Power Series Method-1 [PDF]

Citation preview

BAB I. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN DERET KUASA / PANGKAT Metode ini sesuai untuk digunakan menyelesaikan persamaan diferensial linear dengan koefisien variable. Penyelesaian persamaan diferensial yang diperoleh dengan metode ini berbentuk deret pangkat (power series). Metode ini merupakan sesuatu yang penting dalam praktek, karena power series dapat digunakan untuk menghitung nilai numerik, mengkarakterisasi berbagai sifat umum dari suatu penyelesaian PD dan mendapatkan representasi dalam bentuk lain penyelesaian PD. 1. Deret Kuasa / Pangkat (Power Series) Deret pangkat adalah deret tak hingga yang berbentuk: ∞



∑ 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + 𝑎3 (𝑥 − 𝑥0 )3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝑚=0



(1)



Dengan: 𝑥 : variable 𝑥0 : center of series 𝑎𝑚 : koefisien deret pangkat, merupakan bilangan real Dalam kebanyakan pemakaian x0 = 0, dan kita mendapatkan deret pangkat dalam x, ∞



∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝑚=0



(2)



Karakteristik utama dari deret pangkat adalah mengandung sebuah variable dan konvergensinya tergantung pada nilai variable tersebut. karena itu penting untuk mengetahui pada nilai variable berapakah deret pangkat akan konvergen. Perhatikan: 1. Deret pangkat akan konvergen bila x = x0 2. Sembarang jumlahan parsial dari deret diatas adalah polynomial Untuk sembarang deret pangkat yang berbentuk : 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 )1 + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + ∙∙∙∙∙∙∙



Sejumlah bilangan dimana deret pangkat konvergen merupakan suatu interval pada garis bilangan real dengan pusat x0. Teorema: Untuk sembarang deret pangkat dengan bentuk (1), berlaku salah satu dari kondisi berikut. 1. Deret hanya konvergen pada x = x0. 2. Deret konvergen pada semua nilai x 3. Terdapat suatu interval bilangan R sehingga: - deret konvergen ketika x – x0 < R, dan - deret divergen ketika x – x0 > R Sehingga kita mempunyai definisi sebagai berikut: Himpunan pR: deret pangkat konvergen bila x digantikan dengan p, disebut sebagai interval konvergensi dari deret pangkat. R disebut sebagai jari-jari konvergensi. Kasus no 1 mempunyai jari-jari konvergensi 0 dan kasus no 2 mempunyai jari-jari konvergensi . Perhitungan untuk menentukan jari-jari konvergensi: Untuk deret pangkat yang berbentuk ∞



∑ 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + 𝑎3 (𝑥 − 𝑥0 )3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝑚=0



jari-jari konvergensinya ditentukan dengan salah satu dari rumus berikut: 𝑅=



1



(3)



𝑚



lim √|𝑎𝑚 |



𝑚→∞



Atau 𝑅=



1 𝑎 lim | 𝑚+1 | 𝑚→∞ 𝑎𝑚



Contoh: tentukan jari – jari konvergensi dari deret berikut: ∞



∑ 𝑚! 𝑥 𝑚 = 1 + 𝑥 + 2𝑥 2 + 6 𝑥 3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝑚=0



(4)



𝑎𝑚 = 𝑚!;



𝑎𝑚+1 𝑎𝑚



=



(𝑚+1)! 𝑚!



= 𝑚 + 1 → ∞, untuk 𝑚 → ∞ , sehingga deret ini hanya



konvergen pada x = x0. Deret yang seperti ini tidak berguna. ∞



1 = ∑ 𝑥 𝑚 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙ 1−𝑥 𝑚=0



am= 1 untuk semua m, dari persamaan (3) didapat R=1, yaitu deret pangkat konvergen bila x < 1 ∞ 𝑥



𝑒 = ∑ 𝑚=0



𝑥𝑚 𝑥2 𝑥3 = 1+ 𝑥+ + + ∙∙∙∙∙∙∙∙ 𝑚! 2! 3!



am= 1/m!, dari persamaan (4) didapat 𝑎𝑚+1 1/(𝑚 + 1)! 1 = = → 0, untuk 𝑚 𝑎𝑚 1/𝑚! 𝑚+1 → ∞, deret konvergen untuk semua nilai x



2. Operasi – operasi pada Power Series Termwise differentiation Deret pangkat dapat diturunkan suku demi suku. Bila ∞



𝑦 = ∑ 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 konvergen untuk |𝑥 − 𝑥0 | < R, dengan R > 0, 𝑚=0



maka deret yang diperoleh dengan menurunkan setiap sukunya juga konvergen pada interval tersebut dan menunjukkan turunan (y’) dari y terhadap x. ∞



𝑦′ = ∑ 𝑚 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝑥0 )𝑚−1 𝑚=0



Termwise addition Dua deret pangkat dapat ditambahkan suku demi suku. Bila ∞



∞



𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝑥0 𝑚=0



)𝑚



dan



𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑚 (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 , maka



∞



𝑚=0



𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = ∑ (𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 𝑚=0



Deret yang diperoleh konvergen pada interval yang terletak dalam interval konvergensi f(x) dan g(x).



Termwise multiplication Deret pangkat dapat dikalikan suku demi suku. Perkalian dari deret pangkat yang jumlahannya adalah f(x) dan g(x) adalah: ∞



∑ (𝑎0 𝑏𝑚 + 𝑎1 𝑏𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑏0 ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 = 𝑎0 𝑏0 + (𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑚=0



+ (𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏1 )(𝑥 − 𝑥0 )2 + 𝑎3 (𝑥 − 𝑥0 )3 + ∙∙∙∙ Vanishing of all coefficients Jika suatu deret pangkat mempunyai jari-jari konvergensi positif dan jumlahnya adalah nol dalam seluruh interval konvergensinya, maka semua koefisien dalam deret pangkat adalah nol. Sifat – sifat dari deret pangkat membentuk teori dasar dari Power series method. Bagian berikut adalah menentukan apakah suatu persamaan diferensial mempunyai penyelesaian yang dapat dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Suatu fungsi f(x) dikatakan analitik pada satu titik x = x0 jika fungsi ini dapat dinyatakan dengan suatu deret pangkat dari x – x0 dengan jari – jari konvergensi R > 0. Teorema 1. Eksistensi penyelesaian dalam bentuk deret pangkat Jika fungsi p,q, dan r dalam persamaan diferensial y” + p(x) y’ + q(x) y = r(x) (5) adalah analitik pada x = x0, maka setiap penyelesaian y(x) dari persamaan (5) adalah analitik pada x = x0 dan dapat dinyatakan dengan deret pangkat dari x = x0 dengan jari – jari konvergensi R > 0. Catatan penting: ketika menggunakan teorema ini koefisien y” dalam persamaan (5) harus 1. Soal latihan. 1. xy’ – 3y = 6 2. y” – 3y’ + 2y = 0 3. y” – 4xy’ + (4x2 – 2)y = 0 4. (1-x2)y” – 2xy’ + 2y = 0 5. y” – xy’ + y = 0 6. Tunjukkan bahwa y’ = (y/x) + 1 tidak mempunyai penyelesaian dalam bentuk deret pangkat dari x. Selesaikan persamaan ini dalam y sebagai deret pangkat dari x – 1 (misalkan t = x – 1, selesaikan y sebagai deret pangkat dari t). 7. Selesaikan y” + y = 0 sebagai deret pangkat dalam x – 1. 8. Tentukan jari – jari konvergensi dari deret berikut: ∞



𝑥𝑚 𝑎. ∑ 𝑚 3 𝑚=0



∞



𝑚(𝑚 − 1) 𝑚 𝑏. ∑ 𝑥 3𝑚 𝑚=2



∞



𝑐. ∑ (−1)𝑚 𝑥 2𝑚 𝑚=2



9. Shift of summation index. Tunjukkan bahwa ∞



∞



∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥



𝑚−2



∞



= ∑(𝑝 + 1)𝑝𝑎𝑝+1 𝑥



𝑚=2



𝑝−1



= ∑(𝑠 + 2)(𝑠 + 1)𝑎𝑠+2 𝑥 𝑠



𝑝=1



𝑠=0



10. Ganti index dalam deret berikut sehingga pangkat dalam tanda sigma adalah xs. ∞



𝑚(𝑚 + 1) 𝑚−1 𝑎. ∑ 𝑥 𝑚2 + 1 𝑚=2



∞



∞



5𝑚+2 𝑚+2 𝑏. ∑ 𝑥 𝑚+3



𝑐. ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2



𝑚=0



𝑚=2



3. Persamaan Legendre dan Polinomial Legendre Pn(x). Persamaan diferensial Legendre: (1 – x2) y” - 2xy’ + n(n+1)y = 0



(6)



n adalah bilangan real. Persamaan ini timbul dalam banyak masalah fisik, terutama pada masalah nilai batas untuk benda berbentuk bola (dapat dilihat dalam pennyelesaian PD parsial). Penyelesaian persamaan (6) disebut sebagai fungsi / polynomial Legendre. Untuk mendapatkan bentuk standart, persamaan (5), persamaan (6) dibagi dengan 1 – x2 dan tampak bahwa p, q dan r analitik pada x = 0, sehingga PD mempunyai penyelesaian dalam bentuk deret: ∞



(7)



𝑦 = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 𝑚=0



Substitusikan y dan turunan-turunannya ke persamaan (6), nyatakan n(n+1) dengan k didapatkan: ∞



∞



2



(1 − 𝑥 ) ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥



𝑚−2



𝑚=2



∞



− 2𝑥 ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥



𝑚−1



+ 𝑘 ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0



𝑚=1



𝑚=0



Atau: ∞



∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚=2



∞ 𝑚−2



∞ 𝑚



∞



− ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 − 2 ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 + 𝑘 ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0 𝑚=2



𝑚



𝑚=1



Ekspansikan deret: [2.1. 𝑎2 + 3.2. 𝑎3 𝑥1 + 4.3. 𝑎4 𝑥 2 + … + (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)𝑎𝑠+2 𝑥 𝑠 + … ] − [1.2. 𝑎2 𝑥 2 + 2.3. 𝑎3 𝑥 3 + … + 𝑠(𝑠 − 1)𝑎𝑠 𝑥 𝑠 + … ] − [2.1. 𝑎1 𝑥 + 2.2. 𝑎2 𝑥 2 + … + … + 2𝑠𝑎𝑠 𝑥 𝑠 + … ] + [𝑘𝑎0 + 𝑘𝑎1 𝑥 + 𝑘𝑎2 𝑥 2 + … + … + 𝑘𝑎𝑠 𝑥 𝑠 + … ] = 0



𝑚=0



Jumlahkan deret: 𝑥 0 (2𝑎2 + 𝑘) + 𝑥(6𝑎3 − 2𝑎1 + 𝑘𝑎1 ) + 𝑥2 (12𝑎4 − 2𝑎2 − 4𝑎2 + 𝑘𝑎2 ) + …



+𝑥 𝑠 {(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)𝑎𝑠+2 + [−𝑠(𝑠 − 1) − 2𝑠 + 𝑛(𝑛 + 1)]𝑎𝑠 } + … = 0 Samakan koefisien deret: koefisien x0: 2𝑎2 + 𝑛(𝑛 + 1) = 0 → 𝑎2 = −



𝑛(𝑛+1) 2!



𝑎0



koefisien x1: 6𝑎3 − 2𝑎1 + 𝑛(𝑛 + 1)𝑎1 = 0 → 𝑎3 = −



(𝑛−1)(𝑛+2) 3!



koefisien x2: 12𝑎4 − 2𝑎2 − 4𝑎2 + 𝑛(𝑛 + 1)𝑎2 = 0 → 𝑎4 = − (𝑛−2)𝑛(𝑛+1)(𝑛+3) 4!



𝑎1



(𝑛−2)(𝑛+3) 4.3



𝑎2 =



𝑎0



. . . Koefisien xs: (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)𝑎𝑠+2 + [−𝑠(𝑠 − 1) − 2𝑠 + 𝑛(𝑛 + 1)]𝑎𝑠 = 0 → 𝑎𝑠+2 = −



−𝑠(𝑠 − 1) − 2𝑠 + 𝑛(𝑛 + 1) 𝑎𝑠 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)



(𝑛 − 𝑠)(𝑛 + 𝑠 + 1) (8) 𝑎𝑠 , 𝑠 = 0,1,2, …. (𝑠 + 2)(𝑠 + 1) Persamaan (8) disebut sebagai persamaan rekursi, yaitu persamaan yang digunakan untuk menentukan koefisien deret. → 𝑎𝑠+2 = −



Penyelesaian persamaan Legendre: 𝑦(𝑥) = 𝑎0 𝑦1 (𝑥) + 𝑎1 𝑦2 (𝑥) Dimana: 𝑦1 (𝑥) = 1 −



𝑛(𝑛 + 1) 2 (𝑛 − 2)𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 3) 4 𝑥 + 𝑥 + … 2! 4!



𝑦2 (𝑥) = 𝑥 −



(𝑛 − 1)(𝑛 + 2) 3 (𝑛 − 3)(𝑛 − 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 4) 5 𝑥 + 𝑥 + … 3! 5!



Polinomial Legendre Dalam banyak aplikasi, parameter n dalam persamaan Legendre adalah bilangan bulat positif. Sisi kanan persamaan (7) adalah nol ketika s = n, sehingga 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+4 = ⋯ = 0. Bila n bilangan genap, 𝑦1 (𝑥) tereduksi menjadi polynomial derajat n; bila n bilangan ganjil,



𝑦2 (𝑥) tereduksi menjadi polynomial derajat n. Polinomial – polinomial tersebut, dikalikan dengan suatu konstanta, dinamakan polynomial Legendre. Berikut adalah penurunan persamaan untuk menyusun polynomial Legendre. (𝑠 + 2)(𝑠 + 1) (9) 𝑎 , 𝑠 ≤𝑛−2 (𝑛 − 𝑠)(𝑛 + 𝑠 + 1) 𝑠+2 Koefisien-koefisien dalam deret dapat dinyatakan dalam an (yaitu koefisien dari suku dengan pangkat tertinggi). Mula – mula an sembarang, kemudian ditentukan an = 1 untuk n = 0 dan (2𝑛)! 1.3.5 … . . (2𝑛 − 1) (10) 𝑎𝑛 = 𝑛 = , 𝑛 = 1,2, 3, … 2 2 (𝑛!) 𝑛! Dengan koefisien seperti tersebut diatas polynomial akan mempunyai nilai = 1 untuk x = 1. Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh: 𝑎𝑠 = −



𝑎𝑛−2 = −



𝑛(𝑛 − 1) 𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛)! 𝑎𝑛 = − 2(2𝑛 − 1) 2(2𝑛 − 1)2𝑛 (𝑛!)2



𝑎𝑛−2 = −



𝑛(𝑛 − 1)2𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 − 2)! 2(2𝑛 − 1)2𝑛 𝑛(𝑛 − 1)! 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!



𝑎𝑛−2 = −



(2𝑛 − 2)! 2𝑛 (𝑛 − 1)! (𝑛 − 2)!



Dengan cara yang sama diperoleh: 𝑎𝑛−4 = −



(2𝑛 − 4)! (𝑛 − 2)(𝑛 − 3) 𝑎𝑛−2 = − 𝑛 4(2𝑛 − 3) 2 2! (𝑛 − 2)! (𝑛 − 4)!



Dan seterusnya, rumus tersebut dapat digeneralisasi untuk n – 2m  0: 𝑎𝑛−2𝑚 = (−1)𝑚



(2𝑛 − 2𝑚)! − 𝑚)! (𝑛 − 2𝑚)!



(11)



2𝑛 𝑚! (𝑛



Rumus umum untuk polynomial Legendre: 𝑀



𝑃𝑛 (𝑥) = ∑ (−1)𝑚 𝑚=0



=



(12) (2𝑛 − 2𝑚)! 𝑛 𝑛−2𝑚 𝑥 ; 𝑀 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑛 − 1)/2 2𝑛 𝑚! (𝑛 − 𝑚)! (𝑛 − 2𝑚)! 2



(2𝑛)! 𝑛 (2𝑛 − 2)! 𝑥 − 𝑛 𝑥 𝑛−2 + − ⋯ 𝑛 2 2 (𝑛!) 2 1! (𝑛 − 1)! (𝑛 − 2)!



Beberapa contoh Polinomial Legendre: 𝑃0 (𝑥) = 1 𝑃1 (𝑥) = 𝑥 𝑃2 (𝑥) =



1 2



(3𝑥 2 − 1)



𝑃3 (𝑥) =



1 2



(5𝑥 3 − 3𝑥)



𝑃4 (𝑥) =



1 8



(35𝑥 4 − 30𝑥 2 + 3)



𝑃5 (𝑥) =



1 8



(63𝑥 5 − 70𝑥 3 + 15𝑥)