Teorema Menelaus [PDF]

Citation preview

J. TEOREMA MENELAUS (dalil menelaus)



AD/DB×BE/EC×CF/FA=−1



CD/DB×BF/FE×EA/AC=−1 Karena kita pakai teorema menelaus pada geometri, maka bilangan dengan



1.



–1dalam pengerjaan soal bisa kita ganti



Keterangan : Pada gambar



ΔABC di atas, perhatikan arah panah yang putus-putus, pangkal dan ujung panahnya terletak pada



titik yang memuat dan tidak memuat lingkaran. Dan arah panahnya kembali ke tempat semula, misalnya dari titik akhirnya kembali ke titik



A lagi.



Dalam penggunaan pada geometri bilangan bilangan



−1 dipakai pada vector.



−1 bisa kita ganti 1, karena panjang sisi selalu positif.



A,



SOAL MENELAUS 1 .



Buktikan teorema Menelaus untuk garis transversalnya memotong segitiga !



2 .



Buktikan teorema Menelaus untuk garis transversalnya ada didalam segitiga !



3 .



Pada gambar di bawah ini, tentukan perbandingan a. AF/FD dan BF/FE



b. CF/FE dan BF/FD



4 .



Pada gambar di bawah ini tentukan perbandingan dari a. AB/BD b. DE/EF



5 .



Jika luas seluruh segitiga di bawah ini adalah 88 satuan, maka tentukan luas keempat daerah yang ada pada segitiga di bawah ini !



6 .



Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi berturut-turut a=6, b=7, dan c=8 . Jika garis berat dari titik A dan garis bagi dari titik B berpotongan di titik P, maka tentukan keliling segitiga ABP !



7 .



Pada gambar di bawah ini, AF dan AD adalah garis tinggi, serta AC=3AE. Jika luas ΔABC=60, maka tentukan selisih luas daerah yang diarsir !



1 .



Buktikan teorema Menelaus untuk garis transversalnya memotong segitiga !



JAWAB



Pada gambar (1 ) : CF/FA=h2/h3 , Pada gambar (2) : BE/EC=h1/h2 , Pada gambar (3) : AD/DB=-h3/h1 Jadi : CF/FA×BE/EC×AD/DB=h2/h3×h1/h2×-h3/h1 Sehingga : AD/DB×BE/EC×CF/FA=-1 terbukti.



2. Buktikan teorema Menelaus untuk garis transversalnya ada didalam segitiga !



JAWAB



Pada gambar (1) : EF/FB=h1/h2, Pada gambar (2) : CA/AE=-h3h1, dan Pada gambar (3) : BD/DC=h2/h3 Jadi : EF/FB×CA/AE×BD/DC=h1/h2×-h3/h1×h2/h3 Sehingga : BD/DC×CA/AE×EF/FB=-1 terbukti.



3. Pada gambar di bawah ini, tentukan perbandingan a.



AF/FD dan BF/FE



b.



CF/FE dan BF/FD



JAWAB



a.



Pada gambar (1) :



AFFD×DBBC×CEEA=1 →AFFD×x/3x×y/y=1 AF/FD×1/3=1 AF/FD=3 Pada gambar (2) :



BFFE×EAAC×CDDB=1



BF/FE×y/2y×2x/x=1



b.



Pada gambar (1) :



CF/FE×EB/BA×AD/DC=1 → CF/FE×5y/12y×10x/3x=1 CF/FE×25/18=1 CF/FE=18/25 Pada gambar (2) :



BFFE=1



BF/FD×DC/CA×AE/EB=1 → BF/FD×3x/13x×7y/5y=1 BF/FD×21/65=1 BF/FD=65/21 4. Pada gambar di bawah ini tentukan perbandingan dari a. b.



AB/BD DE/EF



JAWAB 



Langkah pertama :



AB/DB×BE/EC×CF/FA=1 →AB/DB×y/5y×5x/2x=1 AB/DB×1/2=1 AB/DB=2 Langkah kedua : Perhatikan segitiga



ADF, dan garis transversal CB



AC/CF×FE/ED×DB/BA=1 →7x/5x×FE/ED×m/2m=1 FE/ED×7/10=1 FE/ED=10/7



5. Jika luas seluruh segitiga di bawah ini adalah 88 satuan, maka tentukan luas keempat daerah yang ada pada segitiga di bawah ini ! JAWAB



 Perhatikan



ΔABE



dan



ΔCBE, kedua segitiga ini mempunyai alas yang segaris dan puncaknya sama yaitu



B. LΔABE=1/2×AE×t dan LΔCBE=1/2×CE×t Karena AE=CE dan tinggi segitiga sama karena alas dan puncaknya sama Jadi LΔABE=LΔCBE



titik



LΔABE=44 dan LΔCBE=44 Dengan cara yang sama LΔCAD÷LΔBAD=5÷3 L∆CAD=5/8×88=55 dan LΔBAD=33 Akibatnya



Dengan dalil menelaus



AF/FD×DB/BC×CE/EA=1 AF/FD×3x/8x×1/a=1 AF/FD=83 Dari AFFD=83 maka L∆AFB/L∆FDB=8/3 (33-a)/a=8/3



99−3a=8a 99=11a



a=9 Dengan mengganti



a=9, maka luas masing-masing bagian dari segitiga bisa dilihat di bawah ini :



6. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi berturut-turut a=6, b=7, dan c=8. Jika garis berat dari titik A dan garis bagi dari titik B berpotongan di titik P , maka tentukan keliling segitiga ABP ! JAWAB







BE garis bagi ΔABC, maka : AEEC=BABC →AE/EC=8/6=4/3 Jadi AE=4x , dan EC=3x Karena



AC=7, maka AE=4 dan EC=3



AD sebagai transversal, maka : BP/PE×EA/AC×CD/DB=1 →BP/PE×4/7×3/3=1



Jika garis



Jadi BP/PE=7/4



Jika garis



BE sebagai tranversal, maka :



AP/PD×DB/BC×CE/EA=1 → Jadi AP/PD=8/3



AP/PD×3/6×3/4=1



BE adalah garis bagi, maka : BE2=(BA)(BC)−(AE)(EC) =(8)(6)−(4)(3) =48−12 =36 → BE=6



AD adalah garis berat, maka : AD2=1/2AB2+1/2AC2−1/4BC2 = 1/2.82+1/2.72-1/4.62 = (128+98-36)/4 =190/4 → AD=1/2√190 BP = 7/11.BE = 7/11×6 = 42/11



AP = 8/11.AD = 8/11×1/2√190 = 4/11√190 Keliling ΔAPB=AP+PB+BA =4/11√190+42/11+8 =(4√190+130)/11 7.



Pada gambar di bawah ini, luas



AFAF dan ADAD adalah garis tinggi, serta AC=3AEAC=3AE . Jika



ΔABC=60∆ABC=60 , maka tentukan selisih luas daerah yang diarsir !



JAWAB 



Gunakan dalil minelaos :



Tranvesal :



AG/GD.DB/BC.CE/EA=1 →AG/GD.1/2.2/1=1 →AG/GD=1/1 Karena AI/ID=2/1 (garis berat)



Maka



AG = 2x, GI = x , dan ID = x



Tranvesal :



CH/HF.FB/BA.AE/EC=1 → CH/HF.1/2.1/2=1 →CH/HF=4/1 Karena CI/IF=2/1 (garis berat)



CI = 10y , IH = 2y, dan HF = 3y → BH/HE.2/3.1/1=1 jadi BH/HE=3/2 Tranvesal : BG/GE.EA/AC.CD/DB=1 → BG/GE.1/3.1/1=1 jadi BG/GE=3/1 Maka BH=12z , HG=3z , dan EG=5z Karena luas ΔABC=60 maka Luas ΔABE=20 → Luas ΔAGE=5 Luas ΔADC=30 → Luas ΔCDI=12 Luas ΔCBF=30 → Luas ΔBHF=6 Maka



Tranvesal : BH/HE.EC/CA.AF/FB=1



Selanjutnya tinggal melengkapi luas yang lain



Jadi selisih luas daerah diarsir adalah



=13−9=13-9



=4 http://www.aksiomaid.com/Matematika/Ringkasan-Materi/0129011000000000/PLANIMETRI/TEOREMA-MENELAUS-(dalilmenelaus)



Dalil Menelaus Home » Geometri» Dalil Menelaus Misalkan terdapat segitiga sembarang ABC. Titik D dan E masing-masing terletak pada segmen AC dan BC. Perpanjangan AB dan DE berpotongan di F.



Maka berlaku dalil menelaus sebagai berikut



Untuk membuktikan dalil ini kita tarik 3 garis dari A, F, dan D ke garis BC, sehingga setiap garis tegak lurus dengan BC



Perhatikan segitiga ABH dan segitiga FBG ∠ABH=∠FBG (bertolak belakang) ∠AHB = ∠FGB = 90o akibatnya ∠BAH = ∠BFG Jadi, ΔABH sebangun dengan ΔFBG Dengan demikian ……………………………………………(1) Perhatikan segitiga ABH dan segitiga FBG ∠FEG=∠DEI (bertolak belakang) ∠FGE = ∠DIE = 90o akibatnya ∠GFE = ∠IDE Jadi, ΔFEG sebangun dengan ΔDEH Dengan demikian ……………………………………………(2) Perhatikan segitiga DCI dan segitiga AHC ∠CDI=∠CAH (sehadap) ∠CID = ∠CHA = 90o akibatnya ∠DCI = ∠ACH Jadi, ΔABH sebangun dengan ΔAHC Dengan demikian ……………………………………………(3) Jika persamaan (1) , (2) dan (3) dikalikan maka Jadi



(terbukti)