Buktikan: jika 𝑧 = 𝑧̄ maka 𝑧 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 3) Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks dari persamaan/pertidaksamaan berikut dan buat sketsa grafiknya. a) z − 3i = 2 b) z − 5 6 c) Re (z + 2) − 1 3) Nyatakan dalam bentuk polar dan dalam bentuk eksponensial. a) z = 2 − 2 i b) z = 3 i ξξξ
2