RingkasanAnalisis2 RuangMetrik 02 PDF [PDF]

Citation preview

Ringkasan Catatan Kuliah Analisis 2 Pustaka: Bartle, R.G. and Sherbert, D.R., Introduction to Real Analysis, 4 ed. (Subbab 11.4)



11.4



Ruang Metrik (..... lanjutan)



 Himpunan Terbuka dan Kontinuitas Definisi 11.4.9 Misal (S, d) suatu ruang metrik. Suatu himpunan bagian G ⊆ S dikatakan terbuka di S apabila untuk setiap titik x ∈ S terdapat persekitaran U dari x sedemikian hingga U ⊆ G. Himpunan F ⊆ S dikatakan tertutup di S apabila komplemen dari F , yakni S \F , terbuka di S. Definisi 11.4.10 Pandang (S1 , d1 ) dan (S2 , d2 ) dua ruang metrik, dan misal f : S1 → S2 suatu suatu fungsi dari S1 ke S2 . Fungsi f dikatakan kontinu di titik c ∈ S1 jika untuk setiap persekitaran-ε Vε (f (c)) dari f (c), terdapat persekitaran-δ Vδ (c) dari c sedemikian hingga x ∈ Vδ (c) ⇒ f (x) ∈ Vε (f (c)). Rumusan ε-δ untuk kontinuitas tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: f : S1 → S2 kontinu di c jika dan hanya untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian hingga d1 (x, c) < δ berakibat d1 (f (x), f (c)) < ε. Teorema 11.4.11 [Kontinuitas Global] Jika (S1 , d1 ) dan (S2 , d2 ) ruang-ruang metrik, maka fungsi f : S1 → S2 adalah kontinu pada S1 jika dan hanya jika f −1 (G) terbuka di S1 apabila G terbuka di S2 . Teorema 11.4.12 [Mempertahankan Kekompakan] Jika (S, d) ruang metrik kompak dan fungsi f : S → R kontinu, maka f (S) kompak di R.  Semimetrik Definisi 11.4.13 Semimetrik pada himpunan S adalah fungsi f : S × S → R yang memenuhi semua syarat dalam Definisi 11.4.1, kecuali bahwa syarat (b) diganti dengan syarat yang lebih lemah (b’)



d(x, y) = 0 jika x = y.



Ruang semimetrik (S, d) adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan semimetrik d pada S. Dari definisi tersebut, jelas bahwa setiap metrik adalah semimetrik; tetapi tidak berlaku sebaliknya. Sebagai contoh, jika P1 := (x1 , y1 ) dan P2 := (x2 , y2 ) adalah titik-titik di R2 , fungsi d1 yang didefinisikan dengan d1 (P1 , P2 ) := |x1 − x2 |, adalah semimetrik, tetapi bukan metrik sebab setiap dua titik dengan koordinat pertama yang sama mempunyai “jarak-d1 ” sama dengan 0.



 Latihan Soal



Kerjakan soal-soal Latihan 11.4, dan pembahasannya akan kita kerjakan pada



kuliah berikutnya melalui myits classroom - zoom. 1