Relasi Ekivalen & Kompatibel [PDF]

Citation preview

RELASI EKIVALEN DAN RELASI KOMPATIBEL KABUR Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Teori Fuzzy



Dosen Pengampu : Aning Widayanti, S.Si, M.Pd



Disusun oleh : Kelompok 6 1. Dyota Ayu Puspita



( D74217040)



2. Lathifatun Nadhiroh



( D74217089 )



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA TAHUN AKADEMIK 2019 / 2020



A. Realsi Ekivalen Kabur Relasi biner teratur R( X , X ) yang refleksif, simetris, dan transitif disebut relasi ekivalensi. untuk setiap elemen x dalam X, kita dapat mendefinisikan keteraturan himpunan A x, yang berisi semua elemen dari X yang terkait dengan x oleh relasi ekivalensi. Secara formal,



A x ={ y|( x , y ) ∈ R ( X , X ) } A x jelas merupakan himpunan bagian dari X. Elemen itu sendiri terkandung dalam A x karena refleksivitas R ; karena r transitif dan simetris, setiap anggota A x terkait dengan semua anggota A xlainnya. Selanjutnya, tidak ada elemen A x yang terkait dengan elem X yang tidak termasuk dalam A x .Himpunan A x disebut sebagai kelas ekivalensi R ( X , X )sehubungan dengan x. Anggota dari setiap kelas ekivalensi dapat dianggap setara satu sama lain dan hanya untuk satu sama lain di bawah relasi R. Keluarga dari semua kelas ekivalensi tersebut didefinisikan oleh relasi, yang biasanya dilambangkan dengan X / R, membentuk partisi pada X. Contoh Diberikan X ={ 1,2,3 , … ,10 }.produk kartesian X ×Y berisi 100 anggota: (1,1),(1,2), (1,3),...,(10,10). Diberikan R ( X , X )= { ( x , y )|x dan y memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan 3 } .Relasi dengan mudah ditunjukkan sebagai refleksif, simetris, dan transitif dan karenanya merupakan relasi ekivalensi pada X. Tiga kelas ekuivalensi yang didefinisikan oleh relasi ini adalah: A1= A 4= A 7= A10 ={ 1,4,7,10 } A2= A 5= A8 ={ 2,5,8 } A3 =A 6= A 9={ 3,6,9 } Karenanya, dalam contoh ini, X /R={ { 1,4,7,10 } , { 2,5,8 } , {3,6,9 }} Relasi biner fuzzy yang refleksif, simetris, dan transitif dikenal sebagai relasi ekivalen fuzzy atau relasi kesamaan. Di sisa bagian ini, mari kita gunakan istilah yang terakhir. Sementara bentuk maksimum dari transitivitas diasumsikan dalam diskusi berikut, konsep-konsep dapat digeneralisasi ke definisi alternatif transitivitas fuzzy. Sementara relasi ekivalensi jelas mengelompokkan elemen-elemen yang ekuivalen di bawah relasi ke dalam kelas-kelas terpisah, interpretasi relasi kesamaan dapat didekati dengan dua cara berbeda. Pertama, dapat dianggap untuk secara efektif mengelompokkan unsur-unsur ke dalam kelompok-kelompok yang garing yang anggotanya "mirip" satu sama lain dengan tingkat tertentu. Jelas, ketika derajat ini sama dengan 1, pengelompokan adalah kelas ekivalensi. Sebagai alternatif, bagaimanapun, kita mungkin 1



ingin mempertimbangkan tingkat kesamaan bahwa unsur-unsur X harus beberapa unsur yang ditentukan x ∈ X. Dengan demikian, untuk setiap x ∈ X, kelas kesamaan dapat didefinisikan sebagai himpunan fuzzy di mana tingkat keanggotaan dari setiap elemen tertentu mewakili kesamaan elemen itu dengan elemen x. Jika semua elemen dalam kelas mirip dengan x ke tingkat 1 dan mirip dengan semua elemen di luar set ke derajat 0, maka pengelompokan lagi menjadi kelas ekivalensi. Diskusi berikut secara singkat menguraikan masing-masing pendekatan ini pada gilirannya. Karena Teorema 2.5, setiap relasi fuzzy R dapat diwakili secara unik dalam hal pemotongan oleh rumus R=¿ α ∈¿ α ∙ ❑α R Dapat dengan mudah ditunjukkan, jika R adalah relasi kesamaan, maka masingmasing potongan ❑α R adalah relasi ekuivalen teratur. Secara efektif, maka, kita dapat menggunakan relasi kemiripan R dan, dengan mengambil potongan ❑α R untuk apapun nilai α ∈ [ 0,1 ], membuat relasi ekuivalen teratur yang mewakili keberadaan kesamaan antara elemen dengan derajat α. Masing-masing relasi ekuivalen ini membentuk partisi X. Misalkan π ( ❑α R ) menunjukkan partisi yang sesuai dengan relasi ekivalen ❑α R . Jelas, dua elemen x dan y milik blok yang sama dari partisi ini jika R( x , y) ≥ α. Setiap hubungan kesamaan dikaitkan dengan himpunan Π ( R )={ π ( ❑α R )|α ∈¿ } dari partisi X. Partisi ini bersarang dalam arti bahwa π (❑α R ) adalah penyempurnaan dari π (❑β R ) jika α ≥ β. Contoh Relasi kabur R(X,X) diwakili oleh matriks abc d e f g a b c d e f g



[



1 0,8 0 0,4 0 0 0 0,8 1 0 0,4 0 0 0 0 0 1 0 1 0,9 0,5 0,4 0,4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0,9 0,5 0 0 0,9 0 0,9 1 0,5 0 0 0,5 0 0,5 0 , , 5 1



] 2



adalah hubungan kesamaan pada X = (a, b, c, d, e, f, g). Untuk memverifikasi bahwa R itu refleksif dan simetris itu biasa. Untuk memverifikasi transitivitasnya, kami dapat menggunakan algoritma untuk menghitung penutupan transitif yang diperkenalkan sebelumnya. Jika algoritma diterapkan ke R dan berakhir setelah iterasi pertama, maka, jelas, R adalah transitif. Kadar himpunan R merupakan A R= { 0; 4 ; 5 ; 8 ; 0,9 ; 1 }. Oleh karena itu, R dikaitkan dengan urutan lima partisi bersarang π (❑α R ), untuk α ∈ A R dan α >0. Hubungan perbaikan mereka dapat dengan mudah digambarkan oleh pohon partisi, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas. Kelas-kelas ekivalensi yang dibentuk oleh level-level perbaikan dari relasi kesamaan dapat diinterpretasikan sebagai elemen-elemen pengelompokan yang mirip satu sama lain dan hanya satu sama lain pada tingkat yang tidak kurang dari Jadi, dalam contoh di atas, c, e, f, dan g semuanya mirip satu sama lain dengan tingkat 0,5, tetapi hanya c dan e yang sama satu sama lain dengan tingkat 1. Sama seperti kelas ekivalensi didefinisikan oleh relasi ekivalensi, kelas kesamaan didefinisikan oleh relasi kesamaan. Untuk hubungan kesamaan yang diberikan R (X, X), kelas kesamaan untuk setiap x ∈ X adalah himpunan fuzzy di mana tingkat keanggotaan masing-masing elemen y ∈ X hanyalah kekuatan hubungan elemen tersebut dengan x, atau R (x, y). Dengan demikian, kelas kesamaan untuk elemen x mewakili sejauh mana semua anggota X lainnya mirip dengan x. Kecuali dalam kasus terbatas dari kelas ekivalensi itu sendiri, kelas kesamaan tidak jelas, dan karena itu umumnya tidak terpisah. Kelas kesamaan diwakili dengan mudah oleh matriks keanggotaan. Diberikan relasi kesamaan R, kelas kesamaan untuk setiap elemen didefinisikan oleh deretan matriks keanggotaan R yang sesuai dengan elemen itu. Sebagai contoh, kelas kesamaan 3



untuk elemen c dan elemen e dari hubungan kesamaan pada contoh tersebut adalah sama. Oleh karena itu, relasinya mendefinisikan enam kelas kesamaan yang berbeda. Kesetaraan fuzzy adalah properti yang dapat diukur dari hubungan biner R (X, X) karena ia dipertahankan dalam arti klasik dalam setiap potongan R. Ini menyiratkan bahwa sifat refleksifitas fuzzy, simetri, dan transitivitas max-min juga dapat dipercaya. Hubungan biner yang simetris dan transitif tetapi tidak refleksif biasanya disebut sebagai hubungan kuasi-kesetaraan. Namun, mereka hanya signifikansi marjinal..



B. Relasi Kompatibel Kabur Relasi biner R ( X , X )yang reflektif dan simetris biasanya disebut relasi kompatibel atau relasi toleransi. Jika R( X , X ) merupakan relasi kabur yang bersifat reflektif dan simetris, dapat disebut dengan relasi kedekatan. Konsep penting yang terkait dengan hubungan kompatibilitas adalah kelas kompatibilitas (juga kelas toleransi). Diberi relasi kompatibel teratur R( X , X ), kelas kompatibilitas adalah subset A dari X sedemikian sehingga ( x , y )∈ R untuk semua x , y ∈ A. Kelas kompatibilitas maksimal atau maximal kompatibel adalah kelas kompatibilitas yang lebih dari kelas kompatibilitas yang lain. Anggotanya terdiri dari semua kompatibilitas maksimal yang disebabkan oleh R pada X disebut pelengkap dari X sehubungan denganR. Ketika R adalah relasi kompatibel kabur, kelas kompatibilitas didefinisikan dalam istilah derajat α yang ditentukan. Kelas kompatibilitas α adalah subset A dari X sedemikian sehingga R( x , y) ≥ α untuk semua x , y ∈ A. Kompatible α maksimal dan α pelengkap merupakan generalisasi yang jelas dari konsep yang sesuai untuk relasi kompatibilitas teratur. Relasi kompatibilitas sering dengan mudah dipandang sebagai grafik refleksif yang tidak terarah. Di konteks ini, refleksivitas menyiratkan bahwa setiap simpul dari grafik memiliki putaran yang menghubungkan simpul dengan dirinya sendiri; putaran biasanya dihilangkan dari representasi visual pada grafik, meskipun mereka dianggap ada. Hubungan antara simpul-simpul, seperti yang didefinisikan oleh relasi, adalah tidak terarah, karena sifat simetri menjamin bahwa semua hubungan yang ada muncul di kedua arah. Setiap hubungan diberi label dengan nilai tingkat keanggotaan yang sesuai R( x , y)=R ( y , x ). Contoh Perthitunkan relasi fuzzy R( X , X ) yang didefinisikan pada X =N 9 oleh matriks keanggotaan berikut:



4



Karena matriksnya simetris dan semua entri pada diagonal utama sama dengan 1, relasi yang ditunjukkan adalah refleksif dan simetris; oleh karena itu, ini adalah hubungan kompatibilitas. Grafik dari relasinya ditunjukkan pada Gambar 5.8; α penutup untuk α >0 dan α ∈ Λ g=(0 ,.4 ,.5 , .7 , .8 ,1) digambarkan pada Gambar 5.9.



Gambar 5.8 Grafik kompatibilitas hubungan dalam Contoh 5.11. α pelengkap dari relasi kompatibilitas R( X , X ) dapat, untuk beberapa nilai dari α, membentuk partisi X ; secara umum, bagaimanapun, ini tidak terjadi karena kurangnya transitivitas. Sebagai contoh, α pelengkap yang diilustrasikan pada Gambar 5..9 membentuk partisi N 9 untuk α ≥ .8. Jelas bahwa hubungan kesamaan adalah kasus khusus dari hubungan kompatibilitas yang dengannya semua α pelengkap membentuk partisi dari X . Karena kurangnya transitivitas membedakan relasi kompatibel dengan relasi ekivalen, pebgakhiran transitif pada relasi kompatibel adalah hubungan kesamaan.



5



Gambar 5.9. Semua α pelengkap untuk relasi kompatibel R dalam Contoh 5.11.



6