![(Purwitaningsih) METODE VOLUME HINGGA UNTUK GRID TAK BERSTRUKTUR [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/purwitaningsih-metode-volume-hingga-untuk-grid-tak-berstruktur.jpg)
10 0 8 MB
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TESIS
METODE VOLUME HINGGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG GRAVITASI ALIRAN AIR: SUATU KAJIAN MATEMATIS BESERTA ASPEK PENDIDIKANNYA
Oleh : CECILIA HERU PURWITANINGSIH NIM : 151442017
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TESIS
METODE VOLUME HINGGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG GRAVITASI ALIRAN AIR: SUATU KAJIAN MATEMATIS BESERTA ASPEK PENDIDIKANNYA
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister
Oleh : CECILIA HERU PURWITANINGSIH NIM : 151442017
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2018
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TESIS
ME TOB g VSLTi&{E }* $q
i;GA
UN
T
TJ
K
Ef EN
PS,RSAIVI&AH GE;.{}}IBANG G&AVITASi 5C ATT] E{.&;T}AN &fATE
MA'T{S Bfi SERTA
.&
$PE
YEI-ESAIKAH
.{IIRAN
K
trE
Fi
AtrH :
*TS1}(AI'{]EY A
Clel-i: Cecilia Heru P*rwit*niirgsih
20.Iuli 2018
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TESIS
PIETODE VSI-ti&I E l{IN GGA PER S
UAT Li
tr
NTUK }I E NY{LS SAIhA l{
SAMAiI N G f, L{}$tBAli G GILAYITA SI ALIItAiq AIR :
KA;'ITX
M
ATE}L{TIS BESERT'A ASPEK I} [ NDIr}I{i{N
llipersiap:kar: dan ditulis aleh
II 1'A
:
Crcilia
'faagan
Ketua
"'1"""".'"
Sekretaris
t:-.
-....
ltL#-
.;! -
Anggcta Anggcta
eilinur And3, RucJhito, S.Pd.
Anggeta
Ph.D.
-30
Juli
?{-t i
-.. -..
--
I
Fakultas Keguruan dan Ilmu Peilgetahuafl
Harscv*. S.Pd,"
1V
h,{. Si.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Rentangkan asa tuk menjadi jauhari. Kemauanpun tertanam teguh dalam benak. Namun rasanya, nurani tak sanggup berjumpa dengan egoisme. Layaklah hidup seturut takdir fluida, ketika hidup tak sesuai ekspektasi. Fleksibilitas perlu tuk hadapi fluktuasi hidup bersama. Iterasi ikrar diri berkecamuk dalam batin, menuntut pemenuhannya. Kepakkan aksi eksplisit, raih jayacihna. _Cecilia H. P._
Karya ini ku persembahkan untuk : Ayah dan Ibuku tercinta, Kakakku tersayang, Kekasihku, Sahabat-sahabatku, Almamaterku Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PE Rl,{
YATAA'I{ KEA SLIAN IC{ RY A
Saya menvatakan dergan sungguh-sungguh bahrva tesis yang saya tulis ini
tidak rnemuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalarn kr"rtipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogvakarta" 30 .rdi 2018
W Penuhs
Cecil ia Heru Purwitaningsih
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEN{BA R
P
ER}i{},ATAAI\i PERS ETLIJI IAI{ P T] B I-IKA SI KAR}-A IL&I 1A}I TINTTIK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bauah ini.
sa,v-a
Nama :
Cecilia Heru Purwitaningsih
NIM :
15144)017
mahasisrva Universitas Sanata Dharma
:
Demi pengembangan ilmu pengetahuan. saya nremberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanaia Dhanna karya iimiah saya yang berjudui: M ETOD E \,'O[,Tl
}{E HTNGGA
TJN
T'IIK H ENYELESAIKATTi
PERSA]IIAAI\a GE LOMBAN G GRAVI'IASI ST1ATTJ
ALIRAIi
AIR:
KAJLAN MATE}{ATIS BESERTA ASPEK PENDIDIKA}'INYA
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata
Dharma baik untuk menl,impan" mengalihkan dalam bentuk media lain, rnengelolan-v*a dalarn bentuk pangkalan data" raendistribr"rsikan secara terbatas, dan
rnenrpublikasikannya
di internet atau rnedia lain untuk
kepentingan akadetrtis
tanpa periu meminta ryin dari saya maupun memberikan roi,'alty kepada sava selama tetap mencantumkan nafira saya sebagai penuiis.
Demikian penyataan ini sava buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yog_vakarta Pada tanggal : 30 "luli 2018
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut: [1]
C.H. Purwitaningsih dan S. Mungkasi, “Performance of the Lax-Wendroff finite volume method for solving the gravity wave-model equations”, Journal of Physics: Conference Series, Vol. 1007, Artikel 012008, Tahun 2018 (terindeks Scopus), Link Artikel : https://doi.org/10.1088/17426596/1007/1/012008 Selain itu, sebagian hasil
lain sedang dalam
persiapan untuk
dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis (Cecilia Heru Purwitaningsih).
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Cecilia Heru Purwitaingsih. 2018. Metode Menyelesaikan Persamaan Gelombang Gravitasi Matematis beserta Aspek Pendidikannya. Tesis. Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Volume Hingga untuk Aliran Air: Suatu Kajian Program Studi Magister dan Ilmu Pendidikan,
Persamaan gelombang gravitasi merupakan penyederhanaan persamaan Saint-Venant dengan mengabaikan suku konvektif. Tesis ini bertujuan untuk mendapatkan solusi persamaan gelombang gravitasi aliran air dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. Berkaitan dengan aspek pendidikan, tesis ini bertujuan untuk mendeskripsikan pemahaman siswa mengenai operasi bilangan desimal melalui pembelajaran menggunakan media air. Metode penelitian yang digunakan pada aspek matematis adalah studi pustaka. Hasil numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs stabil dengan beberapa kondisi. Solusi numeris konvergen ke solusi eksak. Simulasi numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Wendroff diperoleh bahwa metode ini berhasil menyelesaikan gelombang kontinu, tetapi menghasilkan osilasi artifisial saat menyelesaikan gelombang diskontinu. Metode yang digunakan dalam penelitian aspek pendidikan adalah metode kualitatif deskriptif yang bertujuan untuk mengungkapkan fenomena dalam keadaan yang sebenarnya. Subjek penelitian adalah siswa kelas V SD N Jaban Sleman yang berjumlah 31 orang. Hasil penelitian ini adalah data kualitatif yang menunjukkan bahwa pembelajaran menggunakan media air dapat membantu siswa dalam memahami bilangan desimal.
Kata kunci : persamaan gelombang gravitasi, metode volume hingga LaxFriedrichs, metode volume hingga Lax-Wendroff, pembelajaran desimal.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Cecilia Heru Purwitaningsih. 2018. Finite Volume Methods for Solving the Gravity Wave-model Equations: A Mathematical Study together with Its Educational Aspects. Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Faculty of Teachers Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. The gravity wave-model equations are simplifications of the Saint-Venant equations by neglecting the convective term. This thesis aimed to find solution of the gravity wave-model equations by using Lax-Friedrichs finite volume method and the Lax-Wendroff finite volume method. In relation to educational aspects, this thesis aimed to describe students' understanding about decimal number operations through learning using water media. The research method used in the mathematical aspects is literature study. Numerical results using the Lax-Friedrichs finite volume method is stable under some conditions. Numerical solutions converge to exact solutions. Numerical simulations using the Lax-Wendroff finite volume method found that this method successfully solves continuous waves, but produces artificial oscillations when solving discontinuous waves. The research method used in the educational aspects is a descriptive qualitative method that can reveal realistic phenomen. The subjects of the study were the students of grade V of SD N Jaban Sleman which consisted of 31 people. The results of this study are qualitative data that shows that learning using water media can help students in understanding the decimal numbers. Keywords : gravity wave-model equations, Lax-Friedrichs finite volume method, Lax-Wendroff finite volume method, decimal learning.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan berkat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Metode Volume Hingga untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Gravitasi Aliran Air: Suatu Kajian Matematis beserta Aspek Pendidikannya.” sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Magister Pendidikan di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa selama proses penyususan tesis ini telah banyak memperoleh bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik. 2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. dan Bapak Hartono, Ph.D. selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik. 3. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. 4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister Universitas Sanata Dharma. 5. Bapak E. Purwatma, S.Ag, selaku Kepala SD Negeri Jaban, yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk melakukan penelitian bidang pendidikan. 6. Seluruh siswa kelas V SD N Jaban tahun ajaran 2017/2018 yang telah membantu dan bekerja sama dengan baik selama proses penelitian bidang pendidikan. 7. Segenap dosen Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister Universitas Sanata Dharma yang telah membantu dan memberikan dukungan selama penulis menempuh perkuliahan, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan studi.
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8.
Segenap
staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam
hal
administrasi kampus selama penuiis rnelakukan studi.
9.
Orang tuaku Bapak Emanuel Punvatma dan Ibu Drvi Muiatsih 1,ang selalu
membenkan kasih sa_yang, kepercayaan, doa, dan dukungannya dengan penuh kesabaran. 10. Segenap keluarga, terutilnla kakakku Yohanes
Eka
Arif
Widayaka
,vang
selalu nremberikan semangat, motil'asi. dan doa dengan senl'ullr vang seialu terpancar di wajah. 11. Sahabat-sahabratku Paskalia Pradanti,
Anindiati llraminto
Pr-rtri" 1-ang
Maria Rettian Anggita Sari,
dan
ielah men:bantu penulis dalanr peneiitian
bidang per:didikan. serta sahabatku kekasihku yang selalu memberikan seman gat"
motivasi, dan dukungannya.
12. Sernua pihak yang
tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, vang telah
membantu sehingga penulis dapat menvelesaikan tesis ini.
Penrilis iaenyadari bahrva niasih banyak kekurangan dalam tesis ini seiringga penulis mengharapkan kritik dan saran untuk mernperhaiki karya iimiah
ini. Akhirnya, penulis berharap semoga tesis ini dapat bennanfaat bagi pernbaca pada khusirsnl,-a dan semua pihak pada umumnya.
Yogyakarta" 30 "luli 201.9
Cecilia Heru Prirwitaningsih
xl1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman SAMPUL ................................................................................................
i
HALAMAN JUDUL ..............................................................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .....................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .............................................................
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................
vi
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ....
vii
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN .....................................
viii
ABSTRAK..............................................................................................
ix
ABSTRACT .............................................................................................
x
KATA PENGANTAR ............................................................................
xi
DAFTAR ISI ..........................................................................................
xiii
DAFTAR GAMBAR ..............................................................................
xvi
DAFTAR TABEL .................................................................................. xvii DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................... xviii BAB I PENDAHULUAN ......................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah .............................................................
1
B. Tinjauan Pustaka .........................................................................
3
C. Rumusan Masalah .......................................................................
4
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D. Tujuan Penelitian ........................................................................
5
E. Batasan Masalah .........................................................................
5
F. Kebaruan Penelitian ....................................................................
5
G. Manfaat Penelitian ......................................................................
6
H. Metode Penelitian .......................................................................
6
I.
Sistematika Penulisan .................................................................
7
BAB II LANDASAN TEORI.................................................................
9
A. Persamaan Diferensial ................................................................
9
B. Persamaan Diferensial Parsial ....................................................
10
C. Sistem Persamaan Diferensial Hiperbolik .................................
11
D. Hukum Kekekalan ......................................................................
12
E. Metode Volume Hingga ..............................................................
14
F. Persamaan Gelombang Gravitasi untuk Aliran Air ....................
16
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................
18
A. Solusi Persamaan Gelombang Gravitasi dengan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ..................................................
18
B. Solusi Persamaan Gelombang Gravitasi dengan Metode Volume Hingga Lax-Wendroff ...................................................
27
BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ...........................................................
32
A. Pembelajaran di Sekolah Dasar ..................................................
32
B. Pembelajaran dengan Menggunakan Media Air ........................
33
C. Penggunaan Media Air dalam Pembelajaran ..............................
34
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D. Tingkat
Pemahaman
Siswa
tentang
Operasi
Hitung
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Desimal ........................
36
E. Refleksi .......................................................................................
40
BAB V PENUTUP .................................................................................
45
A. Kesimpulan .................................................................................
45
B. Saran ...........................................................................................
46
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................
47
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Ilustrasi Metode Volume Hingga ...................................... Gambar 3.1 Grafik
Kondisi
Awal
Permukaan
Air
dengan
Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ... Gambar 3.2 Grafik Permukaan Air Setelah Simulasi di
15
21
dengan
Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ...
22
Gambar 3.3 Kondisi Awal Masalah Bendungan Bobol ........................
23
Gambar 3.4 Grafik Kedalaman Air dan Kecepatan Air Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Eksak ..........
24
Gambar 3.5 Grafik Kondisi Awal Permukaan Air Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Wendroff ............................
29
Gambar 3.6 Grafik Permukaan Air Setelah Simulasi di Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Wendroff ....
30
Gambar 3.7 Grafik Kedalaman Air dan Kecepatan Air Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Wendroff dan Eksak ..........
31
Gambar 4.1 Siswa dapat Melakukan Operasi Penjumlahan dan Pengurangan ......................................................................
36
Gambar 4.2 Siswa Salah dalam Memasukkan Data ..............................
37
Gambar 4.3 Kesalahan Hitung ..............................................................
38
Gambar 4.4 Kesalahan Pengukuran ......................................................
39
Gambar 4.5 Kesalahan dalam Memahami Masalah ..............................
39
Gambar 4.6 Siswa Memperoleh Hasil yang Sesuai ..............................
40
xvi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.1
Error Solusi Numerik ........................................................
xvii
26
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR LAMPIRAN Halaman LAMPIRAN A .......................................................................................
49
Lampiran A.1 Kode MATLAB Simulasi Gelombang Kontinu Menggunakan Metode Volume Hingga LaxFriedrichs (Gambar 3.1 dan Gambar 3.2) ................
50
Lampiran A.2 Kode MATLAB Simulasi Gelombang Diskontinu Menggunakan Metode Volume Hingga LaxFriedrichs (Gambar 3.4) ...........................................
52
Lampiran A.3 Kode MATLAB Simulasi Gelombang Kontinu Menggunakan Metode Volume Hingga LaxWendroff (Gambar 3.5 dan Gambar 3.6) .................
54
Lampiran A.4 Kode MATLAB Simulasi Gelombang Diskontinu Menggunakan Metode Volume Hingga LaxWendroff (Gambar 3.7) ...........................................
56
LAMPIRAN B ........................................................................................
59
Lampiran B.1 Permohonan Ijin dan Observasi ...............................
60
Lampiran B.2 Undangan Penelitian ................................................
61
Lampiran B.3 Surat Keterangan Penelitian .....................................
62
Lampiran B.4 Daftar Hadir Siswa (21 November 2017) ................
63
Lampiran B.5 Daftar Hadir Siswa (22 November 2017) ................
64
LAMPIRAN C ........................................................................................
65
Lampiran C.1 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) .............
66
xviii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran C.2 Pekerjaan Kelompok Siswa I LKS I ........................
72
Lampiran C.3 Pekerjaan Kelompok Siswa IV LKS I .....................
75
Lampiran C.4 Pekerjaan Kelompok Siswa VII LKS I ....................
78
Lampiran C.5 Pekerjaan Kelompok Siswa I LKS II .......................
81
Lampiran C.6 Pekerjaan Kelompok Siswa IV LKS II ....................
82
Lampiran C.7 Pekerjaan Kelompok Siswa II LKS II .....................
83
LAMPIRAN D .......................................................................................
84
Lampiran D
Foto Pembelajaran ...................................................
xix
85
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah Indonesia merupakan salah satu negara kepulauan yang berpotensi dan rawan bencana alam, seperti gempa bumi, tsunami, banjir, dan tanah longsor. Hal tersebut dikarenakan secara geografis, Indonesia terletak pada pertemuan empat lempeng tektonik yaitu lempeng benua Asia, lempeng benua Australia, lempeng samudra Hindia, dan lempeng samudra Pasifik. Pada bagian selatan dan timur Indonesia terdapat sabuk vulkanik yang memanjang dari pulau Sumatera - Jawa Nusa Tenggara - Sulawesi, yang sisinya berupa pegunungan vulkanik tua dan daratan rendah yang sebagian didominasi oleh rawa-rawa (BNPB, 2016). Perencanaan yang baik atas pengembangan wilayah adalah salah satu cara meminimalkan akibat bencana alam. Proses perencanaan pengembangan wilayah dapat dibantu dengan melakukan simulasi bencana alam. Simulasi bencana dapat memberikan wawasan yang lebih baik dalam memahami dampak dari bencana alam (Manzella dkk, 2011). Masalah nyata dalam kehidupan dapat dimodelkan secara matematis. Persamaan Saint-Venant merupakan suatu model matematika untuk aliran air. Model ini juga bisa digunakan sebagai pendekatan gerakan butiran-butiran kasar seperti pasir, kerikil, dan bebatuan (Mangeney dkk, 2000). Oleh karena itu, model ini dapat digunakan untuk simulasi bencana alam, seperti tsunami, banjir, dan tanah longsor (Mungkasi, 2013).
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2
Persamaan Saint-Venant sering disederhanakan untuk alasan kepraktisan, waktu perhitungan yang lebih cepat, atau representasi fisik. Persamaan SaintVenant dapat disederhanakan menjadi persamaan gelombang kinematis, persamaan gelombang difusif, dan persamaan gelombang gravitasi (Martins dkk, 2016). Dalam tesis ini akan dibahas tentang persamaan gelombang gravitasi. Persamaan gelombang gravitasi merupakan penyederhanaan dari persamaan Saint-Venant dimana suku konvektif diabaikan (Aronica dkk, 1998; Bates dkk, 2010; De Almeida dkk, 2012; Seyoum dkk, 2012). Model matematika perlu dicari solusinya untuk menemukan solusi masalah nyata. Mencari solusi eksak atau solusi analitis dari model matematika sering kali sulit untuk dilakukan sehingga diperlukan perhitungan secara numeris untuk mendapatkan solusi pendekatan dari model yang dimaksud. Telah ada solusi analitis dari persamaan gelombang gravitasi, misalnya untuk masalah bendungan bobol (Martins dkk, 2016). Namun demikian, masalah tersebut hanyalah kasus khusus. Oleh karena itu, perlu dicari suatu metode untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi untuk kasus umum. Penyelesaian persamaan atau analisis permasalahan secara numeris melibatkan banyak angka-angka dan melalui perhitungan matematika yang rumit (Setiawan, 2006). Pada prosesnya membutuhkan pemahaman tentang konsep bilangan dalam membuat program yang digunakan. Pada penyusunan program juga memerlukan pemahaman tentang algoritma sehingga didapatkan program yang diharapkan, tak lepas pula dari ketelitian dan keuletan dari pembuat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3
program. Pengenalan tentang konsep bilangan di sekolah telah dilakukan sejak sekolah dasar, bahkan pada jenjang-jenjang sebelumnya. Dalam tesis ini akan dilakukan penelitian di bidang pendidikan untuk mengetahui tentang kemampuan siswa sekolah dasar pada materi operasi bilangan desimal. Penelitian dilakukan dengan melaksanakan pembelajaran dengan memanfaatkan objek fisik yang ada di sekitar siswa yaitu air. Penggunaan media air ini dilakukan dengan mempertimbangkan tahap perkembangan kognitif siswa sekolah dasar yaitu pada tahap operasional konkrit (Surya, 2013; Djiwandono, 2006). Dengan menyelesaikan salah satu masalah sederhana yang melibatkan unsur matematis, diharapkan dapat mengajak siswa untuk memahami bahwa matematika memiliki peran dalam menyelesaikan masalah sehari-hari bahkan pada masalah kebencanaan.
B. Tinjauan Pustaka Beberapa referensi hasil penelitian sebelumnya berkaitan dengan penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Penelitian oleh Martins dkk, pada tahun 2016 dengan judul “Analytical Solution of the Classical Dam-Break Problem for the Gravity Wave-Model Equations”. Dalam penelitian ini di bahas solusi analitik model persamaan gelombang gravitasi pada masalah bendungan bobol. Persamaan gelombang gravitasi dapat dituliskan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4
dengan waktu,
melambangkan kedalaman air, adalah variabel ruang, dan
mewakili debit,
adalah variabel
merupakan konstanta gravitasi.
2. Penelitian oleh Mungkasi pada tahun 2013 dengan judul “Penerapan Model Saint-Venant dan Metode Volume Hingga dalam Beberapa Masalah Bencana Alam”. Dalam penelitian ini dibahas penyelesaian model Saint-Venant secara numeris menggunakan metode volume hingga. Simulasi-simulasi sederhana yang dipaparkan berkaitan dengan masalah bencana alam, yaitu banjir akibat bendungan bobol, gelombang air laut berskala tsunami, dan tanah longsor.
C. Rumusan Masalah Dengan latar belakang yang diungkapkan di atas, diperoleh rumusan masalah sebagai berikut: 1. Terkait aspek matematis: Bagaimanakah solusi persamaan gelombang gravitasi aliran air dengan menggunakan metode volume hingga LaxFriedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff? 2. Terkait aspek pendidikan: Bagaimanakah pemahaman siswa mengenai operasi bilangan desimal melalui pembelajaran menggunakan media air?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 5
D. Tujuan Penelitian Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan di atas, maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Terkait aspek matematis: Mendapatkan solusi persamaan gelombang gravitasi aliran air dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. 2. Terkait aspek pendidikan: Mendeskripsikan pemahaman siswa mengenai operasi bilangan desimal melalui pembelajaran menggunakan media air.
E. Batasan Masalah Batasan masalah pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Aliran air diasumsikan berdimensi satu. 2. Metode numeris yang dipakai dibatasi pada metode volume hingga LaxFriedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. 3. Subjek penelitian pendidikan adalah siswa kelas V SD N Jaban Sleman.
F. Kebaruan Penelitian Kebaruan dalam penelitian ini adalah penerapan pertama kali dua metode numeris untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi aliran air, yaitu metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 6
G. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat sebagai berikut: 1. Bagi pengembangan penelitian bidang terapan kaitannya dengan bencana alam yang disebabkan oleh aliran air. Dalam kehidupan masyarakat, hasil penelitian ini diharapkan dapat dipakai untuk simulasi bencana alam, misalnya banjir, tsunami, dan tanah longsor. 2. Bagi pengembangan pendidikan, penelitian ini diharapkan dapat menjadi kajian dalam pengembangan materi pembelajaran.
H. Metode Penelitian Penelitian ini akan dilakukan dalam beberapa tahapan. Diawali dengan studi pustaka guna mempelajari referensi-referensi yang berkaitan dengan persamaan gelombang gravitasi untuk aliran air, metode numeris yaitu metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff, dan sifat-sifat solusi persamaan. Kedua, membangun solusi numeris untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi untuk aliran air dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. Ketiga melakukan penyelidikan terhadap sifat-sifat solusi persamaan gelombang gravitasi untuk aliran air. Pada penelitian bidang pendidikan, tesis ini menggunakan pendekatan kualitatif deskriptif. Pengambilan data dilakukan di SD N Jaban Sleman. Metode pengumpulan data dilakukan dengan observasi langsung, observasi tidak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7
langsung, dan dokumentasi. Instrumen pengambilan data yang digunakan adalah Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) dan Lembar Kerja Siswa (LKS).
I. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut: 1. BAB I : PENDAHULUAN Dalam bab ini dibahas mengenai pendahuluan yang meliputi: latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, kebaruan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan. 2. BAB II : LANDASAN TEORI Bab ini berisi tentang teori-teori yang digunakan dalam penelitian ini, meliputi: persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial, sistem persamaan diferensial hiperbolik, hukum kekekalan, metode volume hingga, dan persamaan gelombang gravitasi untuk aliran air. 3. BAB III : HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini berisi tentang hasil yang diperoleh dalam penelitian dan pembahasannya. Hasil-hasil yang diperoleh adalah solusi persamaan gelombang gravitasi aliran air dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. 4. BAB IV : ASPEK PENDIDIKAN Pada bab ini dibahas mengenai penelitian atau penerapan aspek pendidikan mengacu pada topik bahasan dalam tesis ini. Rancangan pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8
matematika yang berkaitan dengan aliran air telah dibuat terlebih dahulu. Rancangan tersebut kemudian diterapkan di sekolah dasar. Pengambilan data secara kualitatif dilakukan untuk menganalisis penerapan rancangan pembelajaran dan pemahaman siswa tentang materi yang dipelajari. 5. BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran dalam penelitian. Kesimpulan mengenai solusi persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga LaxWendroff, serta aspek pendidikannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini berisi tentang teori-teori yang digunakan dalam penelitian, meliputi: persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial, sistem persamaan diferensial hiperbolik, hukum kekekalan, metode volume hingga, dan persamaan gelombang gravitasi untuk aliran air.
A. Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui (atau beberapa fungsi) dan memuat bentuk derivatif fungsi yang tidak diketahui tersebut. Derivatif dari sebuah fungsi atau
.
dapat dinotasikan dengan
Derivatif diinterpretasikan sebagai laju perubahan. Derivatif
dengan order yang lebih tinggi diinterpretasikan sebagai laju perubahan dari laju perubahan, sebagai percepatan, dan seterusnya (Agnew, 1942). Himpunan persamaan diferensial dapat digolongkan berdasarkan ordenya. Orde persamaan diferensial adalah orde atau tingkat dari derivatif tertinggi yang ada dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial linear ketika variabel terikat dan derivatifnya berpangkat satu (Agnew, 1942). Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial yang memuat derivatif biasa dari satu atau lebih fungsi terhadap satu variabel bebas. Persamaan diferensial biasa (PDB) hanya tergantung pada satu variabel bebas. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial yang memuat
9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10
derivatif parsial dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial parsial (PDP) tergantung pada lebih dari satu variabel bebas (Agnew, 1942).
B. Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan persamaan diferensial yang melibatkan derivatif parsial dari fungsi sembarang yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas (Setiawan, 2006). Bentuk umum PDP orde dua adalah sebagai berikut
dengan ,
, dan
dari , , ,
adalah fungsi dari
, dan
.
dan , sedangkan D merupakan fungsi
Berdasarkan pada nilai koefisien
,
, dan
, PDP
dapat dikategorikankan menjadi (Setiawan, 2006): Tabel 2.1 Kategori Persamaan Diferensial Parsial Nilai
Kategori
Contoh Persamaan Laplace
PDP Eliptik Persamaan Konduksi Panas PDP Parabolik Persaman Gelombang PDP Hiperbolik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11
C. Sistem Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik Sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik dapat digunakan untuk memodelkan bermacam-macam fenomena termasuk pergerakan gelombang dan pengangkutan substansi. Masalah yang diambil umumnya bergantung pada waktu, sehingga solusinya bergantung pada waktu serta satu atau lebih variabel ruang (LeVeque, 2004). Sistem persamaan diferensial parsial homogen orde satu dalam
dan
dalam dimensi satu memiliki bentuk
dalam kasus koefisien konstan linear paling sederhana. Disini adalah vektor dengan
komponen yang merepresentasikan fungsi yang tidak
diketahui (tekanan, kecepatan, dan lain-lain) yang akan diselesaikan, dan
adalah
matriks real konstan. Definisi 2.1 Bentuk sistem linear (LeVeque, 2004)
disebut hiperbolik jika matriks
dapat didiagonalisasi menggunakan
nilai eigen real. Dinotasikan nilai eigen dengan
Matriks dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah himpunan lengkap dari vektor eigen, yaitu jika terdapat vektor bukan nol sehingga
sedemikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 12
dan vektor ini adalah vektor bebas linear. Dalam kasus ini matriks [ |
| |
|
]
dibentuk dengan mengumpulkan vektor invers
, nonsingular dan memiliki
. Sehingga diperoleh
dengan
]
[
D. Hukum Kekekalan Salah satu bentuk persamaan hiperbolik homogen adalah hukum kekekalan. Munculnya hukum kekekalan dari prinsip fisika dapat dilihat berdasarkan masalah dinamika fluida paling sederhana (LeVeque, 2004). Udara atau cairan mengalir sepanjang pipa berdimensi satu dengan diketahui kecepatan , yang diasumsikan hanya berubah terhadap jarak Berdasarkan bagian pipa
dan waktu
, total massa pada bagian ini hanya
berubah dikarenakan fluks atau debit aliran partikel pada titik untuk
1, 2 sebagai debit aliran yang melalui titik
merupakan fluks ke kanan, sedangkan kiri. Total massa pada [
dan
. Diambil
. Ditentukan
merupakan fluks ke
] berubah hanya dikarenakan fluks, sehingga
diperoleh bentuk integral dari hukum kekekalan yaitu ∫
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13
Dalam kasus aliran fluida, fluks pada titik
pada waktu secara sederhana
dapat ditentukan sebagai hasil kali massa jenis fluida
dan kecepatan fluida
: fluks di Jika
.
sebagai fungsi yang diketahui, dapat dituliskan fluks=
Untuk fluks yang
yang hanya bergantung pada nilai , hukum kekekalan
dapat dituliskan sebagai ∫
)
(
)
(
Ruas kanan dapat dituliskan dengan penulisan notasi kalkulus: ∫ Jika diasumsikan bahwa
)|
( dan
adalah fungsi halus, persamaan tersebut dapat
ditulis sebagai ∫
∫
(
)
atau dimodifikasi sebagai ∫ [
(
Karena integral ini harus nol di semua nilai
)] dan
, sehingga integran harus
nol. Diperoleh bentuk diferensial dari hukum kekekalan yaitu: (
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14
E. Metode Volume Hingga Metode volume hingga didasarkan pada bentuk integral ∫
)
(
(
)
Dalam ruang dimensi satu, metode volume hingga membagi domain ruang ke dalam
interval-interval. Metode
volume
hingga
tidak secara
langsung
memperkirakan nilai di titik grid, domain dipecah ke dalam sel grid dan memperkirakan total integral dari
pada setiap sel grid dari masing-masing
volume, atau sebenarnya rata-rata sel dari . Setiap langkah waktu, nilai tersebut dimodifikasi dengan fluks pada tepi sel atau titik akhir interval. Masalah utama adalah menentukan fungsi fluks numeris yang dapat memperkirakan fluks secara tepat (LeVeque, 2004). Alat dasar yang digunakan untuk membangun metode volume hingga adalah masalah Riemann, yang menyederhanakan persamaan hiperbolik dengan initial data khusus. Data khusus tersebut adalah konstanta dengan satu lompatan diskontinu di beberapa titik, misalkan
Jika
dan
adalah rata-rata sel dari dua grid sel yang bersebelahan dalam
grid volume hingga, kemudian dengan menyelesaikan masalah Riemann dengan dan
, diperoleh informasi yang dapat digunakan untuk
menghitung fluks numeris dan memperbaharui rata-rata sel tiap langkah waktu. Dimisalkan sel grid ke- dengan (
⁄
⁄
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15
seperti pada Gambar 2.1 berikut 𝑄𝑖𝑛 𝑡𝑛 𝐹𝑖𝑛
𝐹𝑖𝑛
𝑡𝑛 𝑄𝑖𝑛
𝑄𝑖𝑛
𝑄𝑖𝑛
Gambar 2.1 Ilustrasi metode volume hingga untuk memperbaharui ratarata Nilai
dengan fluks pada tepi sel. Diperlihatkan dalam ruang
.
akan memperkirakan nilai rata-rata pada tiap interval ke- pada waktu
:
⁄
∫
∫ ⁄
dimana
⁄
⁄
adalah panjang sel.
Metode numeris dengan bentuk ( dimana
adalah pe ki aan ata ata
∫ dimana
) pada
( (
))
adalah langkah waktu.
Metode volume hingga yang spesifik tergantung pemilihan rumus fluks, tetapi pada umumnya, metode ini merupakan metode eksplisit dengan three-point stencil, yang berarti bahwa nilai pada level waktu sebelumnya.
bergantung pada tiga nilai
,
, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16
1. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs untuk menyelesaikan hukum )
(
kekekalan
dinyatakan sebagai berikut (
)
dengan fluks sebagai berikut ( (
( (
)
)
(
(
))
))
2. Metode Volume Hingga Lax-Wendroff Metode Volume Hingga Lax-Wendroff untuk menyelesaikan hukum (
kekekalan
)
dinyatakan sebagai berikut (
)
dengan fluks Lax-Wendroff adalah sebagai berikut
Di sini
(
)
(
)
(18)
(
)
(
)
(19)
(
) dan
(
).
F. Persamaan Gelombang Gravitasi untuk Aliran Air Masalah nyata dalam kehidupan dapat dimodelkan secara matematis.
Persamaan Saint-Venant merupakan suatu model matematika untuk aliran air.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17
Persamaan Saint-Venant terdiri dari dua persamaan diferensial parsial, yaitu kekekalan massa dan kekekalan momentum (Martins dkk, 2016), dituliskan sebagai berikut:
dan
(
)
dengan
melambangkan kedalaman air,
waktu,
merupakan variabel ruang,
mewakili debit,
merupakan variabel
adalah konstanta gravitasi,
merupakan
kemiringan alas, dan merupakan komponen gesekan. Persamaan Saint-Venant sering disederhanakan untuk alasan kepraktisan, waktu perhitungan yang lebih cepat, atau representasi fisik. Persamaan Saint-
Venant dapat disederhanakan menjadi persamaan gelombang kinematis, persamaan gelombang difusif, dan persamaan gelombang gravitasi (Martins dkk, 2016). Persamaan gelombang gravitasi yang merupakan penyederhanaan persamaan Saint-Venant dapat dituliskan sebagai berikut :
dan
dengan
mewakili kedalaman air,
mewakili debit, merupakan variabel waktu,
merupakan variabel ruang, dan
adalah konstanta gravitasi. Semua ukuran
diasumsikan dalam satuan SI.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN* Bab ini berisi tentang hasil yang diperoleh dalam penelitian dan pembahasannya. Hasil-hasil yang diperoleh adalah solusi persamaan gelombang gravitasi aliran air dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. A. Solusi Persamaan Gelombang Gravitasi dengan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs Diberikan persamaan gelombang gravitasi sebagai berikut (1)
dan (2)
Dimana
mewakili kedalaman air;
gravitasi;
adalah variabel waktu and
mewakili debit;
merupakan konstanta
adalah variabel ruang. Semua kuantitas
diasumsikan dalam satuan SI. Persamaan gelombang gravitasi (1)-(2) adalah hukum kekekalan (conservation laws) dengan bentuk (
)
(3)
atau ̅
̅ ̅
̅
*
(4)
Hasil penelitian dalam bab ini telah diterbitkan dalam Journal of Physics: Conference Series, Vol. 1007, Artikel 012008, Tahun 2018 (terindeks Scopus). 18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19
dimana ̅
̅
̅ ̅
dan ̅ ̅
(5)
dengan ̅
(6)
( )
dan ̅ ̅
(
(7)
)
Dapat dituliskan persamaan gelombang gravitasi sebagai ( )
(
)
( )
(8)
Dalam bentuk lain, persamaan gelombang gravitasi yaitu (9) dan (10) dimana
dan
Conservation laws (3) diselesaikan dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs (
dimana adalah langkah ruang.
;
((
)
));
(11)
adalah langkah waktu;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20
Fluks Lax-Friedrichs dari (1) adalah
(12) dan
(13)
Fluks Lax-Friedrichs dari (2) adalah
((
)
((
)
(
) )
(14)
)
(15)
dan
(
)
1. Simulasi Gelombang Kontinu Simulasi gelombang kontinu dilakukan dengan melakukan simulasi permukaan air, kondisi awal permukaan air dapat dilihat pada Gambar 3.1. Permukaan air disimulasikan dengan menggunakan fungsi kondisi awal kedalaman air sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21
, jika 1.75 Dinotasikan
, jika untuk kecepatan air. Catatan bahwa debit air
. Dalam simulasi ini digunakan banyak sel , langkah waktu Simulasi ini dihentikan saat , untuk semua . Kondisi batas ,
, dan konstanta gravitasi
.
. Kondisi awal kecepatan air adalah , . Diberikan
adalah interval [
, langkah ruang
dan di , sehingga domain ruang
].
Gambar 3.1. Grafik kondisi awal permukaan air dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22
Gambar 3.2. Grafik permukaan air setelah simulasi di dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs.
Setelah menyelesaikan permasalahan tersebut menggunakan metode LaxFriedrichs, permukaan air saat
disajikan dalam Gambar 3.2. Kondisi ini
realistis seperti halnya jika diberikan satu tetesan di tengah domain, akibat efek gravitasi, kemudian didapatkan dua gelombang. Salah satu menuju ke arah kiri dan yang lainnya menuju ke arah kanan.
2. Simulasi Gelombang Diskontinu Dipandang masalah bendungan bobol. Kondisi awal air untuk masalah bendungan bobol disajikan dalam Gambar 3.3. Terdapat diskontinuitas untuk kedalaman air. Saat
, diasumsikan bahwa dinding bendungan seluruhnya
dihilangkan. Simulasi diberikan untuk mengetahui bagaimana perilaku metode volume hingga Lax-Friedrichs untuk masalah diskontinu ini saat waktu
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23
Tanggul Permukaan air
Permukaan air
𝑥
Gambar 3.3. Kondisi awal masalah bendungan bobol. Untuk kasus bendungan bobol seperti tampak pada Gambar 3.3, solusi eksak dari kedalaman air (Martins dkk, 2016) adalah , jika ⁄
, jika
⁄
, jika , jika
.
Solusi eksak untuk kecepatan air (Martins dkk, 2016) adalah 0
, jika ⁄
⁄ [
⁄
, jika ]
, jika , jika
dimana adalah kecepatan perambatan gelombang. Sebagai tambahan, √
⁄
⁄
√
⁄
√
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24
Selanjutnya,
adalah kecepatan gelombang kejut diberikan sebagai berikut ⁄
√
Berikut disajikan hasil simulasi numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan simulasi eksak. Di sini adalah variabel waktu,
adalah variabel ruang,
adalah konstanta gravitasi,
kedalaman air,
adalah
adalah kecepatan air. Dalam simulasi ini digunakan
,
,
,
. Di sini
adalah banyaknya sel
ruang. Simulasi dihentikan pada saat
. Diasumsikan bahwa kondisi awal
kedalaman air adalah
. Kondisi awal kecepatan aliran air
adalah
dan
, untuk semua dan di
. Kondisi batas di
,
domain ruang adalah interval [
. Diambil
, , sehingga
].
Gambar 3.4. Grafik kedalaman air dan kecepatan air menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan eksak. Digunakan , , .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25
Dalam tesis ini untuk menghitung error digunakan rumus sebagai berikut: ∑
dan ∑
Disini,
merupakan error solusi numeris dari kedalaman air,
merupakan error solusi numeris dari kecepatan air, eksak,
adalah kedalaman numeris, adalah kecepatan numeris, dan
adalah kedalaman adalah kecepatan eksak,
merupakan banyaknya sel ruang.
Konvergensi dihitung untuk menentukan tingkat keakuratan metode yang digunakan. Dalam menghitung konvergensi digunakan rumus sebagai berikut:
dan
Disini,
merupakan konvergensi dari solusi numeris kedalaman air, merupakan konvergensi dari solusi numeris kecepatan air, dan
menunjukkan urutan penghitungan. Hasil penghitungan error dan konvergensi disajikan dalam Tabel 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26
Tabel 3.1. Error solusi numerik 1 2 3 4 5
100 200 400 800 1600
0.0981 0.0601 0.0360 0.0202 0.0112
0.1122 0.0699 0.0418 0.0236 0.0131
Konvergensi 0.6126 0.5990 0.5611 0.5545
Konvergensi 0.6230 0.5980 0.5646 0.5551
Gambar 3.4 memperlihatkan grafik simulasi numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan simulasi eksak. Hasil numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs stabil dengan beberapa kondisi dan konvergen ke solusi eksak. Tabel 3.1 menunjukkan bahwa semakin besar nilai
yang diambil, dengan
adalah banyaknya sel ruang, maka semakin
kecil error yang dihasilkan. Hal ini berarti bahwa semakin besar nilai
yang
diambil, maka akan diperoleh hasil yang lebih akurat. Hasil yang diperoleh semakin akurat tetapi memerlukan waktu komputasi yang lebih lama jika nilai semakin besar. Berdasarkan nilai konvergensi, baik diperoleh bahwa jika
dibuat dua kalinya atau
maupun dibuat
setengahnya, maka errornya menjadi setengah error sebelumnya, artinya metode tersebut mempunyai keakuratan tingkat 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27
B. Solusi Persamaan Gelombang Gravitasi dengan Metode Volume Hingga Lax-Wendroff Bentuk diskret dari persamaan (4) sebagai berikut: (16) ( dimana
̅
)
̅(̅ (
;
));
(17) adalah langkah waktu;
adalah langkah ruang. Fluks Lax-Wendroff adalah
Di sini
(
)
(
)
(18)
(
)
(
)
(19)
(
) dan
(
).
Bentuk diskret hukum kekekalan massa adalah (
)
(20)
Fluks Lax-Wendroff untuk hukum kekekalan massa adalah sebagai berikut: (21)
(22) dengan,
adalah fluks untuk hukum kekekalan massa;
;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28
Bentuk diskret hukum kekekalan momentum adalah (
)
(23)
Fluks Lax-Wendroff untuk hukum kekekalan momentum adalah ((
)
((
)
dengan,
(
(
) )
((
)
)
((
)
)
(
(
) )
(24)
)
(25)
)
adalah fluks untuk hukum kekekalan momentum, ;
Dengan menggunakan (18) and (19), untuk persamaan gelombang gravitasi dimana
],
[
(
langkah ruang,
*
+,
adalah langkah waktu,
) dan
(
adalah
) diperoleh
[
]
[
]
(26)
[
]
[
]
(27)
1. Simulasi Gelombang Kontinu Simulasi gelombang kontinu menggunakan metode volume hingga LaxWendroff dalam tesis ini juga dilakukan dengan melakukan simulasi permukaan air. Kondisi awal permukaan air yang diperlihatkan oleh Gambar 3.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29
disimulasikan dengan menggunakan fungsi kondisi awal kedalaman air sebagai berikut: , jika 1.75 Dinotasikan
, jika untuk kecepatan air. Catatan bahwa debit air
Simulasi ini menggunakan banyak sel langkah waktu
, dan konstanta gravitasi
kecepatan air adalah
, untuk semua dan di
Diberikan dihentikan saat
, langkah ruang
,
. Kondisi awal
. Kondisi batas
,
, sehingga domain ruang adalah interval [
.
, .
]. Simulasi ini
.
Gambar 3.5. Grafik kondisi awal permukaan air menggunakan metode volume hingga Lax-Wendroff.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30
Gambar 3.6 menunjukkan permukaan air saat menggunakan
metode
volume
hingga
yang diselesaikan
Lax-Wendroff.
Gambar
tersebut
menunjukan kondisi realistis bahwa akibat efek gravitasi, diperoleh dua gelombang, salah satu menuju ke arah kiri dan yang lain menuju ke arah kanan jika diberikan satu tetesan di tengah domain.
Gambar 3.6. Grafik permukaan air setelah simulasi di metode volume hingga Lax-Wendroff.
menggunakan
2. Simulasi Gelombang Diskontinu Masalah bendungan bobol yang telah diselesaikan secara analitik oleh Martins dkk (2016), juga digunakan dalam tesis ini untuk menyelidiki performa metode volume hingga Lax-Wendroff untuk gelombang diskontinu. Dalam simulasi ini digunakan banyak sel waktu
, langkah ruang
, konstanta gravitasi
. Diasumsikan bahwa kedalaman air adalah
, langkah
. Simulasi dihentikan saat untuk semua nilai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31
negatif dan adalah
untuk semua nilai , untuk semua dan di
positif. Kondisi awal untuk kecepatan air
. Kondisi batas di
,
sehingga domain ruang adalah interval [
,
. Di sini diambil
,
].
Gambar 3.7. Grafik kedalaman air dan kecepatan air menggunakan metode volume hingga Lax-Wendroff dan eksak. Diperoleh melalui perbandingan dengan solusi analitik bahwa untuk masalah diskontinu, metode volume hingga Lax-Wendroff menghasilkan osilasi artifisial seperti pada Gambar 3.7, seberapapun kecil langkah waktu yang diambil. Ini dikarena derajat keakuratan metode ini yang lebih dari satu. Tidak diaplikasikan fluks limiter pada metode ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV ASPEK PENDIDIKAN A. Pembelajaran di Sekolah Dasar Pembelajaran yang dilaksanakan di sekolah tentunya bertujuan untuk meningkatkan pemahaman siswa akan suatu materi. Untuk mencapai tujuan tersebut,
dalam
perencanaan
pembelajaran
harus
memperhatikan
tahap
perkembangan kognitif siswa. Siswa sekolah dasar berada dalam rentang usia 612 tahun, menurut Piaget, perkembangan kognitif anak pada usia tersebut termasuk dalam tahap operasional konkrit. Pada tahap ini, anak sudah mampu untuk menggunakan pemikiran logika atau operasi, tetapi hanya untuk objek fisik yang ada. Proses belajar pada fase ini dapat dilakukan sambil bermain dengan benda-benda yang ada di sekitarnya (Surya, 2013; Djiwandono, 2006). Matematika dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah nyata yang dihadapi oleh manusia. Rancangan pembelajaran dalam penelitian ini mencoba mengajak siswa untuk melihat kejadian-kejadian yang ada di sekitarnya. Dalam kejadian tersebut bisa jadi terdapat masalah bagi siswa, yang harus diselesaikannya. Air merupakan hal yang sering sekali dijumpai oleh siswa. Peneliti mencoba menggunakan air sebagai media pembelajaran. Sebelum melakukan pembelajaran, peneliti telah membuat rancangan pembelajaran yang akan dilaksanakan dalam dua kali pertemuan, setiap pertemuan terdiri dari 2 jam pelajaran atau 2 x 45 menit. Pelaksanaan pembelajaran yang dibahas dalam tesis ini adalah pembelajaran dengan menyajikan masalah ketinggian air, kegiatan yang dilakukan oleh siswa secara
32
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33
garis besar adalah melakukan pengukuran ketinggian air. Kerja kelompok diterapkan untuk melatih keaktifan siswa dalam kelompok. Kegiatan yang dilakukan akan membuat siswa lebih santai dan tidak jenuh selama proses belajar. Penelitian ini dilakukan dalam pembelajaran materi operasi hitung bilangan desimal, berfokus pada penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal. Penelitian ini menggunakan penelitian kualitatif deskriptif. Penelitian ini menekankan pada keadaan sebenarnya dan berusaha mengungkapkan fenomenafenomena yang ada dalam keadaan tersebut. Penelitian ini digunakan untuk mendeskripsikan proses pembelajaran matematika dengan memanfaatkan media air pada materi bilangan desimal. Penelitian ini dilaksanakan dalam beberapa tahapan penelitian meliputi: perijinan penelitian, pelaksanaan pemebelajaran atau observasi langsung, dan analisis data. Pembelajaran dilaksanakan dalam dua kali pertemuan yaitu pada Hari Selasa, 21 November 2017 dan Rabu, 22 November 2017. Subjek penelitian ini adalah siswa kelas V SD N Jaban Sleman. Kelas tersebut terdiri atas 31 siswa, yaitu 14 putra dan 17 putri. Saat pembelajaran dilaksanakan, peneliti bertindak sebagai guru. Data yang diperoleh oleh peneliti berupa foto-foto, video selama pembelajaran dan hasil pengerjaan siswa pada LKS.
B. Pembelajaran dengan Menggunakan Media Air Pembelajaran dengan menggunakan media air, selain air terdapat beberapa peralatan yang harus disediakan yaitu toples, gelas, botol, penggaris. Toples yang disediakan berupa toples transparan atau tembus pandang agar siswa dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 34
melihat permukaan air dari samping. Gelas digunakan sebagai alat dalam mengukur seberapa banyak air yang harus dimasukkan ke dalam toples. Botol dengan volume 1500 ml digunakan untuk menampung air sebelum dilakukan percobaan. Penggaris digunakan untuk mengukur ketinggian air dalam toples. Untuk melakukan percobaan, siswa dibagi dalam beberapa kelompok, dalam penelitian ini, siswa dibagi ke dalam delapan kelompok yang tiap kelompok beranggotakan 3-4 siswa. Pembentukan kelompok ini dimaksudkan agar siswa dapat saling bekerja sama untuk melakukan percobaan. Melalui dinamika kelompok diharapkan siswa dapat saling berdiskusi dan semakin aktif selama pembelajaran. Dalam setiap pertemuan telah dipersiapkan LKS untuk membantu siswa melakukan percobaan. LKS digunakan untuk mencatat data dan mengolah data hasil percobaan.
C. Penggunaan Media Air dalam Pembelajaran Penggunaan media air dalam pembelajaran ini yaitu dengan mengukur ketinggian air dalam toples. Siswa ditugaskan untuk mengumpulkan data tentang ketinggian air jika dilakukan perubahan pada volume air. Keterampilan siswa dalam pengukuran dan ketelitian siswa mempengaruhi proses pengumpulan data. Diskusi dilakukan oleh siswa untuk mendapatkan kesepakatan dalam pengukuran tinggi air, apakah dari dalam toples atau dari luar toples, tiap-tiap kelompok memiliki kesepakatan yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35
Pada pertemuan pertama siswa melakukan tiga kali percobaan berdasarkan LKS 1. Percobaan yang dilakukan siswa pada pertemuan pertama adalah mengukur ketinggian air mula-mula, ketinggian air setelah dilakukan penambahan pertama, dan ketinggian air setelah penambahan kedua. Setelah melakukan tiga kali percobaan dan menuliskan hasil yang diperoleh, siswa melakukan pengolahan data pada tiap-tiap percobaan. Pengolahan data yang dilakukan pada pertemuan pertama adalah menghitung selisih tinggi air mula-mula dengan tinggi air setelah penambahan pertama, menghitung selisih tinggi air setelah penambahan pertama dengan tinggi air setelah penambahan kedua, dan menghitung tinggi akhir air berdasarkan tinggi mula-mula ditambahkan dengan selisih-selisih ketinggian yang telah dihitung sebelumnya. Pada pertemuan kedua siswa melakukan dua kali percobaan berdasarkan LKS 2. Percobaan dilakukan dengan mengukur ketinggian air mula-mula, mengumpulkan data kenaikan tinggi air pada tiap penambahan volume air (dilakukan tiga kali penambahan), dan pengukuran tinggi akhir air. Pengolahan data dilakukan dengan melakukan pejumlahan semua kenaikan air atau mencari total kenaikan air. Disajikan data tentang tinggi akhir air dan tinggi air ditambah total kenaikan tinggi air. Terdapat perbedaan pada percobaan pertama dan percobaan kedua, jika percobaan pertama tinggi air mula-mula dan penambahan volume air ditentukan oleh guru, pada percobaan kedua siswa bebas untuk menentukan tinggi air mula-mula dan volume penambahan air.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36
D. Tingkat Pemahaman Siswa tentang Materi Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Desimal Pengukuran ketinggian air yang dilakukan oleh siswa mendapatkan data berupa bilangan desimal. Pengolahan data dipengaruhi oleh pemahaman siswa tentang bilangan desimal, dalam penelitian ini mencoba melihat pemahaman siswa tentang penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal. Hasil pekerjaan siswa memperlihatkan tingkat pemahaman yang berbeda. Hasil kerja siswa pada pertemuan pertama sebagian besar siswa telah dapat melakukan operasi pengurangan dan penjumlahan bilangan desimal, salah satu hasil pekerjaan siswa dapat dilihat pada Gambar 4.1 (Lampiran C.2).
Gambar 4.1. Siswa dapat melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37
Siswa dapat melakukan operasi pengurangan dan pengurangan, tetapi salah dalam memahami perintah yang diberikan atau salah dalam menggunakan data. Pada Gambar 4.2 (Lampiran C.3) terlihat pada percobaan II siswa telah mampu menghitung selisih tinggi air, namun saat mengisi tabel siswa salah memasukkan data, seharusnya siswa memasukkan selisih yang diperoleh tetapi yang dilakukan siswa adalah memasukkan tinggi air setelah penambahan. Hal ini menimbulkan kesalahan penghitungan walaupun secara algoritma siswa sudah benar dalam menjumlahkan.
Gambar 4.2. Siswa salah dalam memasukkan data.
Terdapat siswa yang salah dalam melakukan operasi pengurangan bilangan desimal. Gambar 4.3 (Lampiran C.4) menunjukkan bahwa pada percobaan I pertanyaan 2, siswa salah dalam menghitung siswa adalah
, jawaban
. Diindikasikan siswa menggunakan metode hitung bersusun,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38
karena bilangan yang diatas lebih kecil dari yang dibawah, siswa tidak mendapatkan hasilnya. Kemudian yang dilakukan siswa adalah mengurangkan bilangan di bawah yang lebih besar dengan bilangan di atas yang lebih kecil sehingga dia bisa memperoleh hasil.
Gambar 4.3. Kesalahan hitung.
Melalui percobaan yang dilakukan pada pertemuan kedua, diketahui bahwa siswa telah telah dapat melakukan operasi hitung penjumlahan, tetapi belum teliti dan konsisten dalam melakukan pengukuran, seperti tampak pada Gambar 4.4 (Lampiran C.5). Ketidaktelitian dan ketidakkonsistensian dalam pengukuran dapat dilihat dari selisih hasil yang cukup besar antara “Tinggi akhir ai ” dan “Tinggi ai mula-mula + Total kenaikan tinggi akhi ” yang diha apkan hasilnya akan sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39
Gambar 4.4. Kesalahan pengukuran.
Dari hasil kerja siswa memperlihatkan bahwa siswa tidak memahami soal yang diberikan, hal ini berpengaruh dalam pengolahan data dan hasil yang diperoleh tidak sesuai dengan yang diharapkan, dapat dilihat pada Gambar 4.5 (Lampiran C.6).
Gambar 4.5. Kesalahan dalam memahami masalah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40
Siswa yang memahami masalah mencoba membandingkan hasil pengukuran tinggi akhir air dengan hasil penjumlahan tinggi air mula-mula dengan total kenaikan air, siswa tersebut mendapatkan hasil sesuai dengan yang diharapkan dan merasa puas dengan hasil pengerjaannya, seperti terlihat pada Gambar 4.6 (Lampiran C.7).
Gambar 4.6. Siswa memperoleh hasil yang sesuai.
E. Refleksi Keinginan dalam diri untuk menjadi pribadi yang terus berkembang menjadi lebih baik, menanggapi panggilan jiwa yang termanifestasikan dalam niat dan kehendak yang kuat untuk melakukan pembenahan dan perbaikan atas ketidaktahuan dan ketidakpahaman, memantapkan saya untuk melanjutkan studi strata dua. Saya memilih Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister Universitas Sanata Dharma sebagai tempat saya menempuh sarjana strata dua. Hal ini tak lepas dari kesan yang begitu melekat pada diri saya bahwa saya sungguh bisa meningkatkan kualitas diri saat saya menjalani pendidikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41
strata satu di universitas ini. Saya terus berproses untuk dapat menemukan makna diri sebagai mahkluk yang cerdas dan humanis. Belajar pada jenjang strata dua menjadi pergerakan edukatif yang saya harapkan memberikan pengalaman-pengalaman baru yang baik dan bermakna. Peluang mendapatkan pengalaman baru tentu saja perlu saya ciptakan, salah satunya saat menentukan topik penelitian. Jika pada jenjang strata satu saya memilih mengambil bidang pendidikan sebagai kajian skripsi saya, pada jenjang strata dua ini saya mengambil bidang matematika sebagai kajian tesis saya. Keputusan saya ini tentunya membawa konsekuensi bagi diri saya. Secara mandiri menghubungi Bapak Sudi Mungkasi untuk meminta kesediaan beliau menjadi dosen pembimbing tesis saya, dan beliau bersedia. Namun ternyata, diangkatan saya, hanya saya sendiri yang menjadi mahasiswa bimbingan beliau. Beliau meminta saya untuk bergabung dengan mahasiswa lain, yang telah memulai bimbingan pada semester sebelumnya. Saat bimbingan bersama, saya merasa bingung apa yang harus saya lakukan dan kerjakan. Walaupun beliau telah memberikan referensi paper yang mungkin bisa saya gunakan sebagai topik penelitian saya, saya belum bisa masuk dalam diskusi yang dilakukan, saya merasa minder dan merasa diri paling tidak tahu apa-apa. Paper yang diberikan oleh dosen pembimbing berusaha saya pahami, sulit sekali rasanya untuk paham. Banyak istilah yang digunakan dalam paper yang baru sekali itu saya temui, saya berusaha untuk mencari sumber lain yang sekiranya dapat menjawab ketidaktahuan saya. Tantangan baru muncul, banyak literatur yang menggunakan bahasa Inggris, ada usaha lebih untuk memahami
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42
materi karena keterbatasan kemampuan berbahasa Inggris. Baru membaca sedikit, sudah banyak yang belum saya pahami, rasanya ingin sekali menyerah, malas untuk melanjutkan. Pada saat-saat seperti itu, yang bisa saya lakukan hanya diam, berpasrah kepada Tuhan sambil mengingat kembali komitmen yang telah saya buat, dengan berbagai cara, Tuhan kembali membangun semangat saya. Kajian topik matematika, terutama komputasi matematika tidak lepas dari penggunaan software komputer, misalnya MATLAB. Topik yang saya pilih menuntut saya untuk dapat menggunakan MATLAB dengan baik. Selamat datang pada kebingungan selanjutnya. Saya mengetahui tentang MATLAB saat saya menempuh pendidikan strata satu, namun hanya sedikit tahu dan tidak pernah menggunakannya. Dengan kemampuan yang minim, saya mulai membuat program menggunakan MATLAB. Saya bertanya kesana kemari kepada teman yang saya rasa dapat membantu saya. Saat mencoba running program, ada saja yang kurang tepat, sehingga program tidak bisa berjalan. Saya bersyukur mendapatkan dosen pembimbing yang peduli dengan kelemahan saya, dan selalu siap untuk membantu. Dari sini pula saya belajar tentang ketelitian, ketekunan, dan kesabaran. Mengambil penelitian bidang matematika, tidak melepaskan saya dari kewajiban untuk melakukan penelitian bidang pendidikan karena memang program studi yang saya ambil akan membawa saya pada status lulusan pendidikan matematika. Saya juga harus melakukan penelitian pendidikan yang merupakan penerapan di sekolah, berhubungan dengan penelitian bidang matematika yang saya ambil. Usaha menerapkan ilmu matematika yang saya kaji
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43
dengan pembelajaran di sekolah memerlukan berbagai pertimbangan, terlebih mengingat agar penelitian saya tidak menggangu aktivitas belajar mengajar di sekolah yang saya gunakan untuk penelitian. Tuntutan ini mendorong terciptanya nalar yang lebih baik, kritis, dan peka terhadap lingkungan sekitar dengan berusaha menghubungan kajian matematika dengan pendidikan. Berbagai pengalaman baru lainnya
saya peroleh selama menjalani
perkuliahan di Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister Universitas Sanata Dharma. Upaya mendapatkan pemahaman baru dalam bidang ilmu pendidikan matematika tidak hanya dilakukan melalui pembelajaran di kelas, tetapi diberikan kesempatan bagi mahasiswa untuk terlibat dalam berbagai seminar nasional dan internasional, baik menjadi peserta maupun menjadi pemakalah. Saya mendapatkan tiga kesempatan untuk menjadi pemakalah nasional dan tiga kesempatan menjadi pemakalah internasional. Menjadi pemakalah sungguh menjadi pengalaman yang berharga bagi saya, terlebih menjadi
pemakalah
internasional,
saya
harus
menguasai
materi
yang
presentasikan dan menyakinkan dalam diri bahwa saya mampu berkomunikasi dalam bahasa Inggris. Pengalaman inilah yang juga memacu semangat saya untuk lebih meningkatkan kemampuan berbahasa Inggris saya. Belajar bahasa Inggris menjadi usaha sadar saya untuk sedapat mungkin melepaskan diri dari ketidaktahuan tentang banyak hal, ini terutama dalam bidang pendidikan matematika. Kehendak untuk terjadi perubahan-perubahan baik dalam diri dengan menempuh studi strata dua tidak lepas pada realitas-realitas kehidupan yang saya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44
jalani di luar kampus. Dinamika kehidupan di dalam keluarga menuntut diri saya untuk dinamis, peka, dan peduli dengan persoalan yang dihadapi oleh anggota keluarga yang lain. Pandangan dan pemikiran baru mengenai realitas lingkungan yang dihadapi perlahan muncul. Gejolak dalam diri pada usia saat ini untuk minimal secara mandiri memenuhi kebutuhan finansial, menguji komitmen diri untuk meyelesaikan tanggung jawab sebagai mahasiswa. Saya berharap, segala dinamika yang terjadi baik di kampus maupun di luar kampus telah membantu saya melakukan pembenahan diri yang berguna bagi diri sendiri maupun kepentingan bersama. Pertarungan dalam diri melawan ketidaktahuan dan ketidakmampuan yang coba saya lakukan secara bertahap dan berkesinambungan semoga dapat memberikan kedewasaan dalam memandang dan menilai kehidupan yang rumit serta dapat membaca kehidupan secara lebih rasional. Saya tidak akan berhenti di suatu titik dan tidak akan mengakhiri dengan satu kepuasan, saya akan terus belajar, terus bergerak mendapatkan hal baru. Berkomitmen untuk membangun etos diri melalui kegiatan-kegiatan konstruktif, mengaktualisasikannya dalam kehidupan sehari-hari, sehingga diri saya bernilai guna dan bermanfaat untuk semua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran dalam penelitian. Kesimpulan mengenai solusi persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff.
A. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Terkait aspek matematis: Telah diperoleh simulasi numeris persamaan gelombang gravitasi menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode volume hingga Lax-Wendroff. Hasil numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs stabil dengan beberapa kondisi. Solusi numeris konvergen ke solusi eksak. Simulasi numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Wendroff diperoleh bahwa metode ini berhasil menyelesaikan gelombang kontinu, tetapi menghasilkan osilasi artifisial saat menyelesaikan gelombang diskontinu. 2. Terkait aspek pendidikan: Pembelajaran menggunakan media air dapat membantu siswa dalam memahami bilangan desimal. Sebagian besar siswa telah dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan desimal, namun ada juga siswa yang belum paham mengenai operasi bilangan desimal, terutama operasi pengurangan. Data yang diperoleh siswa diperngaruhi oleh keterampilan dan ketelitian siswa saat melakukan pengukuran.
45
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 46
B. Saran Saran untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut: 1. Terkait aspek matematis: Pada penelitian selanjutnya dapat dicari jalan untuk menghilangkan osilasi artifisial pada simulasi numeris menggunakan metode volume hingga Lax-Wendroff. 2. Terkait aspek pendidikan: Pada penelitian ini siswa diminta untuk menyelesaikan masalah secara berkelompok, namun hal ini menyebabkan tidak diketahui secara pasti jumlah siswa yang telah paham dan belum paham. Pada penelitian selanjutnya, dapat dilakukan pembelajaran dengan menggunakan media air yang permasalahannya diselesaikan secara individu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Agnew, R. P. 1942. Differential Equations. New York: McGraw-Hill Book Company, Isc. Aronica, G., Tucciarelli, T., and Nasello, C. 1998. “2D Multilevel Model for Flood Wave Propagation in Flood-Affected Areas”. Journal of Water Resources Planning and Management, 124, 210-217. Badan Nasional Penanggulangan Bencana (BNPB). 2016. Potensi Ancaman Bencana.
(Online).
Tersedia:
http://www.bnpb.go.id/pengetahuan-
bencana/potensi-ancaman-bencana (diakses: 7 Juni 2016). Bates, P. D., Horritt, M. S., and Fewtrell, T. J. 2010. “A Simple Inertial Formulation of The Shallow Water Equations for Efficient TwoDimensional Flood Inundation Modelling”. Journal of Hydrology, 387, 3345. De Almeida, G. A. M., Bates, P., Freer, J. E., and Souvignet, M. 2012. “Improving The Stability of A Simple Formulation of The Shallow Water Equations for 2-D Flood Modeling”. Water Resources Research, 48, Artikel 05528. Djiwandono, S. E. W. 2006. Psikologi Pendidikan. Jakarta: Grasindo. LeVeque, R. J. 2004. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press.
47
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48
Mangeney, A., Heinrich, P., and Roche, R. 2000. “Analytical Solution for Testing Debris Avalanche Numerical Models”. Pure and Applied Geophysics, 157, 1081-1096. Manzella, I., Lisjak, A., Mahabadi, O. K., and Grasselli, G. 2011. Influence of Initial Block Packing on Rock Avalanche Flow and Emplacement Mechanisms through FEM/DEM Simulations. Tersedia: http://archiveouverte.unige.ch/unige:40396. Martins, R., Leandro, J., and Djordjevic, S. 2016. “Analytical Solution of The Classical Dam-Break Problem for The Gravity Wave-Model Equations”. Journal of Hydraulic Engineering, 142, Artikel 06016003. Mungkasi, S. 2013 “Penerapan Model Saint-Venant dan Metode Volume Hingga dalam Beberapa Masalah Bencana Alam”. Prosiding Seminar Nasional Riset dan Teknologi Terapan RiTekTra. Purwitaningsih, C. H., Mungkasi, S. 2018. “Performance of the Lax-Wendroff Finite Volume Method for Solving the Gravity Wave-model Equations”. Journal of Physics: Conference Series, 1007, Artikel 012008. Setiawan, A. 2006. Pengantar Metode Numerik. Yogyakarta : Andi Offset. Seyoum, S. D., Vojinovic, Z., Price R K and Weesakul S 2012 “Coupled 1D and Noninertia 2D Flood Inundation Model for Simulation of Urban Flooding”. Journal of Hydraulic Engineering, 138, 23-34. Surya, M. 2013. Psikologi Guru: Konsep dan Aplikasi. Bandung: Alfabeta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN A
49
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50
Lampiran A.1 Kode MATLAB Simulasi Gelombang Kontinu Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs (Gambar 3.1 dan Gambar 3.2) tic clc clear all tf=5; dx=0.01; dt=0.1*dx; x=-25:dx:25; t=0:dt:tf; nx=length(x); nt=length(t); hA = 1.75; h=hA*ones(1,nx); q=zeros(1,nx); Q=zeros(2,nx); H=zeros(2,nx); g=9.81;
%diskritisasi ruang %diskritisasi waktu %banyaknya elemen dalam ruang diskrit %banyaknya elemen dalam waktu diskrit %tinggi air dalam keadaan tenang %penyimpanan hasil perhitungan h %penyimpanan hasil perhitungan q %penyimpanan hasil perhitungan Q %penyimpanan hasil perhitungan H
%nilai awal for j=1:nx if x(j)= -pi h(j)=2 + 0.25*cos(x(j)); end end plot(x,h) ylim([0 2.5]) %STOP Q=[h;q]; H=[q;(g/2)*(h.^2)]; %nilai batas Q(1,1) = hA; Q(2,1) = 0; %perhitungan nilai H dan Q for n=1:nt Qold = Q; h = Qold(1,:); q = Qold(2,:); hp1=[Qold(1,2:end) Qold(1,end)]; hm1=[Qold(1,1) Qold(1,1:end-1)]; qp1=[Qold(2,2:end) Qold(2,end)]; qm1=[Qold(2,1) Qold(2,1:end-1)]; Fka1=(q+qp1)/2 - dx/dt*(hp1-h)/2; Fka2=(0.5*g*h.^2+0.5*g*hp1.^2)/2 - dx/dt*(qp1-q)/2;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51
Fka=[Fka1;Fka2]; Fki1=(qm1+q)/2 - dx/dt*(h-hm1)/2; Fki2=(0.5*g*hm1.^2+0.5*g*h.^2)/2 - dx/dt*(q-qm1)/2; Fki=[Fki1;Fki2]; Q = Qold - dt/dx * (Fka-Fki); %syarat batas Q(1,1) = hA; Q(1,nx) = hA; Q(2,1) = 0; Q(2,nx) = 0; plot(x,Q(1,:)) ylim([0 2.5]) xlabel('x') ylabel('h(x,t)') pause(0.000000000000001) end toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52
Lampiran A.2 Kode MATLAB Simulasi Gelombang Diskontinu Menggunakan Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs (Gambar 3.4) tic clc clear tf=1; dx=0.05; %N=100 dx=0.2, N=200 dx=0.1, N=400 dx=0.05, N=800 dx=0.025, N=1600 dx=0.0125, N=3200 dx=0.00625 dt=0.1*dx; %%%%%%%HATI_HATI dt jangan terlalu besar x=-10:dx:10; %diskritisasi ruang t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu nx=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit nt=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit H=zeros(nt,nx); %penyimpanan hasil perhitungan H Q=zeros(nt,nx); %penyimpanan hasil perhitungan Q g=9.81; h1=10; h0=5; %nilai awal for j=1:nx if x(j)
