14 0 8 MB
4. Trigonometri Sudut Berelasi a. Sudut 90! ± 𝛼 Segitiga 𝐴𝐶𝐵 siku siku di 𝐶 sehingga 𝐴+𝐵+𝐶 = 180! 𝛼 + 𝐵 + 90! = 180! 𝐵 = 180! − 90! − 𝛼 𝐵 = 90! − 𝛼
sin 90! − 𝛼 cos 90! − 𝛼 tan 90! − 𝛼 Kesimpulan
Gambar 17 = !"
!"
= cos 𝛼
= !"
!"
= sin 𝛼
!"
= cot 𝛼
= !"
sin 90! − 𝛼
= cos 𝛼
cos 90! − 𝛼
= sin 𝛼
tan 90! − 𝛼
= cot 𝛼
Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 90! berlawanan arah jarum jam sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 90! + 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 18 Gambar 19 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎, 𝑏) cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 sin 90! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑏 sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 90! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎 !"#$# ! !"#$%&' ! cot 𝛼 = !"#$%&' = ! tan 90! + 𝛼 = !"#$# = !! Kesimpulan sin 90! + 𝛼 = cos 𝛼 cos 90! + 𝛼 = − sin 𝛼 tan 90! + 𝛼 = − cot 𝛼
b. Sudut 180! ± 𝛼 Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! − 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 20 Gambar 21 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏, 𝑎) sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 sin 180! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 cos 180! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏 !"#$%&' ! !"#$%&' !! tan 𝛼 = !"#$# = ! tan 180! − 𝛼 = !"#$# = ! Kesimpulan sin 180! − 𝛼 = sin 𝛼 cos 180! − 𝛼 = − cos 𝛼 tan 180! − 𝛼 = − tan 𝛼
Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 180! berlawanan arah jarum jam sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! + 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 22 Gambar 23 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏, −𝑎) sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 sin 180! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎 cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 cos 180! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏 !"#$%&' ! !"#$%&' !! tan 𝛼 = !"#$# = ! tan 180! + 𝛼 = !!"#" = !! Kesimpulan sin 180! + 𝛼 = − sin 𝛼 cos 180! + 𝛼 = − cos 𝛼 tan 180! + 𝛼 = tan 𝛼
c. Sudut 270! ± 𝛼 Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 90! searah jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! − 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 24 Gambar 25 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎, −𝑏) cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 sin 270! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏 sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 270! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎 !"#$# ! !"#$%&' !! cot 𝛼 = !"#$%&' = ! tan 270! − 𝛼 = !"#$# = !! Kesimpulan sin 270! − 𝛼 = − cos 𝛼 cos 270! − 𝛼 = − sin 𝛼 tan 270! − 𝛼 = cot 𝛼
Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 90! searah jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! + 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 26 Gambar 27 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑎, −𝑏) cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 sin 270! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏 sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 270! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑎 !"#$# ! !"#$%&' !! cot 𝛼 = !"#$%&' = ! tan 270! + 𝛼 = !"#$# = ! Kesimpulan sin 270! + 𝛼 = − cos 𝛼 cos 270! + 𝛼 = sin 𝛼 tan 270! + 𝛼 = − cot 𝛼
d. Sudut 360! − 𝛼 atau Sudut – 𝛼 Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 dicerminkan terhadap sumbu X sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 360! − 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 28 Gambar 29 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, −𝑎) sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 sin 360! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎 cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 cos 360! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 !"#$%&' ! !"#$%&' ! tan 𝛼 = !"#$# = ! tan 360! − 𝛼 = !"#$# = !! Kesimpulan sin 360! − 𝛼 = − sin 𝛼 cos 360! − 𝛼 = cos 𝛼 tan 360! − 𝛼 = − tan 𝛼 Untuk sudut – 𝛼 sama dengan sudut 360! − 𝛼