Project Aljabar Binsar [PDF]

Citation preview

PROYEK “ALJABAR LINIER” Dosen Pengampu : Drs.Marsangakap Silitonga M.Pd.



DISUSUN OLEH : NAMA



: BINSAR MANIK



NIM



: 5193131016



KELAS



: PTE



PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2020



1



KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia – Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas “Proyek”. Tidak lupa juga penulis mengucapkan terima kasih kepada bapak Drs.Marsangakap Silitonga M.Pd. selaku dosen pengampu mata kuliah Aljabar Linier, atas segala bantuan yang telah diberikan kepada penulis sehingga memudahkan penulis untuk menyelesaikan tugas Proyek ini. Penulis juga menyadari bahwa tugas ini masih banyak kekurangan oleh karena itu penulis minta maaf jika ada kesalahan dalam penulisan dan penulis juga mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna kesempurnaan tugas ini.             Akhir kata penulis ucapkan terima kasih semoga dapat bermanfaat dan bisa menambah pengetahuan bagi pembaca.



Medan, 21 Mei 2020



Penulis : Cando H. Marbun



2



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam project assignment mata kuliah Aljabar Linier ini, saya memilih jurnal berjudul “Novel Control Vector Parameterization Method with Differential Evolution Algorithm and Its Application in Dynamic Optimization of Chemical Processes” sebagai topik pembahasan. Jurnal ini merupakan karya Sun Fan, Zhong Weimin, Cheng Hui & Qian Feng, dan diterbitkan dalam Chinese Journal of Chemical Engineering Vol. 21 Issue 1, hal 64-71 tahun 2013. Jurnal ini berkaitan dengan Process Systems Engineering dan Process Safety dalam proses-proses kimia. Secara umum dikenal dua metode dalam menyelesaikan masalah optimisasi dinamik dalam proses-proses kimia, yaitu metode analitis dan metode numeris. Metode numeris, yang berbasis algoritma heuristik, merupakan metode yang telah banyak digunakan dalam menyelesaikan kasus-kasus optimisasi dinamik dalam proses-proses kimia. Jurnal ini membahas tentang penggunaan metode numeris, yang mengombinasikan algoritma differential evolution (DE) dan control vector parameterization (CVP). Pada CVP, variabel kontrol didekati dengan polynomial berdasarkan keadaan variabel dan interval waktu. Sedangkan pada DE, digunakan “region reduction strategy”, untuk mereduksi besarnya wilayah pencarian (search region) sehingga dapat meningkatkan efisiensi komputasi data. Metode analitis merupaskan metode penyelesaian masalah optimisasi dinamik dengan menganalisis hasil dari simulasi lapangan yang telah dilakukan sebelumnya. Tentunya, metode ini akan lebih mahal, memiliki tingkat resiko yang tinggi serta memerlukan banyak sumber daya & waktu. Oleh sebab itu dengan menggunakan metode simulasi ini, dapat meningkatkan efisiensi, peningkatan keselamatan, berkurangnya tingkat kecelakaan, bertambahnya kenyamanan serta lebih hemat. Selain itu, bila terdapat kegagalan ataupun diperlukan mengulang percobaan/penelitian, akan sangat lebih mudah bila menggunakan metode ini. 1.2 Rumusan Masalah Bagaimana mengembangkan media pembelajara npaa topik pada mata kuliah Aljabar Linear sehingga dapat lebih mudah dalam memahaminya. 3



1.3 Tujuan 1



Mengembangkan media pembelajaran pada mata Kuliah Aljabar Linear



2



Menyelesaikan Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear



4



BAB II PEMBAHASAN I. CVP - DE Method Kasus optimisasi dinamis untuk suatu proses kontinu dapat dimisalkan dengan persamaan berikut,



dimana: x (t)



= state variable



u (t)



= control variable



J



= performance index



to



= initial time



tf



= final time



ϕ



= penalty function untuk final state x(tf) pada final time tf.



Ψ



= function to weight the state path traveled and control sequence yang digunakan.



Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengevaluasi kondisi awal yang diberikan untuk state variabel x(to) serta DAE berikut ini yang merepresentasikan dinamika proses yang ingin dioptimasi.



Tujuannya adalah menentukan profil dari variabel kontrol u(t). Ketika variabel kontrol telah ditentukan, kemudian dapat digunakan untuk memperoleh persamaan polyomialnya. Selain dengan menggunakan metode tersebut, persamaan polynomial dapat ditentukan dengan mengikuti persamaan berikut. u ( t )= p1 x 1 + p2 x 2 + L+ p n x n + pn +1 x 12+ L+ pn +n x n2 + p2 n+1 + p2 n+2 t( 2)



5



DE adalah medote optimisasi yang efisien dan efektif dan telah luas digunakan dibandingkan metode-metode optimisasi tradisional. DE terdiri dari 3 operasi: mutasi crossover, dan seleksi. Basis utama dari penggunaan DE adalah untuk menghasilkan trial vectors dan menentukan vectors mana yang mampu bertahan. “Region reduction strategy” diaplikasikan di DE untuk secara bertahap mengurangi wilayah pencarian data. Secara umum, algoritma metode CVP-DE dapat dijabarkan sebagai berikut. 1. Generate randomly the original population of size M. The current generation number is denoted by Gen, and G is the maximum generations allowed. The region reduction step is denoted by k. 2. Calculate objective function by the CVP method and evaluate each individual. The explicit Runge-Kutta method is used to solve the differential equations. 3. Perform mutationand crossover operations to obtain the offspring. Perform mutation using this equation v jGen+1 =F rGen + P F ( F r 2Gen−F r 3Gen ) (3) with a probability PF. Perform crossover using this equation



(4) with a probability CR. 4. Evaluate and select the offspring individual using this equation.



(5) 5. If | J (k ) − J (k−1) |> e , go to Step 6, else, k = k +1 and compute wi (k ), Pimin (k), Pimax(k), according to this equation



6



(6) 6. If Gen≠G, return to Step 2, else stop. II. Case Studies II.1. Case 1 Kasus 1 membahas tentang kontrol suhu untuk reaksi kimia berantai. Tujuannya untuk memperoleh profil suhu optimal yang memaksimalkan output dari produk antara (B) di akhir operasi reaktor batch dimana terjadi reaksi ABC. Model matematikanya adalah sebagai berikut.



Dimana: Pada 298≤ T≤ 398, tf =1 x1



= konsentrasi A



x2



= konsentrasi B



T



= suhu dalam kelvin



Fungsi aproksimasi variabel kontrol adalah T = po [ 1+ p 1 exp ⁡(− p2 x 1 ) ] x [ 1+ p 3 exp ⁡(− p4 x 2) ] dengan batasan-batasan berikut.



7



Percobaan dimulai dengan menset wilayah pencarian awal untuk semua parameter menjadi [0, 500], dan G = 60, r = 0.6, dimana “region reduction process” ditampilkan pada Tabel 1. Diperoleh nilai maksimum dicapai 0,61073 dan nilai-nilai koefisien adalah p = [208.52884, 84.37439, 68.0497, 104.98534, 112.42967}. Grafik konsentrasi vs waktu, dan profil suhu optimal ditunjukkan di Gambar 1.



Gambar 1. Profil konsentrasi dan suhu optimal untuk Kasus 1. Sumber: Chin. J. Chem. Eng., Vol. 21, No. 1, January 2013, hal 67. II.2. Case 2 Kasus 2 juga membahas tentang kontrol suhu untuk reaksi kimia berantai. Tujuannya untuk memperoleh profil suhu optimal yang memaksimalkan selektivitas dari produk yang diinginkan (B) di akhir operasi reaktor batch dimana terjadi reaksi ABC. Model matematikanya adalah sebagai berikut.



8



Dimana: tf



= 12,5 detik



ki



= k 0i exp



i



= 1,2



k 01



= 65,6 s-1



k 02



= 1970 s-1



E1



= 4,18 x 104 J mol -1



E2



= 6,688 x 104 J mol -1



CA



= konsentrasi A



CB



= konsentrasi B



k1



= konstanta laju reaksi 1



k2



= konstanta laju reaksi 2



( −E RT )



Fungsi aproksimasi variabel kontrol adalah T = po [ 1+ p 1 exp ⁡(− p2 C A ) ] x [ 1+ p3 exp ⁡(− p 4 C B ) ]  Untuk Kasus 2 bagian (a) Percobaan dimulai dengan menset G = 60, r = 0.5, dimana “region reduction process” ditampilkan pada Tabel 2. Diperoleh nilai konsentrasi optimal dari produk utama (B) sebesar 0,480047. Nilai-nilai koefisien adalah p = {740.44471, −¿ 0.336149, 5.88172, 0.50283, 8.57771}. Grafik konsentrasi vs waktu, dan profil suhu optimal ditunjukkan di Gambar 2.



9



Gambar 2. Profil konsentrasi dan suhu optimal untuk Kasus 2 bagian (a). Sumber: Chin. J. Chem. Eng., Vol. 21, No. 1, January 2013, hal 68.  Untuk Kasus 2 bagian (b) Percobaan dimulai dengan menset G = 100, r = 0.5, dimana “region reduction process” ditampilkan pada Tabel 3. Diperoleh nilai-nilai koefisien adalah p = {75.613, −¿ 0.36608, 2.79374, 0.40929, 13.73314}. Konsentrasi produk di output reaktor adalah sebagai berikut CA (tf) = 0,459456, CB (tf) = 0,459000, CC (tf) = 0,090544. Grafik konsentrasi vs waktu, dan profil suhu optimal ditunjukkan di Gambar 3.



Gambar 3. Profil konsentrasi dan suhu optimal untuk Kasus 2 bagian (b). 10



Sumber: Chin. J. Chem. Eng., Vol. 21, No. 1, January 2013, hal 68.  Untuk Kasus 2 bagian (c) Percobaan dimulai dengan menset G = 80, r = 0.5, dimana “region reduction process” ditampilkan pada Tabel 4. Diperoleh nilai-nilai koefisien adalah p = {701.2786, −¿ 0.47160, 10.89443, 0.27727, 13.39296}. Konsentrasi produk di output reaktor adalah sebagai berikut CA (tf) = 0,47788, CB (tf) = 0,440000, CC (tf) = 0,08212. Koefisien yield dari produk utama sebesar 0,8427. Grafik konsentrasi vs waktu, dan profil suhu optimal ditunjukkan di Gambar 4.



Gambar 4. Profil konsentrasi dan suhu optimal untuk Kasus 2 bagian (c). Sumber: Chin. J. Chem. Eng., Vol. 21, No. 1, January 2013, hal 69. II.3. Case 3 Kasus 3 produksi protein asingmenggunakan bakteri rekombinan yang dimodelkan oleh Lee dan Ramirez. Untuk itu, diperlukan nutrisi dan agen pengaktif gen (inducer). Dalam rangka memaksimalkan keuntungan ekonomis, perlu dilakukan pengendalian laju input glukosa (glucose feed rate) dan laju input inducer (inducer feed rate). Model matematikanya adalah sebagai berikut.



11



Dimana: x1



= volume reaksi (L)



x2



= densitas sel( g L−1 )



x3



= konsentrasi nutrisi ( g L−1)



x4



= konsentrasi protein asing ( g L−1)



x5



= konsentrasi inducer ( g L−1)



x6



= inducer shock factor pada laju pertumbuhan sel ( g L−1)



x7



= inducer recovery factor pada laju pertumbuhan sel ( g L−1)



u1



= laju feed glukosa ( L h−1)



u2



= laju feed inducer ( L h−1)



Y



= growth yield coefficient



Cnf



= konsentrasi nutrisi dalam feed nutrisi ( g L−1)



Cif



= konsentrasi inducer dalam feed inducer ( g L−1)



μ



= laju pertumbuhan spesifik (h−1)



Rfp



= laju produksi protein asing (h−1)



k1



= parameter shock



k2



= parameter recovery



Parameter sistem untuk sistem bakteri adalah sebagai berikut.



12



Tujuannya adalah memaksimalkan J (u1,u2) dengan mengontrol laju umpan glukosa (u1) dan laju umpan inducer (u2), yang dapat dinyatakan dalam persamaan berikut.



Dimana: Q



= perbandingan harga antara inducer dengan produk (dipilih nilai 5)



tf



= 10 jam



Percobaan dimulai dengan menset kondisi awal sistem menjadi suatu bentuk matriks x(0)= (1, 0.1, 40, 0, 0, 1, 0)T. Variabel kontrol (u1, u2) dibatasi dalam rentang [0, 10-2 L h-1]. Fungsi aproksimasi variabel kontrol adalah



dengan batasan-batasan berikut.



13



Percobaan dimulai dengan menset G = 400, r = 0,5. Diperoleh nilai maksimum dari CVP-DE mencapai 0,81691. Grafik laju umpan glukosa optimal dan laju umpan inducer maksimal ditunjukkan pada Gambar 5.



Gambar 5. Profil laju umpan glukosa optimal dan laju umpan inducer optimal untuk Kasus 3. Sumber: Chin. J. Chem. Eng., Vol. 21, No. 1, January 2013, hal 69. Hasil perbandingan metode CVP-DE dengan metode CACA (Complicate Ant Colony), IGA (Iterative Genetic Algorithm), GOS (Graded Optimization Strategy), dan ICSA (Improved Clonal Selection Algorithm) ditampilkan pada Tabel 5. Parameter yang digunakan adalah sebagai berikut.



Dimana: BE



= error relatif dari solusi terbaik



CE



= evaluasi komputasi



BM



= nilai terbaik yang diperoleh dengan metode CVP-DE



BO



= solusi optimal



Ct



= total cycle dari algoritma



Sp



= ukuran populasi



14



Sumber: Chin. J. Chem. Eng., Vol. 21, No. 1, January 2013, hal 70.



15



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Dari studi kasus yang telah disimulasikan menggunakan MATLAB, dapat disimpulkan bahwa metode CVP-DE dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus optimisasi dinamis secara efektif dan memiliki akurasi yang tinggi. Dengan menggunakan metode numeris yang berdasarkan aljabar linear untuk menyelesaikan kasus-kasus pemodelan proses-proses kimia, banyak manfaat dan kelebihan yang diperoleh. Bila dibandingkan dengan simulasi lapangan yang lebih mahal, membutuhkan sumber daya yang banyak serta mengorbankan waktu yang tidak sedikit, metode ini lebih preferrable. Selain itu, metode ini juga mebuktikan akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode-metode lain yang ditampilkan pada Tabel 5. Selain itu dengan menggunakan pemodelan berdasarkan persamaan-persamaan linear, resiko-resiko yang mungkin terjadi dapat diperhitungkan. Metode CVP-DE lebih dianjurkan untuk digunakan dalam menyelesaikan problem optimisasi proses-proses kimia karena pengaplikasian algoritma yang tidak terlalu rumit dan menghasilkan akurasi yang memuaskan. Selain itu, dari evaluasi hasil studi kasus-kasus yang telah dijabarkan di atas, juga menunjukkan bahwa metode ini juga dapat menyelesaikan kasus dengan multiple state variables dan lebih dari satu variabel kontrol. Menurut saya, penelitian terkait metode ini dapat lebih ditingkatkan dengan cara mengintegrasikan algoritma yang digunakan dengan software-software yang banyak digunakan oleh chemical engineers, seperti Hysis, Polymath, COMSOL dan lain-lain. Selain itu, juga dapat ditambahkan peninjauan kompatibilitas dengan program-program tersebut. Dapat juga dikembangkan penelitian ini, dengan membandingkan “running” untuk tiap program. Sehingga dalam aplikasi di kehidupan nyata, engineers cukup tinggal memakai metode tersebut tanpa perlu pengujian/penelitian yang lama.



16



DAFTAR PUSTAKA 1. Anton, Howard., and Rorres, Chris. 2008. “Elementray Linear Algebra”. New York: John Wiley & Sons, Inc 2. Constantinides, Alkis., and Moustofi, Navid. 1999. “Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications”. New Jersey: Prentice Hall. 3. Davis, Mark E. 1984. “Numerical Methods and Modelling for Chemical Engineers”, Canada: John Wiley & Sons, Inc. 4. Rice, Richard G., and Do, Duong D. 1995. “Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers”. Canada: John Wiley & Sons, Inc. 5. Sihem, T., Didier, D., Ghizlane, H., “Open-loop optimization and trajectory tracking of a fed-batch bioreactor”, Chem. Eng. Process., 47, 1933-1941 (2008). 6. Srinivasan, B., Palanki, S., Bonvin, D., “Dynamic optimization of batch processes (I) Characterization of the nominal solution”, Comput. Chem. Eng., 27, 1-26 (2003). 7. Yang, Won Y., Cao, Wenwu., Cung, Tae-Sang., Morris, John. 2005. “Applied



Numerical Methods using MATLAB”, Canada: John Wiley & Sons, Inc.



17