8 0 213 KB
Statistik Cukup Minimal Definisi : Suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistic cukup gabungan yang lain. Jika π1, π2, β¦ β¦ . , ππ variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dari distribusi Cauchy dengan parameter π = ( π, π 2 ) dan fungsi kepadatan probabilitas 1
π
π(π₯; π, π 2 ) = π π2 +(π₯βπ)2 Untuk ββ < π₯ < β maka tidak ada statistic cukup yang diameternya lebih kecil dari statistic cukup (π1, π2, β¦ β¦ . , ππ )π‘ . Jika m adalah bilangan bulat terkecil sehingga π» = (π1, π2, β¦ β¦ . , ππ )π‘ dengan ππ = ππ (π1, π2, β¦ β¦ . , ππ ) untuk π = 1,2, β¦ . . , π merupakan statistik cukup untuk π = (π1 , β¦ . . , ππ )π‘ maka π» dinamakan statistik cukup minimal untuk π. Teorema : Misalkan π(π₯; π) fungsi probabilitas dari sampel π₯. Misalkan terdapat fungsi π(π₯) sehingga untuk dua π(π₯;π)
titik sampel π₯ dan π¦, ratio π(π¦;π) tidak tergantung pada π jika dan hanya jika π(π₯) = π(π¦), maka π(π₯) adalah statistik cukup minimal untuk π.
Contoh 1: Misal π₯1 , π₯2 , β¦ β¦ . , π₯π iid N(π, π 2 ), π > 0. tentukan himpunan statistik cukup minimal untuk π =(π, π 2 ). π
π
π=0 π
β
1
1 β 2 (π¦βπ)2 2π
π=0 π
π(π¦, π) = β π(π¦π ; π , π 2 ) = β(2ππ 2 )β2 π π=0
π=0 π
π
βπ=0 π(π₯π ; π , π 2 ) π(π₯, π) = = π π(π¦, π) βπ=0 π(π¦π ; π , π 2 )
1 (π₯βπ)2 2π2
1
π(π₯, π) = β π(π₯π ; π , π 2 ) = β(2ππ 2 )β2 π
π=0 π
β
1
β
1
β
(2ππ 2 )β2 π
β
(2ππ 2 )β2 π π=0
1 (π₯βπ)2 2π2
1 (π¦βπ)2 2π2
= π
β
1 (β(π₯βπ)2 β(β(π¦βπ)2 ) 2π2
1 (β(π 2 β π¦ 2 ) β 2ππ΄ (π₯ β π¦))) 2π 2 1 = exp(β 2 {(βπ₯ 2 β βπ¦ 2 ) β 2ππ΄ (βπ₯ β βπ¦))) 2π = exp(β
π(π₯,π)
Rasio π(π¦,π) ini tidak tergantung pada π = (π, π 2 ) jika βπ₯ 2 = βπ¦ 2 dan βπ₯ = βπ¦ Jadi π(π₯) = (βπ₯, βπ₯ 2 ) merupakan statistik minimal untuk πΜ
.
Contoh 2: Misal π1, π2, β¦ β¦ . , ππ peubah acak iid berdistribusi Gamma dengan a tidak diketahui, π½ diketahui. Tunjukkan π = βππ=1 ln(ππ ) dan π = βππ=1 ππ adalah statistik cukup bagi π. Petunjuk : pdf distribusi Gamma (dengan π½ diketahui). π(π₯, π) =
π½ πΌ πΌβ1 βπ₯/π½ π₯ π ΣΆ(π)
Fungsi kumulatif dari distribusi Gamma (dengan π½ diketahui ) adalah π
π(π₯1 , π₯2 , β¦ β¦ . , π₯π |πΌ) = β π=1 π
πΌβ1
π½ ππΌ = . (β π₯π ) π (ΣΆ(πΌ)) β π=1 π(βπ π=1 π₯π ,πΌ)
π½ ππΌ
π½ πΌ πΌβ1 π₯π π₯ exp (β ) ΣΆ(πΌ) π½ π
1 . ππ₯π (β β π₯π ) π½ β
(1)
π=1 π(π₯1 ,π₯2 ,β¦β¦.,π₯π )
1
= (ΣΆ(πΌ))π . ππ₯π((πΌ β 1)ππ βππ=1 π₯π ) . ππ₯π (β π½ βππ=1 π₯π ) π½ ππΌ
1
= (ΣΆ(πΌ))π . ππ₯π((πΌ β 1) βππ=1 ππ π₯π ) . ππ₯π (β π½ βππ=1 π₯π ) β β π(βπ π=1 ln π₯π ,πΌ )
(2)
π(π₯1 ,π₯2 ,β¦β¦.,π₯π )
Dari (1) dan (2) dari metode faktorisasi terbukti π = βππ=1 π1 dan π = βππ=1 ln(π₯π ) adalah statistic cukup bagi πΌ.