Persamaan Kuadrat (KD 3.2) [PDF]

Citation preview

BAB II PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERTEMUAN KE – 7 KOMPOTENSI DASAR 3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan Karakteristiknya berdasarkan akar- akarnya serta cara Penyelesaiannya 3.2.1 Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dengan benar, sertamengedepankan perilaku jujur, santun, disiplin, kerja sama, bertanggung-jawab. MATERI PEMBELAJARAN PERSAMAAN KUADRAT Secara umum persamaan kuadrat satu variable adalah persamaan yang pangkat tertingginya dua dan biasanya dituliskan sebagai ax2 + bx + c = 0 dengan a0 dan a,b,cϵ R. Bilangan a,b, c pada persamaan kuadrat di sebut koefisien. Akar-akar atau penyelesaian persamaan dariax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut . Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara yaitu : 1) Memfaktorkan 2) Melengkapi kuadrat sempurna 3) Rumus kuadratik ( rumus abc) Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan



Memfaktorkan persamaan kuadrat x2 + bx + c=0 dimana a=1 menjadi (x+p) (x +q)= 0 atau bisa dituliskan: Untuk memfaktorkan harus mencari bilangan p dan q sedemikian hingga pxq = c dan p+q = b Jadi pemfaktorannya : x2 + bx + c =0 (x+p) (x +q)=0 x+p = 0 atau x +q =0 x =-p atau x =-q Jadi akar-akar persamaan adalah x1 =-p dan x2 = -q Model Persamaan Kuadrat x2 + bx + c=0



NO



Syarat



1



a=1



2



a1 a0



x2 + bx + c=0



3



c=0



x2 + bx =0



Pemfaktoran (x+p) (x +q)= 0 1 (ax  p )( ax  q )  0 a x2 + px+qx + c=0 x(ax + b)



Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 1) x2 + 5x + 6 =0 2) 3x2 + 7x + 4 = 0 Jawaban :



Ketentuan p+q = b pxq=c p+q = b p x q = axc -



Cara 1 : a. x2 + 5x + 6 = 0 ; diperoleh a = 1 ; b = 5 ; c = 6 Cari dua bilangan ( p dan q ) jika di kalikan hasilnya c = 6 dan jika dijumlahkan hasilnya b=5 x2+ 5x + 6 = 0 2 x 3 = 6 dan 2 + 3 = 5 (x + 2) ( x + 3) = 0 ( x + 2 ) = 0 atau ( x + 3) = 0 x=0- 2 x=0-3 x = -2 x = -3 Jadi akar-akar x1 = -2 atau x2= -3 Himpunan Penyelesaian { -2, -3} Cara 1 : b. 3x2 + 7x + 4 = 0 Jawab 3x2 + 7x + 4 = 0 , dengan a ≠ 1 maka di dapat a = 3 , b = 7 c = 4 Cari dua bilangan hasil kalinya axc= 12 dan jumlahnya b = 7 3x2 +7x + 4 =0 3 x 4 = 12 dan 3 + 4 = 7 2 3x +3x + 4x + 4 = 0 (suku tengah diubah) ( 3x2 + 3x)+(4x + 4) = 0 (dikelompokkan) 3x(x +1)+ 4( x + 1)=0 (3x + 4)(x + 1) = 0 3x + 4= 0 atau x + 1 = 0 3x=0-4 x = 0-1 3x = -4 x =-1 x=-4/3 x = -1 Jadi akar-akar x1 = …. atau x2= …. Cara 2 : 1 (3x  3)(3x  4)  0 3x2 +7x + 4 = 3 1 .3( x  1)(3x  4)  0 3  (x +1)(3x +4)=0 x +1 =0 atau 3x + 4 = 0 x = 0-1 atau 3x =0 -4 x = -1 atau 3x =-4 4  x= 3 4  Jadi akar-akar persamaan adalah x =-1 dan x = 3 4  Himpunan penyelesaian { -1 , 3 } TUGAS Menentukan akar PK dengan cara memfaktorkan. 1. Diketahui persamaan berikut a. 2(x2 + 1 = x(x + 3) b. 3x2 = 2x – 4 Pertanyaan : Ubahlah ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai a, b, dan c 2. Tentukan akar persamaan kuadratberikut dengan cara memfaktorkan a. x2 - 7x + 12 = 0 b. 2x2 + 5x – 3 = 0



PERTEMUAN KE – 8 KOMPOTENSI DASAR 3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan Karakteristiknya berdasarkan akar- akarnya serta cara Penyelesaiannya 3.2.2 Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna dengan benarmengedepankan perilaku jujur, santun, disiplin, kerja sama, bertanggung-jawab.



MATERI PEMBELAJARAN PERSAMAAN KUADRAT Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk dapat menentukan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, langkah-langkah nya sbb:  Pastika bahwa koefisien x2 adalah 1. Jika x21, buatlah koefisiennya menjadi 1 dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien dari x2  Pindahkan konstanta ke ruas kanan  Melengkapi kuadrat : menambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah nilai koefisien x  Faktorkan persamaan kuadrat Contoh Dengan melengkapi kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 1) x2 + 5x + 6=0 2) 2x2 + 7x + 3=0 Penyelesaian: 1) x2 + 5x + 6 = 0  x2 +5x = -6 ==agar menjadi kuadrat sempurna kedua ruas harus ditambahkan dengan kuadrat dari setengah koefisien x



Sehingga persamaan menjadi 2



5 5     2 2    x + 5x + = - 6 + 2  2 2 5  5  x    6    2 2 



2



2



5   25   x    6    2  4  2



5  24  25  x   2 4  2



5 1  x   2 4  5 1  x    2 4 



=== samakan penyebut



5 1  x    2 2  5 1 5 1   x   x    2  2 atau  2 2  1 5 1 5 x  x  2 2 atau 2 2  4 6 x x 2 2  atau



 x=2 atau x = - 3 Jadi akar-akar persamaan adalah  x1 = 2 atau x2 = - 3 Himpunan Penyelesaian { 2, -3} 2) 2x2 + 7x + 3=0 Penyelesaian : 2x2 + 7x + 3=0



 Bagi persamaan kuadrat dengan koefisien x2 yaitu 2 2x2 +7x + 3 = 0 Maka diperoleh



7 3 x2 + 2 x + 2 = 0



(Pindahkan konstanta (c ) ke kanan )  Pindahkan Konstanta ke kanan



7 3  x2 + 2 x = 2 1    Kalikan koefisien b dengan  2  , kuadratkan dan tambahkan ke ruas kiri dan kanan



7 3 x  x + 2 = 2 2 2 1 7 1 7 7 2  x   x   3 + 2 2 x2 + 2 x +  2 2  = 2



2



2



7 3 7 7 x  x      2 2  4  ==kedua ruas harus ditambahkan dengan 4  2



kuadrat dari setengah koefisien x 2



7 3 49  x     4 2 16  2



7  24  49  x   4 16 



=== samakan penyebut



2



7 25  x   4  16  7 25  x    4 16  7 5 x  4 4  7 5 7 5 x  atau x   4 4 4 4  5 7 5 7 x  - atau x  -  4 4 4 4 2 12 x atau x  4 4 1 x atau x  - 3 2 



 Jadi akar akar persamaan adalah x1 =



 Himpunan Penyelesaian {



1 2



atau x2 = -3



1 2 , -3 }



TUGAS Petunjuk Kerja : Kerjakan soal berikut Tentukan akar persamaan kuadrat dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat a. x2 - 6x + 8=0 b. 2x2 – x – 3 = 0



PERTEMUAN KE – 9 KOMPETENSI DASAR 3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan Karakteristiknya berdasarkan akar- akarnya serta cara Penyelesaiannya 3.2.3 Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadratik ( rumus abc) 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat 4.2.1 Memecahkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat 4.2.2 Membuat laporan proyek persamaan kuadrat dengan cara membuat 4 bentuk persamaan kuadrat dari benda benda yang ada di ruang kelas dengan cara diukur panjang dan luasnya TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratik (rumus abc) dengan benarmengedepankan perilaku jujur, santun, disiplin, kerja sama, bertanggung-jawab.



MATERI PEMBELAJARAN PERSAMAAN KUADRAT Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadratik (Rumus abc) Persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 diselesaikan denga cara melengkapkan kuadrat sempurna di peroleh rumus kuadratik (rumus abc) adalah



x.1.2 



 b  b 2  4ac 2a



Contoh Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus abc 1) x2 + 8x + 12 = 0 Penyelesaian : 1) x2 + 8x + 12 = 0 === a = 1; b = 8 ; c = 12



x.1.2 



 b  b 2  4ac 2a



x.1.2 



 8  82  4.1.12 2(1)



 8  64  48 2  8  16 x.1.2  2 8 4 x.1.2  2 x.1.2 



8 4 2 4 x.1.  2 x.1. 



8 4 2 atau  12 x.1.  2 x.2 



x1= -2 x2 = - 6 Jadi akar-akar persamaan adalah x1= -2 dan x2 = - 6



TUGAS Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus abc 1) x2 -5x + 6 = 0 2) 2x2 + 7x + 3 = 0



PERTEMUAN KE – 10 KOMPOTENSI DASAR 3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan Karakteristiknya berdasarkan akar- akarnya serta cara Penyelesaiannya 3.2.4 Menentukan nilai diskriminam persamaan kuadrat dan Menyusun persamaan kuadrat TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat menentukan nilai diskriminan dan menyusun persamaan kuadrat dengan benar serta,mengedepankan perilaku jujur, santun, disiplin, kerja sama, bertanggung-jawab.



MATERI PEMBELAJARAN PERSAMAAN KUADRAT Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat 1. Diskriminan Persamaan Kuadrat Nilai diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dirumuskan sebagai berikut : D= b2 – 4ac Dengan menggunakan nilai diskriminan kita dapat menentukan apakah suatu PK memiliki penyelesaian atau tidak. Berdsarkan nilai diskriminannya ada 3 kemungkinan yaitu : a. Jika D < 0, maka Pers. Kuadrat tidak memiliki penyelesaian. b. Jika D = 0, maka Pers. Kuadrat memiliki satu penyelesaian atau akar kembar c. Jika D > 0, maka Pers. Kuadrat memiliki dua penyelesaian atau akar berbeda Contoh: Tentukan nilai diskriminan dan banyaknya akar dari persamaan kuadrat 2x 2 + 4x – 5 = 0 Jawaban: Dari Pers. Kuadrat 2x2 + 4x – 5 = 0 diperoleh nilai a = 2 ; b = 4 dan c = -5 Diskriminan : D = b2 – 4ac = 42 – 4(2)(-5) = 16 + 40 = 56 Jadi nilai diskriminan pers.kuadrat 2x 2 + 4x – 5 = 0 adalah 56 Karena 56 >0 , maka pers. Kuadrat memiliki dua akar kembar berbeda.



2. Menyusun Persamaan Kuadrat Misalkan x1dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Untuk menyusun persamaan kuadrat dari akar-akar tersebut dapat dilakukan dengan salah satu cara :



Perkalian factor, yaitu ( x – x1)( x – x2) = 0 Contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan – 3



Penyelesaian : Akar-akarnya 2 dan – 3 berarti x1 = 2 dan x2 = -3 maka, ( x – x1)( x – x2) = 0 ( x – 2 ) ( x –(-3))=0 (x - 2)( x + 3)= 0 x2+ 3x – 2x – 6 = 0 x2 + x – 6 = 0



TUGAS Petunjuk : Kerjakan secara Mandiri Tugas Mandiri 1: Menentukan nilai diskriminan Tentukan nilai diskriminan dan banyaknya akar dari persamaan kuadrat berikut : 1. x2 – 10x + 25 = 0 2. 2x2 + 3x + 1 = 0 Tugas Mandiri 2 : Menyusun Persamaan Kuadrat Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut : a. 2 dan 3 b. 3 dan -4



PERTEMUAN KE – 11 KD 3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan Karakteristiknya berdasarkan akarakarnya serta cara Penyelesaiannya 3.2.5 Menjelaskan karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya serta cara penyelesaiannya. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat MATERI PEMBELAJARAN PERSAMAAN KUADRAT Aplikasi Persamaan Kuadrat Contoh : Jumlah dua buah bilangan sama dengan 30. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 200, tentukanlah bilangan tersebut. Jawaban :  Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y,  Jumlah dua buah bilangan sama dengan 30makax + y = 30 atau y = 30 – x.  Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 200 maka x.y = 200  Berdasarkan ketentuan dalam soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut. x . y = 200 ⇔ x (30 - x ) = 200 ⇔ 30x – x2 = 200 ⇔ 30x – x2  - 200 = 0 ( masing-masing ruas dikali -1 ) ⇔  x2 – 30x + 200 = 0 ⇔ ( x – 10 )(x – 20 ) = 0 ⇔ x = 10 atau x = 20 Untuk x =10 diperoleh y = 30 – x = 30 – 10 = 20 Untuk x =20 diperoleh y = 30 – x = 30 – 20 = 10 Jadi bilangan yang dimaksud adalah 10 dan 20



TUGAS Jika selisih dua kali kuadrat suatu bilangan dengan tiga kali bilangan itu sama dengan 9 Tentukan bilangan tersebut !(Kerjakan seperti nomor 1 di atas )



TUGAS PROYEK KOMPOTENSI DSAR



4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat 4.2.1 Memecahkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat 4.2.2 Membuat laporan proyek persamaan kuadrat dengan cara membuat 4 bentuk persamaan kuadrat dari benda benda yang ada di ruang kelas dengan cara diukur panjang dan luasnya ( Boleh memberikan tugas proyek lain yang berkaitan dengan Persamaan Kuadrat/Menyesuaikan ) TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat memecahkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan



persamaan kuadrat MATERI PEMBELAJARAN PERSAMAAN KUADRAT Petunjuk : Selesaikanlah soal berikut! Selembar karton berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 3 × 3 cm2 di masing-masing pojoknya. Apabila panjang alas kotak 2 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 cm3. Tentukanlah panjang dan lebar alas kotak tersebut.



Jawab 



Langkah pertama, kita buat sketsa dari kertas karton tersebut seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.



 Misalkan panjang kotak adalah ….. dan lebarnya adalah ….. ,maka kita dapatkan tinggi kotak adalah ….. cm.  panjang kotak 2 cm lebih dari lebarnya, makax = y + 2 atau y = x – 2  volume kotak diketahui 105 cm3, maka kita perolehpanjang × lebar × tinggi = 105



⇔ x .y . 3 = 105 ⇔ ….. = 105 ⇔ …..(……) = 105 ⇔ …… – ….. = 105 ⇔ ….. – ….. = 35 ⇔ ….. – ….. – 35 = 0 ⇔ (…..)(……) = 0 ⇔ x = …. atau x = ….. 



  



Karena panjang alas tidak mungkin negatif, maka kita ambil x =... . Kemudian kita subtitusikan x = ... ke y = x – 2, sehingga diperoleh y = ... – 2 = ... Dengan demikian, panjang alas kotak adalah ... cm dan lebarnya adalah ... cm Berdasarkan langkah-langkah di atas buatlah kotak tanpa tutup yang dimaksud dengan menggunakan kertas jilid.