Stiffness & Flexibility Method [PDF]

Citation preview

BAB I FLEXIBILITY / FORCE METHOD ( METODE FLEKSIBILITAS / GAYA )



Analisis struktur dengan menggunakan metode gaya sebetulnya sudah dikenal dan digunakan sebelumnya. Metode – metode klasik yang dikenal sebelum munculnya analisis struktur dengan menggunakan metode matriks antara lain ; metode deformasi, teori castigliano, metode defleksi lereng, dsb. Namun dengan dikembangkannya perangkat alat/komputer, metode – metode tersebut yang sebelumnya hanya dapat dilakukan secara manual dan digunakan untuk menyelesaikan persoalan – persoalan yang tidak begitu kompleks, akhirnya dapat dipakai untuk analisis struktur yang lebih kompleks. Hal ini disebabkan karena dengan menggunakan alat bantu komputer dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan – persamaan linier simultan dengan bilangan anu yang lebih banyak dalam waktu yang jauh lebih singkat dibanding penyelesaian manual. Konsep dasar analisis struktur dengan menggunakan metode fleksibilitas adalah bahwa pada struktur yang dianalisa, gaya merupakan bilangan anu yang akan dihitung pertama kali. Setelah gaya diketahui, displacement titik – titik nodal dapat dihitung, demikian pula dengan gaya – gaya pada ujung batang/elemen. Persyaratan yang harus dipenuhi oleh suatu struktur yang berprilaku linier adalah ; 1. keseimbangan gaya 2. kompatibilitas displacement 3. hubungan antara gaya dengan displacement, di mana hal ini dipengaruhi oleh sifat geometri dan elastisitas unsur strukturnya.



Notasi yang dipakai Notasi yang dipakai untuk menyimbulkan gaya-gaya ujung batang, displacement ujungujung elemen, gaya-gaya pada titik nodal/tumpuan dan displacement titik nodal dapat dipakai notasi pada metode kekakuan langsung yaitu :



1



f ix



F ix



u ix



U ix



f iy



F iy



u iy



U iy



f iz



F iz



u iz



U iz



m ix



M ix



Ө ix



Θ ix



m iy



M iy



Ө iy



Θ iy



m iz



;



M iz



Ө iz



;



Θ iz



;



f jx



F jx



u jx



U jx



f jy



F jy



u jy



U jy



f jz



F jz



u jz



U jz



m jx



M jx



Ө jx



Θ jx



m jy



M jy



Ө jy



Θ jy



m jz



M jz



Ө jz



Θ jz



untuk struktur 3 dimensi



Untuk struktur dua dimensi notasinya sama dengan struktur 3 dimensi, hanya baris ke 3, 4, 5, 9, 10 dan 11 dapat dihilangkan, sehingga menjadi ; f ix



F ix



u ix



U ix



f iy



F iy



u iy



U iy



m iz



;



M iz



Ө iz



;



Θ iz



;



f jx



F jx



u jx



U jx



f jy



F jy



u jy



U jy



m jz



M jz



Ө jz



Θ jz



Keseimbangan dan matrik transformasi gaya Pada struktur statis tertentu, gaya – gaya batang dapat dinyatakan ke dalam gaya – gaya yang bekerja pada titik nodal dengan menggunakan syarat – syarat keseimbangan sistemnya, yaitu ; f 1x



= b11 F 1x + b12 F 1y + b13 M 1z + .......................... + b1n M mz



f 1x



= b21 F 1x + b22 F 1y + b23 M 1z + .......................... + b2n M mz



m1x = b31 F 1x + b32 F 1y + b33 M 1z + .......................... + b3n M mz ↓ fm



↓ x



= bm1 F 1



x



↓ z



+ bm2 F 1



↓ y



+ bm3 M 1



2



↓



↓



+ .......................... + bmn M mz



Di mana ruas kiri merupakan gaya – gaya ujung batang, sedangkan ruas kanan menunjukkan gaya – gaya pada titik buhul. Matrik transformasi gaya pada persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut : b11



b12 ……………… b1n



b21



b22 ……………… b2n



Bm1



bm2 ……………… bmn



[B] =



Hubungan antara gaya – gaya batang dengan gaya – gaya titik nodal dapat dinyatakan dengan ; {f} = [B] {F} Bila gaya – gaya titik nodal dipisahkan menjadi dua yakni beban luar yang bekerja (FR) dan reaksi tumpuan (FX), maka persamaan menjadi : FR { f } = [ bR



bX ] FX



Kompatibilitas Kompatibilitas merupakan syarat kontinyuitas terhadap displacement struktur setelah beban – beban luar diberikan kepada struktur. Kompatibilitas ini harus dimasukkan ke dalam analisis struktur statis tidak tertentu untuk dapat dipenuhinya persyaratan keseimbangan.



Hubungan antara gaya dengan displacement Koefisien fleksibilitas sij merupakan displacement pada titik i yang diakibatkan oleh gaya sebesar satu satuan gaya di titik j, sedangkan semua titik lainnya tidak dibebani. Koefisien fleksibilitas ini menunjukkan hubungan antara deformasi dengan gaya. Dengan menggunakan prinsip superposisi, maka deformasi pada suatu titik merupakan penjumlahan dari displacement yang terjadi yang diakibatkan oleh beban – beban yang bekerja.



3



Referensi sistem dan referensi elemen Selagi memungkinkan, akan lebih mudah bila semua gaya dan displacement yang berhubungan dengan koordinat sistem dan elemen ditentukan terlebih dahulu, ini akan lebih memudahkan dalam menetukan referensi sistem dan elemennya. Antara sistem dan struktur dapat digunakan saling bergantian, demikian pula dengan member dan elemen. Untuk memilih referensi dapat dilakukan dengan cara : 1. Dibuat dua skets struktur, satu untuk member dan satunya lagi untuk referensi sistem. 2. Gaya – gaya batang dan struktur yang menarik/penting diidentifikasi dan diskkets dengan menggunakan arah gaya dan vektor translasi serta anak panah dua arah atau lengkung untuk vektor rotasi dan momen. Arah anak panah ini sebagai referensi sehingga nantinya juga digunakan sesuai dengan persetujuan tanda yang dipakai. 3. Jumlah tertentu sesuai dengan referensi masing – masing ; referensi sistem dibedakan dengan referensi elemen dengan pemberian kode nomor yang berbeda. Sedang referensi member/batang digunakan untuk menentukan gaya geser ujung struktur yang sama.



Model matematik dasar 1. Ditentukan tingkat/derajat ketidak-tentuan statisnya. 2. Struktur dibuat menjadi struktur statis tertentu dengan mengganti redundant dengan gaya/momen, struktur harus tetap stabil. Tahap ini biasa dinamakan released structure. 3. Struktur statis tertentu dibebani dengan beban yang ada dan dianalisa untuk mencari deformasi yang berhubungan dengan redundant. 4. Sistem bebas dibebani hanya dengan satu satuan gaya yang sama dengan arah redundant. Deformasi yang terjadi yang berhubungan dengan semua redundant dihitung. Displacement ini menghasilkan satu kolom dari matrik fleksibilitas. Prosedur ini diulang untuk semua redundant. 5. Persamaan kompatibilitas deformasi ditulis dan diselesaikan untuk semua redundant. Himpunan redundant yang diketahui disebut sebagai penyelesaian dasar (basic solution).



4



Contoh : Perhatikan struktur di bawah ini, untuk penyelesaiannya dapat dilakukan dengan 2 cara, yakni : 1. Struktur dasar dianggap sebagai struktur cantilever. Dengan struktur dasar merupakan kantilever, berarti sebagai redundant adalah RBV. Untuk pertama kali dihitung displacement di B karena beban luar yakni D = qL4 8 EI , berikutnya kantilever dibebani dengan gaya sebesar satu satuan di B searah dengan pemisalan RBV, sehingga diperoleh displacement di B sebesar F = L3 3EI . Persamaan kompatibilitas diperoleh dengan persamaan : D + R BV . F = 0 qL4 + RBV 8 EI R BV =



 L3   −  = 0  3EI 



3qL 8



2. Struktur dasar dianggap sebagai struktur simple beam Dengan struktur dasar merupakan simple beam, berarti sebagai redundant adalah MA. Untuk pertama kali dihitung rotasi di A karena beban luar yakni sebesar Θ ' = qL3 24 EI , berikutnya simple beam tanpa beban luar dibebani dengan momen sebesar satu satuan momen di A dengan arah sesuai dengan arah pemisalan reaksi MA dan diperoleh rotasi di A sebesar Θ = L 3EI . Persamaan kompatibilitas diperoleh dengan persamaan : Θ ' + M A .Θ = 0 qL3 L + MA. = 0 24 EI 3EI MA =



qL2 8 EI



5



A. Metode Fleksibilitas Untuk Struktur Rangka Batang Untuk keperluan analisis dengan metode ini perlu diingat kembali bahwa secara umum struktur dapat dikelompokkan menjadi : 1. struktur statis tertentu 2. struktur statis tidak tertentu untuk struktur rangka batang, klasifikasi tersebut dapat diketahui dari hubungan antara jumlah batang, jumlah joint dan jumlah reaksi tumpuan. Hubungan tersebut dinyatakan dengan rumus : NP + NR = 2 J Dengan :



NP



= Jumlah Batang



NR



= Jumlah reaksi tumpuan



J



= Jumlah titik buhul/joint.



Derajat ketidak tentuan statis dinyatakan dengan : i



= (NP + NR) – 2 J



Contoh : Perhatikan struktur diabawah ini : NP



= 15



NR



= 4



J



= 8



i



= (15 + 4) – 2.8 = 3



Urutan-urutan analisis dengan metoda fleksibilitas : 1. Tentukan tingkat/derajat ketidaktentuan strukturnya. 2. Ubah



strukturnya



menjadi



struktur



statis



tertentu



dengan



menghilangkan/memindahkan redundantnya dengan syarat struktur harus tetap stabil. 3. Dengan struktur seperti no. 2, berilah beban aslinya dan hitunglah eformasinya. 4. Dengan struktur seperti no. 2, berilah beban berupa redundantnya dan hitung deformasinya. 5. Susun matriks fleksibilitasnya. 6. Dengan menyusun hubungan antara gaya dengan deformasi dan matriks fleksibilitasnya, dapat dihitung gaya redundantnya.



6



Gaya-gaya dan deformasi pada struktur rangka batang/truss Gaya luar pada titik nodal { F } = [ F1x



F1y



F2x ……….. Fny ] T



Displacement yang berhubungan dengan gaya luar pada titik nodal. { U } = [ U1x



U1y



U2x ……….. Uny ] T



Redundant (gaya-gaya yang belum diketahui) { R } = [ R1



R1



R2 ……….. Rm ] T



Gaya-gaya batang. {f} = [f1



f1



f 2 ……….. f j ] T



Hubungan antara [f ] dengan [F ] dan redundant [R ] dinyatakan dengan : { f } = [ Bo ] { F } + [ B1 ] { R } Atau F { f } = [ Bo



B1 ] R



Dimana [ Bo ] dan [ B1 ] adalah matriks persegi panjang dimana koefisien-koefisiennya diperoleh dari keadaan/syarat keseimbangan pada strukturnya. Persamaan tersebut juga disebut senagai persamaan keseimbangan. Untuk mewujudkan keadaan kompatibilitasnya dapat digunakan energi regangan komplementernya, yang dapat ditulis dengan : [S1]



f1 [S2]



W =



1 [f 1 2



f2



f 3 ….. f j ] =



f2 .



f3 . [Sj]



fj



Atau W =



1 { f }T [ S ] { f } 2



Dengan [ f ] dan [ S ] masing-masing sebagai vektor kolom gaya dalam elemen dan matriks fleksibilitas.



7



[S ] = AL E j



dimana j menunjukkan nomor batang.



j



j



T



{f} =



[ F]



T



[ F]



T



[ Bo ] [ B1 ]



Sehingga : [ Bo ] W = 1



[ F]



2



T



[ R]



T



F [ S ] [ Bo B1 ]



[ B1 ]



R



Atau F W = 1



[ F]



2



T



[ R]



T



[ D] R



Dengan [ Bo ] [ D] =



[ S ] [ Bo B1 ] [ B1 ]



Matriks [ D ] dapat dijadikan matriks partisi : [D ]



DFF



DFR



DRF



DRR



=



Sehingga



W = 1



W= 1



2



2



[ F]



T



[ R]



DFF



DFR



F



DRF



DRR



R



T



[ F ]T [ DFF ] [F] + [ F ]T [ DFR ] [R] + [ R ]T [ DRF ] [F] + [ R ]T [ DRR ] [R]



Karena matriks D adalah matriks simetri maka W =1



2



[ F ]T [ DFF ] [ F ] + 2 [ R ]T [ DRF ] [ F ] + [ R ]T [ DRR ] [ R ]



Dengan menggunakan teorema Castigliano II dan dideferensialkan terhadap [ R ] persamaan di atas menjadi :



8



[ DRF ] [ F ] + [ DRR ] [ R ] = 0 Atau [ R ] = - [ DRR ] -1 [ DRF ] [ F ] Setelah [R] diperoleh, dapat dihitung [f ] dengan menggunakan persamaan keseimbangan F { f } = [ Bo B1 ] R Untuk menghitung displacement [ U ], dilakukan sebagai berikut : karena [U ] = W =1



2



δW dan [ F ]T [ DFR ] [ R ] = [ R]T {DRF ] [ F ] maka : δU



[ F ]T [ DFF ] [ F ] - [ F ]T [ DFR ] [ DRR ]-1 [ DRR ] [ F ]



sehingga [ U] =



∂W ∂U



[ U ] = [ DFF ] [ F ] - [ DFR ] [ DRR ]-1 [ DRF ] [ F ] [ U ] = [ DFF ] - [ DFR ] [ DRR ]-1 [ DRF ] [ F ] Atau : [ U ] = [ α ] [ F ] Di mana [ α ] = [ DFF ] - [ DFR ] [ DRR ]-1 [ DRF ] Matriks α sebagai ”influence matrix” dan merupakan matriks simetri. Koefisien matriks αij adalah displacement dititik nodal i yang diakibatkan oleh beban/gaya satuan dititik nodal j.



Ringkasan Analisis struktur truss dengan metoda fleksibilitas dikerjakan dengan urutan-urutan : 1. Tentukan matriks [Bo] yaitu matriks gaya batang akibat beban luar sebesar satu satuan. Asumsi beban satu satuan yang arahnya sesuai dengan displacement yang diinginkan. 2. Tentukan matriks [ B1 ] yaitu matriks akibat gaya redundant satu satuan



9



3. Tentukan matriks [ F ] berisi besaran gaya luar. Dengan arah/tandanya merujuk pada arah beban satu satuan yang diberikan. Jika searah gaya maka tandanya ( + ), namun jika berlawanan arah ( - ). 4. Tentukan matriks fleksibilitas semua batang [ S ]. Matriks yang hanya diagonalnya saja yang berisi (L / AE) yang lainnya nol. 5. Hitung [ D ] dengan rumus : [ Bo ] [ D] =



[ S ] [ Bo B1 ]



[ B1 ] Adalah matriks simetris yang ukurannya sesuai dengan jumlah gaya satu satuan yang diberikan + redundantnya. 6. Hitung [ R ] dengan rumus : [ R ] = - [ DRR ] -1 [ DRF ] [ F ] 7. Hitung [ f ] dengan rumus : F { f } = [ Bo B1 ] R 8. Hitung [α ] dengan rumus : [ α ] = [ DFF ] - [ DFR ] [ DRR ]-1 [ DRF ] matrik ini ukurannya sesuai dengan jumlah gaya satu satuan yang diberikan.



9. Hitung [ U ] dengan rumus : [ U ] = [ α ] [ F ]



Catatan : [ DFF ] = matriks yang ordonya F x F [ DFR ] = matriks yang ordonya F x R [ DRF ] = matriks yang ordonya R x F [ DRR ] = matriks yang ordonya R x R Dimana : F : jumlah beban luar R : jumlah redundantnya. ***Contoh soal pada file excel………………….!!!!!!!!!



10



B. Metode Fleksibilitas Pada Struktur Frame Penurunan rumus untuk struktur frame hamper sama dengan pada struktur truss, perbedaannya terletak pada rumus matriks fleksibilitas yang dipakai. Untuk itu berikut ini akan dijelaskan penurunan matriks fleksibilitas struktur frame. Perhatikan gambar dibawah ini.



Pada penurunan rumus ini dianggap pengaruh geser diabaikan, sehingga hanya ada momen dititik nodal i dan j serta gaya aksial pada batang ij. Notasi gaya dan displacement adalah :  Fij    Gaya dinyatakan dengan  M i  ; displacement dinyatakan M j   



U ij    Θ i  Θ j   



Dengan menggunakan beban satu satuan sesuai dengan arah gaya-gaya tersebut dapat dapat diperoleh displacement pada arah gaya yang bersangkutan, dan dapat dinyatakan enggan : U ij Өi Өj



=



S11



S12



S13



F ij



S21



S22



S23



X Mi



S31



S32



S33



Mj



Unsur pembentuk matriks fleksibilitas tersebut berturut-turut F untuk kolom 1 Dengan F i j = 1 maka S11 =



L ; S21 = 0 ; S31 = 0 AE



F i j = 0, M i = 1, M j = 0 untuk kolom 2 Dengan M i = 1, maka S12 = 0; S22 =



L L ; S32 = − 3EI z 6 EI z



F i j = 0, M i = 0, M j = 1 untuk kolom 3 Dengan M i = 1, maka S13 = 0 ; S23 = −



L L ; S33 = 6 EI z 3EI z



11



i j



= 1, M i = 0, M j = 0



L AE



[ S1 ]



=



0



0



L 3EI Z



0



−



0 −



L 6 EI Z



L 6 EI Z L 3EI Z



Untuk matriks fleksibilitas keseluruhan strukturnya dapat dituliskan dengan : [ S1 ] [ S2 ] [ S]



=



.. .. ..



Hubungan antara gaya pada ujung batang dengan redundant atau dengan gaya luar dapat dinyatakan dengan : [ f] = [ B] [ F ] Bila gaya-gaya pada titik nodal dipisahkan menjadi 2 yakni beban luar yang bekerja ( FR ) dan reaksi tumpuan/redundant ( FX ), maka persamaan menjadi : FR { f } = [ bR bX ] RX Penyelesaian berikutnya sama seperti pada uraian struktur frame.



***Contoh soal pada file excel………………….!!!!!!!!!



12



BAB II STIFFNESS / DISPLACEMENT METHOD ( METODE KEKAKUAN )



Metode ini merupakan salah satu metode matrik kekakuan yang sesuai untuk program computer, karena manipulasi matematiknya sangat sistematis. Prosedur analitisnya adalah sebagai berikut : 1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan hubungan antara “action” dan “deformation” (pada system koordinat local). 2. Matrik kekakuan elemen ditransformasikan ke system koordinat global. 3. Matrik kekakuan elemen dalam system koordinat global digabung (dengan mempertimbangkan kompatibilitas) menjadi matrik kekakuan seluruh struktur 4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vector gaya. 5. Kondisi batas pada dukungan-dukungan (tumpuan) diperhitungkan, dan dilakukan “static condensation” untuk memperoleh stiffness matrik struktur tereduksi. 6. Matrik kekakuan struktur yang tereduksi tersebut memberikan persamaan keseimbangan struktur, yang solusinya akan menghasilkan “displacement” setiap titik nodal, kemudian gaya – gaya (reaksi) dapat diperoleh. 7. Gaya – gaya dalam dan tegangan dapat dihitung untuk setiap elemen. Metode ini dapat diaplikasikan pada : a. Plane Truss System b. Space Truss System c. Plane Frame System d. Space Frame System e. Grid System Anggapan Dasar : a. bahan struktur berprilaku “linear elastic” b. displacement cukup kecil sehingga persamaan keseimbangan dapat ditulis berdasarkan geometri struktur sebelum berdeformasi. c. Interaksi antara pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan. d. Batang – batang struktur bersifat prismatic dan homogin.



13



A. Plane Truss System Y vj, gj



ui, gi AE ui,fi



X



L



uj,fj



i, j



: titik nodal



L



: panjang batang



A



: luas tampang



u,v



: displacement arah x dan y



E



: modulus elastis



f,g



: gaya arah x dan y



ui=1 f j = - AE f i = AE



i



L



j



g i= 0 vi=1



g j= 0 i



f i = - AE



j u j= 1



L



j



i g i= 0



g j= 0 j vj=0



i



Hubungan antara aksi dan deformasi : fi =



AE AE u i + 0 vi u j + 0 vj L L



g i = 0 u i + 0 vi + 0 u j + 0 vj fj =-



f j = - AE



AE AE u i + 0 vi + u j + 0 vj L L



g j = 0 u i + 0 vi + 0 u j + 0 vj



14



L



L



Dalam bentuk matriks : fi gi fj



=



AE L



gj



1



0



-1



0



ui



0



0



0



0



vI



-1



0



1



0



uj



0



0



0



0



vj



…………….………(2-1a)



{ f (e) } = [ KL(e) ] { u (e) } .............................................................................(2-1b) { f (e) } = Vektor gaya pada koordinat local [ KL(e) ] = matrik kekakuan elemen truss pada koordinat local { u (e) } = vector displacement pada koordinat local e



= elemen



[ KL(e) ]



=



AE L



1



0



-1



0



0



0



0



0



-1



0



1



0



0



0



0



0



Transformasi Koordinat Y



u i = U i Cos α + V i Sin α



y



Vi



v i = -U i Sin α + V i Cos α



a



u j = U j Cos α + V j Sin α



x j



vi ui i



uj vj



X



Ui



ui vi



v j = -U j Sin α + Vj Cos α



a



=



Cos α



Sin α



0



0



Ui



- Sin α



Cos α



0



0



VI



0



0



Cos α



Sin α



Uj



0



0



- Sin α



Cos α



Vj



…..(2-2a)



{ u } = [ T ] { U } ..................................................................................(2-2b)



15



Analog untuk vector gaya : fi gi



=



fj



Cos α



Sin α



0



0



Fi



- Sin α



Cos α



0



0



G I …..(2-3a)



0



0



Cos α



Sin α



Fj



0



0



- Sin α



Cos α



Gj



gj



{ f } = [ T ] { F }....................................................................................(2-3b)



Matrik Kekakuan Elemen Dalam System Koordinat Global Substitusikan persamaan (2-2) dan (2-3) ke persamaan (2-1) diperoleh : = [ KL(e) ] { u (e) }



{f }



[ T ] { F } = [ KL(e) ] [ T ] { U } Kalikan dengan [ T ]-1 [ T ]-1 [ T ] { F }



=



[ T ]-1 [ KL(e) ] [ T ] { U }......................................(2-4)



Karena [ T ]-1 = [ T ]T, maka = ( [ T ]T [ KL(e) ] [ T ] ){ U } Atau



{f }



{ F } = [ KG(e) ] { U } ...............................................................................(2-5) Di mana : [ KG(e) ] = [ T ]T [ KL(e) ] [ T ] ...................................................................(2-6) [ KG(e) ] adalah matrik kekakuan elemen pada system koordinat global Cos2α [



KG(e) ]



AE = L



Sin α Cos α 2



- Cos2α



- Sin α Cos α



- Sin α Cos α



- Sin2α



- Sin α



Sin α



- Sin2α



- Sin α Cos α



Cos2α



Sin α Cos α



- Sin α Cos α



- Cos α



Sin α Cos α



Sin2α



2



Overall Stiffness Matriks Persamaan (2-5) dapat ditulis dalam bentuk : Fi Gi Fj Gj



=



k11



k12



k13



k14



Ui



k21



k22



k23



k24



Vi



k31



k32



k33



k34



Uj



k41



k42



k43



k44



Vj



16



……………..(2-7)



Dalam “overall formulation” menjadi :



2i– 1 2I



2j– 1 2j



2i– 1 Fi



k11



k12 …………. k13



k14



Ui



2i



k21



k22 …………. k23



k24



Vi



Gi



….....(2-8)



= 2j– 1 Fj



k31



k32 …………. k33



k34



Uj



2j



k41



k42 …………. k43



k44



Vj



Gj



Setelah kontribusi semua elemen diperhitungkan, persamaan keseimbangan struktur dalam koordinat global menjadi :



{ Ft } = [ Kt ] { Ut } { Ft } = “overall force vector” dalam system koordinat global, orde (2n x 1) [ Kt ] = “overall stiffness matrik” dalam system koordinat global, orde (2n x 2n) { Ut } = “overall displacement vector” dalam system koordiant global, orde (2n x 1) n



= jumlah titik nodal dalam struktur



Boundary Conditions Persamaan (2-9) dapat diatur kembali sesuai dengan kondisi syarat batas : Fe Fr



=



K11



K12



Uu



K21



K22



Uu



………………………..(2-10)



Dimana : [ Fe ]



= “prescribed external force vector”



[ Fr ]



= “unknown reactions vector”



[ Uu ] = “unknown displacement vector” [ Uk ] = “known displacement vector” given by boundary conditions [ Kij ] = “submatrik of overall stiffness matrik”



17



Unknown Displacement & Reactions Persamaan (2-10) dapat ditulis sebagai berikut : [ Fe ] = [ K11 ] { Uu } + [ K12 ] { Uk } ..........................................................(2-11) [ Fr ] = [ K21 ] { Uu } + [ K22 ] { Uk }...........................................................(2-12) Dari persamaan (2-10) dapat diperoleh “the unknown displacement” : [ Uu ] = [ K11 ] -1 ({ Fe } - [ K12 ] { Uk }) ........................................ (2-13) Persamaan (2-13) merupakan persamaan keseimbangan yang telah tereduksi. Dengan menggunakan harga [ Uu ] ke persamaan (2-12) dapat diperoleh [ Fr ] atau “the unknown reaction” Umumnya (bila semua dukungan tidak mengalami settlement, { Uk } = [ 0 ], sehingga persoalannya menjadi lebih sederhana.



Member forces Gaya – gaya yang terjadi dalam setiap elemen dapat diperoleh dengan memasukkan persamaan (2-5) ke dalam persamaan (2-3b) sehingga : { f } = [ T ] { F }....................................................................................(2-3b) { f } = [ T ] [ KG(e) ] { U }.......................................................................(2-14) Dimana ;



fi {f} =



gi fj



Ui dan



{f} =



gj



Vi Uj Vj



Catatan : karena { f } yang diperoleh dari persamaan (2-14) tersebut adalah vector gaya dari suatu elemen pada system koordinat local, maka hasilnya pun harus ditafsirkan berdasarkan system koordinat local dari elemen tersebut.



18



B. Plane Frame System



Dengan superposisi diperoleh :  AE   − AE  fi =   u i + 0 . vi + 0 . Θ i +   u j + 0 . v j + 0 . Θi  L   L   12 EI   6 EI   − 12 EI   6 EI  g i = 0 . ui +  3  . vi +  2  . Θ i + 0 . u j +   . v j +  2  . Θi 3  L   L   L   L   6 EI   4 EI   − 6 EI   2 EI  m i = 0 . u i +  2  . vi +   . Θi + 0 . u j +  2  . v j +   . Θi  L   L   L   L   − AE   AE  fi =   u i + 0 . vi + 0 . Θ i +   u j + 0 . v j + 0 . Θi  L   L   − 12 EI   − 6 EI   12 EI   − 6 EI  g j = 0 . ui +   . vi +  2  . Θ i + 0 . u j +  3  . v j +  2  . Θ i 3  L   L   L   L   6 EI   2 EI   − 6 EI   4 EI  m i = 0 . u i +  2  . vi +   . Θi + 0 . u j +  2  . v j +   . Θi  L   L   L   L 



19



Bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi ;  AE  L   fi   0 g    i  0   mi    =  − AE  fj  g j   L    0 m j     0 



0



0



12 EI L3 6 EI L2



6 EI L2 4 EI L



0



0



− 12 EI L3 6 EI L2



− 6 EI L2 2 EI L



− AE L 0 0 AE L 0 0



0



0



− 12 EI L3 − 6 EI L2



6 EI L2 2 EI L



0



0



12 EI L3 − 6 EI L2



− 6 EI L2 4 EI L



              



u i  v   i θ i    u j  v j    θ j 



Atau dapat ditulis : { f (e) } = [ KL(e) ] { u (e) } Dimana : { f (e) } = Vektor gaya pada koordinat local [ KL(e) ] = Matrik kekakuan elemen frame pada sistem koordinat local { u (e) } = Vector displacement pada sistem koordinat local e



= Elemen



Transformasi koordinat Y u i = U i Cos α + V i Sin α v i = -U i Sin α + V i Cos α



y



Vi



Өi = Өi a



u j = U j Cos α + V j Sin α



x



v j = -U j Sin α + Vj Cos α



j



vi ui i



Өj = Өj



a



X



Ui



20



Bila ditulis secara matriks : u i   Cos α v  − Sin α  i  θ i   0   =   0 u j   0 v j     θ j   0



Sin α Cos α 0 0 0 0



0 0 1 0 0 0



0 0 0 Cos α − Sin α 0



0 0 0 Sin α Cos α 0



0 0 0 0 0 1



Atau { u } = [ T] { U } Dengan cara yang sama dapat diperoleh : { f } = [ T] { F } Matriks kekakuan elemen pada sistem koordinat global dapat diperoleh: [ Kg(e) ] = [ T ]T [ KL(e) ] [ T ] Dan persamaan keseimbangan elemen pada sisitem koordinat global adalah: { F } = [ KG(e) ] { U } Langkah berikutnya identik dengan prosedur pada ”truss system”



***Contoh soal pada file excel………………….!!!!!!!!!



21



        



U i  V   i  Θ i    U j  V j    Θ j 