RingkasanAnalisis2 FungsiKontinu PDF [PDF]

Citation preview

Ringkasan Catatan Kuliah Analisis 2 Pustaka: Bartle, R.G. and Sherbert, D.R., Introduction to Real Analysis, 4 ed. (hal. 337–341)



10.3



Fungsi Kontinu



Ingat kembali konsep kontinuitas fungsi dan sifat-sifatnya yang telah diuraikan pada Bab 5. Lemma 11.3.1



Suatu fungsi f : A → R kontinu di titik c ∈ A jika dan hanya jika untuk setiap



persekitaran U dari f (c) terdapat persekitaran V dari c sehingga x ∈ V ∩ A ⇒ f (x) ∈ U . Bukti.



(Buktikan dengan menggunakan Teorema 5.1.2)



Perhatikan bahwa pernyataan x ∈ V ∩ A ⇒ f (x) ∈ U adalah ekuivalen dengan f (V ∩ A) ⊆ U . Dengan pengertian pra-peta, hal tersebut juga berarti V ∩ A ⊆ f −1 (U ). Hasil ini dapat digunakan untuk merumuskan sifat kontinuitas pada suatu himpunan (interval). Teorema 11.3.2 (Kontinu Global)



Jika A ⊆ R dan f : A → R suatu fungsi dengan domain A,



maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen: (a) f kontinu di setiap titik dari A. (b) Untuk setiap himpunan terbuka G di R, terdapat himpunan terbuka H di R sedemikian sehingga f −1 (G) = H ∩ A.



Bukti. (a) ⇒ (b). Misal f kontinu di setiap titik dari A, dan G himpunan terbuka di R. Jika c ∈ f −1 (G), maka f (c) ∈ G, yang berarti G merupakan persekitaran dari f (c). Dengan demikian (dari Lemma 11.3.1) terdapat himpunan terbuka V (c) sedemikian sehingga x ∈ V (c) ⇒ f (x) ∈ G, yakni V (c) termuat di dalam f −1 G. Pilih V (c) yang demikian untuk setiap c ∈ f −1 G, dan tetapkan S H = V (c). Jadi, H adalah himpunan terbuka (karena merupakan gabungan dari himpunanc∈f −1 (G)



himpunan terbuka) dan H ∩ A = f −1 (G). (b) ⇒ (a). Misal c sebarang titik di A, dan G persekitaran terbuka dari f (c). Dalam hal ini, terdapat himpunan terbuka H di R dengan H ∩ A = f G . Karena f (c) ∈ G, berarti c ∈ H, yakni H suatu persekitaran dari c. Jika x ∈ H ∩ A, maka f (x) ∈ G. JAdi, f kontinu di c.



1







Suatu fungsi f : R → R adalah kontinu jika dan hanya jika pra-peta dari himpunan



Akibat 11.3.3



terbuka di R juga terbuka di R, yaitu jika dan hanya jika G terbuka ⇒ f −1 (G) terbuka



Perhatikan bahwa suatu fungsi f yang kontinu, tidak mempertahankan sifat terbuka suatu himpunan. Sebagai contoh, pandang fungsi f : R → R yang didefinisikan dengan f (x) := x2 + 1, untuk setiap x ∈ R. Jelas f adalah fungsi kontinu. Sekarang perhatikan himpunan terbuka G := (−2, 2). Peta dari G oleh f adalah f (G) = [1, 5), yang bukan himpunan terbuka di R. Akan tetapi, perhatikan fungsi kontinu dengan domain kompak dalam teorema berikut ini, yang menunjukkan bahwa fungsi kontinu mempertahankan sifat kompak suatu himpunan. Jika K suatu himpunan kompak di R dan f : K → R suatu fungsi kontinu pada



Teorema 11.3.4



K, maka f (K) juga kompak. Bukti.



Misal G = {Gλ } cover terbuka untuk f (K). Akan ditunjukkan bahwa G mempunyai subcover



berhingga. Karena f (K) ⊆



S



λ



Gλ , berarti K ⊆



S



λ



f −1 (Gλ ), dan berdasarkan Teorema 11.3.2, untuk setiap Gλ



terdapat himpunan terbuka Hλ dengan Hλ ∩ K = f −1 (Gλ ). Dengan demikian koleksi {Hλ } merupakan cover terbuka dari K. Sedangkan K kompak, menjamin bahwa cover terbuka tersebut mempunyai subcover berhingga, misal {Hλ1 , Hλ2 , . . . , Hλk }. Jadi, diperoleh k [ i=1



f −1 (Gλi ) =



k [



Hλi ∩ K ⊇ K.



i=1



Dari hasil terakhir tersebut dapat diperoleh bahwa



Sk



i=1



Gλi ⊇ f (K), dan ini merupakan subcover



berhingga dari G.







11.3.5 Beberapa Aplikasi : Silakan baca dan tulis kembali sifat-sifat fungsi kontinu pada bagian ini, dengan bahasa Anda sendiri.



Bahasan kali ini diakhiri dengan perluasan Teorema Inversi Kontinu (Teorema 5.6.5) untuk fungsifungsi dengan domain kompak sebagai perumuman dari fungsi dengan domain berupa interval di R. Teorema 11.3.6



Jika K suatu himpunan kompak di R dan f : K → R injektif dan kontinu pada



K, maka f −1 juga kontinu pada f K. Bukti.



Tulis kembali buktinya sebagai latihan. 2



Latihal Soal : Kerjakan soal-soal latihan 11.3, hal 340–341.



3