TGS2 - 14 - Nugraheni Sunu [PDF]

Citation preview

Soal dan Pembahasan Fungsi Geometri Transformasi 1. Misalkan R himpunan semua bilangan real. Ditetapkan relasi f dari R ke R sebagai berikut: 1 , x∈R a. f ( x )= x +1 b. f ( x )=x 2 , x ∈ R c. f ( x )=x 3 , x ∈ R Manakah di antara relasi di atas yang merupakan fungsi? Penyelesaian : 1 1 = . −1+1 0 Ternyata, hasilnya tak didefinisikan, jadi -1 tidak mempunyai peta di R oleh relasi f. 1 , x∈R karena ada x ∈ R yang tidak mempunyai peta di R oleh f maka f ( x )= x +1 bukan merupakan fungsi dari R ke R b. Karena ∀ x ∈ R , x 2=x . x adalah anggota R dan juga merupakan hasil yang tunggal, maka setiap x ∈ R mempunyai peta, yaitu x 2. Jadi, f merupakan fungsi dari R ke R c. Karena ∀ x ∈ R , x 3=x ⋅ x ⋅ x ∈ R , x ⋅ x ⋅ x merupakan hasil yang tunggal maka f adalah fungsi dari R ke R d. Jadi, dari relasi-relasi yang di tetapkan diatas, yang merupakan fungsi adalah relasi f ( x )=x 2 , x ∈ R dan f ( x )=x 3 , x ∈ R a. Misalnya −1 ∈ R, kemudian substitusikan ke dalam f ( x ), yaitu f (−1 ) =



2. Relasi f dari R ke R ditetapkan oleh rumus f ( x )=x 2 , ∀ x ∈ R dan f ( x )=x 3 , ∀ x ∈ R. Yang masing-masing merupakan fungsi. Manakah di antara kedua fungsi tersebut yang merupakan fungsi kepada? Penyelesaian : a. Untuk fungsi f ( x )=x 2 , ∀ x ∈ R Misalkan −2 ∈ R. Sekarang yang menjadi permasalahannya, apakah ada x ∈ R sehingga f ( x )=x 2 berarti x 2=−2 Seperti yang diketahui bahwa x 2 ≥ 0 , ∀ x ∈ R . Jadi, dari hubungan tersebut dapat disimpulkan bahwa tidak ada x ∈ R, sehingga x 2=−2 atau fungsi tersebut tidak mempunyai prapeta di R. jadi, gungsi f dari R ke R yang ditetapkan oleh f ( x )=x 2 , ∀ x ∈ R bukan fungsi kepada b. Untuk fungsi f ( x )=x 3 , ∀ x ∈ R Misalkan y ∈ R, apakah ada x ∈ R sehingga y=f ( x ) dan f ( x )=x 3 maka y=x 3 atau x=√3 y . Dapat diketahui bahwa setiap y ∈ R ada x ∈ R sehingga y=x 3. Jadi, fungsi f dari R ke R yang ditetapkan oleh rumus f ( x )=x 3 , ∀ x ∈ R merupakan fungsi kepada.



3. Misalkan R relasi dari P= {1,2,3,4 } ke Q= {1,3,5 } yang ditetapkan oleh P ( x , y )=x < y. Tentukan R, domain dan Range dari R! Penyelesaian : R adalah relasi dari P ke Q, maka: R={( 1,3 ), ( 1,5 ), ( 2,3 ) , ( 2,5 ) , (3,5 ) ,(4,5)} Domain dari R adalah D R= {1,2,3,4 }=P Range dari R adalah R R= {3,5 } 4. Misalkan R relasi dari P= {1,2,3,4 } ke Q= {1,3,5 } yang ditetapkan oleh P ( x , y )=x < y. Tentukan R−1 , domain dan range dari R−1 ! Penyelesaian : R−1 ={ ( 3,1 ) , ( 5,1 ) , ( 3,2 ) , ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) } D R−1=R R={3,5} R R−1=D R={1,2,3,4 } 5. Diketahui fungsi f dari R ke r sebagai himpunan semua bilangan real yang ditetapkan oleh rumus f ( x )=x 3 , ∀ x ∈ R. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi satusatu. Penyelesaian : Ambil sebarang x , y ∈ A sehingga f ( x )=f ( y ). Karena f ( x )=x 3 dan f ( y ) = y 3 maka x 3= y 3 . x 3= y 3 ⇔ x 3− y 3=0 ⇔ ( x− y ) ( x 2 + xy + y 2 )=0 ⇔ x= y atau x2 + xy + y 2=0 Dari bentuk x 2+ xy+ y 2=0, ternyata tidak ada x , y ∈ R sehingga x 2+ xy+ y 2=0, kecuali x= y =0. Akibatnya, ∀ x , y ∈ R jika f ( x )=f ( y ) maka x= y. Jadi, dapat disimpulkan bahwa fungsi f dari R ke R untuk f ( x )=x 3 , ∀ x , y ∈ R merupakan fungsi satu-satu. 6. Buktikan relasi f dari R ke R dari f ( x , y )={ ( x , y )| x 2+ y 2=1 } merupakan fungsi! Penyelesaian : Misalkan 4 ∈ R dan jika ( 4 , y ) ∈ f ( x , y ) maka 16+ y 2 =1. Jadi, y= √ 1−16= √−15 ∈ R . Akibatnya, 4 ∈ R relasi ini tidak mempunyai peta anggota R. jadi, relasi f ini bukan fungsi dari R ke R. 7. Buktikan relasi f dari R ke R f ( x )=2 x−1 , ∀ x ∈ R merupakan fungsi! Penyelesaian : Untuk setiap x ∈ R ,2 x ∈ R dan x−1∈ R, setiap x ∈ R mempunyai peta, yaitu 2 x ∈ R. Berarti, untuk setiap x ∈ R ,2 x tunggal ,dan 2 x−1juga tunggal. Jadi, relasi f ini merupakan suatu fungsi dari R ke R.



8. Manakah di antara fungsi f dari B ke B dibawah ini, yang merupakan fungsi bijektif? a. f ( x )=2 x−1 , ∀ x ∈ B b. f ( x )=1−x , ∀ x ∈ B c. f ( x )=x 2 + x , ∀ x ∈ B Penyelesaian : 3 a. Untuk y=2∈ B. Dari bentuk y=f ( x )=2 x −1, didapat x= ∉ B . Jadi 2 ∈ B tidak 2 mempunyai prapeta di B oleh fungsi f ini. Maka itu, fungsi f ini bukan fungsi kepada. Akibatnya, fungsi f ini bukan fungsi bijektif. b. Untuk setiap y ∈ B. Dari bentuk y=f ( x )=1−x, didapat x=1− y ∈ B. Jadi, setiap y ∈ B mempunyai prapeta 1− y ∈ B. Berarti, fungsi ini merupakan fungsi kepada. Sekarang, ambil dua unsur sembarang x , y ∈ B dengan f ( x )=f ( y ). Didapat 1−x=1− y ⇒ x= y. Dari kenyataan tersebut, fungsi ini merupakan fungsi satu-satu. Jadi, ufngsi ini merupakan fungsi bijektif. c. Ambil y=1 ∈ B. Dari bentuk y=f ( x ), didapat 1=x 2 + x atau x 2+ x−1=0 . Karena diskriminan persamaan kuadrat tersebut D=1+ 4=5 bukan bilangan kuadrat, maka x yang memenuhi x 2+ x−1=0 bukan suatu bilangan bulat. Jadi, 1 ∈ B tidak mempunyai prapeta di B oleh fungsi f. maka itu, fungsi f ini bukan fungsi kepada. Akibatnya, fungsi f ini bukan fungsi bijektif. 9. Buktikan fungsi f dari R ke R dari f ( x )=ax−1 , a∈ R , ∀ x ∈ R merupakan fungai bijektif! Penyelesaian : - Jika a=0 maka f ( x )=−1. Seandainya y=2∈ R, berarti tidak ada x sehingga f ( x )=2 sebab f ( x )=−1, ∀ x ∈ R. Jadi, f bukan fungsi kepada. Akibatnya, fungsi ini tidak bijektif untuk a=0. - Jika a ≠ 0, ambil sebarang unsur y ∈ R sehingga y=f ( x )=ax−1. Dari bentuk ini, y +1 y+ 1 didapat x= . Karena, setiap y ∈ R ada x ∈ R, yaitu , maka fungsi ini a a merupakan fungsi kepada. - Ambil x, y sebarang bilangan real dengan f ( x )=f ( y ). Akibatnya, diperoleh ax−1=ay−1 ⇒ a ( x− y )=0 ⇒ x− y=0 sebab a ≠ 0. Maka dari itu, x= y sehingga fungsi ini merupakan fungsi satu-satu. Jadi, f ini fungsi bijektif. Dari penjelasan diatas, dapat dikatakan bahwa jika a=0 maka fungsi f ( x )=ax−1 bukan fungsi bijektif dari R ke R. Jika a ≠ 0 maka fungsi f ( x )=ax−1 merupakan fungsi bijektif dari R ke R.



10. Buktikan fungsi f dari R ke R dari f ( x )=x +b , b ∈ R , ∀ x ∈ R merupakan fungsi bijektif. Penyelesaian :



Ambil sebarang unsur y ∈ R sehingga dari bentuk f ( x )= y didapatlah x= y −b. Jadi, untuk setiap y ∈ R, didapat x= y −b ∈ R. Berarti, fungsi ini merupakan fungsi kepada. Jika kita ambil dua unsur sebarang x +b= y+ b ⇒ x= y. Jadi, fungsi f ini merupakan fungsi satu-satu. Akibatnya, fungsi ini juga disebut sebagai fungsi bijektif. 11. Misalkan A adalah himpunan mahasiswa di UMSU. Manakah dari pemetaan berikut yang mendefinisikan sebuah fungsi pada himpunan A? (i) Setiap mahasiswa memetakan NIM (Nomor Induk Mahasiswa) (ii) Setiap mahasiswa memetakan nomor handphone-nya (iii) Setiap mahasiswa memetakan dosen walinya (iv) Setiap mahasiswa memetakan anaknya Penyelesaian : (i)



Ya, karena setiap mahasiswa hanya mempunyai satu buah NIM



(ii)



Tidak, karena ada mahasiswa yang mempunyai lebih dari satu handphone atau tidak mempunyai handphone sama sekali.



(iii) Ya, karena setiap mahasiswa hanya mempunyai 1 orang dosen wali. (iv) Tidak, jika ada mahasiswa yang belum menikah 12. Apakah fungsi f = {( 1 , u ) , ( 2 , u ) , (3 , v ) } dari A={ 1,2,3 } ke B= {u , v , w , x } termasuk fungsi satu ke satu atau injektif? Penyelesaian fungsi f = {( 1 , u ) , ( 2 , u ) , (3 , v ) } dari A={ 1,2,3 } ke B= {u , v , w , x } bukan termasuk fungsi injektif, karena f ( 1 ) =f ( 2 )=u 13. Periksa apakah f : R → R dengan g ( x )=x 3 , ∀ x ∈ R merupakan fungsi injektif! Penyelesaian : Ambil sebarang a , b ∈ R dengan g ( a ) =g (b). Perhatikan bahwa : f ( a )=f ( b ) a 3=b3 0=b3 −a3 0=( b2 + ab+a2 ) ( b−a ) ……. (1) Pandang faktor pertama sebagai fungsi kuadrat dalam b, yaitu :



h ( b )=b2 +ab+ a2 Diskriminan dari h kurang dari nol ( D0 . Akibatnya, persamaan (1) hanya dipenuhi oleh b−a=0 ⟹ b=a. Dengan demikian, g adalah fungsi injektif. 14. Misalkan f : Z → Z, tentukan apakah f ( x )=x 2 +1 merupakan fungsi injektif? Penyelesaian : Jika f : Z → Z, maka f ( x )=x 2 +1 bukan merupakan fungsi injektif. Karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama. Misalnya f ( 2 ) =f (−2 )=5, padahal −2 ≠2. 15. Apakah relasi f ={ (1 , u ) , ( 2, u ) , ( 3 , v ) } dari A={ 1,2,3 } ke B= {u , v , w } merupakan fungsi surjektif? Penyelesaian : Relasi f ={ (1 , u ) , ( 2, u ) , ( 3 , v ) } dari A={ 1,2,3 } ke B= {u , v , w } merupakan fungsi surjektif. Karena w bukan termasuk jelajah dari f. 16. Periksa apakah f : N → N dengan g ( x )=2 x +1 , ∀ x ∈ N merupakan fungsi surjektif! Penyelesaian : Untuk setiap a ∈ N , 2 a+1 adalah bilangan ganjil. Akibatnya, bilangan asli genap seperti 2,4,6 , … tidak memiliki prapeta. Misalkan diambil 1 ∈ N (kodomain g) yang memenuhi g ( a ) =2a+ 1, maka diperoleh 3, yakni bilangan ganjil. Dan diambil 2 ∈ N (kodomain g) yang memenuhi g ( a ) =2a+ 1, maka diperoleh 5, yakni bilangan ganjil pula. Sehingga dapat disimpulkan bahwa f : N → N dengan g ( x )=2 x +1 , ∀ x ∈ N bukan merupakan fungsi surjektif. 17. Misalkan f : Z → Z, tentukan apakah f ( x )=x−1 merupakan fungsi surjektif? Penyelesaian :



Jika f : Z → Z, maka f ( x )=x−1 merupakan fungsi surjektif. Karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y=x −1 akan dipernuhi untuk x= y +1. 18. Tentukan apakah setiap fungsi berikut merupakan fungsi satu-ke-satu atau fungsi bijektif! (i) Setiap orang di bumi memetakan usianya. (ii) Setiap negara di dunia memetakan letak garis lintang dan garis bujur ibukotanya. (iii) Setiap buku yang ditulis oleh pengarangnya memetakan nama pengarangnya. (iv) Setiap negara di dunia yang mempunyai seorang presiden memetakan nama presidennya. Penyelesaian : (i)



Ya, karena setiap orang di bumi hanya memiliki satu usia, dan mempunyai usia yang sama.



(ii)



Ya, karena setiap negara di dunia memiliki posisi garis lintang dan garis bujur yang berbeda dengan negara lainnya.



(iii)



Tidak, karena ada buku yang tidak menuliskan nama pengarangnya.



(iv)



Ya, karena setiap negara memiliki nama seorang presiden.



19. Apakah relasi f ={ (1 , u ) , ( 2, w ) , ( 3 , v ) } dari A={ 1,2,3 } ke B= {u , v , w } merupakan fungsi bijektif? Penyelesaian : Relasi f ={ (1 , u ) , ( 2, w ) , ( 3 , v ) } dari A={ 1,2,3 } ke B= {u , v , w } merupakan fungsi bijektif, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. 20. Manakah diantara fungsi berikut yang merupakan fungsi bijektif? (i)



f ( x )=x 2 +2



(ii)



f ( x )=2 x +1



(iii) f ( x )=1−



1 x2



(iv) f ( x )=sin2 x (v)



f ( x )=log x 2



Penyelesaian :



(i) f ( x )=x 2 +2 bukan fungsi bijektif, karena untuk x=1 dan x=−1 bernilai sama, yaitu 3 



f ( 1 ) =12+2=3







f (−1 ) =(−1 )2+ 2=3



Sehingga ada hasil yang sama, yaitu (1,3) dan (-1,3) ⟹ tidak satu-satu. (ii) f ( x )=2 x +1 merupakan fungsi bijektif. Karena untuk f (x¿ ¿1) ≠ f ( x 2) ¿ dan daerah hasilnya sama dengan daerah kodomainnya. (iii) f ( x )=1−



1 bukan merupakan fungsi bijektif. Karena untuk x=1 dan x=−1 bernilai x2



sama yaitu 0  



1 1 =1− =0 2 1 1 1 1 f (−1 ) =1− =1− =0 2 1 (−1 ) f ( 1 ) =1−



Sehingga ada hasil yang sama, yaitu (1,0) dan (-1,0) ⟹ tidak satu-satu. (iv) f ( x )=sin2 x bukan fungsi bijektif. Karena untuk x=0 ∘ dan x=90 ∘ bernilai sama, yaitu 0. 



f ( 0∘ )=sin 2 ( 0∘ )=sin 0∘=0







f (90¿¿ ∘)=sin 2 ( 90∘ )=sin 180∘=0 ¿



Sehingga ada hasil yang sama, yaitu (0∘ ,0) dan (90∘ ,0) ⟹ tidak satu-satu. (v) f ( x )=log x 2 bukan fungsi bijektif. Karena untuk x=1 dan x=−1 bernilai sama yaitu 0. 



f ( 1 ) =log ( 1 )2=log 1=0







f (−1 ) =log (−1 )2=log 1=0



Sehingga ada hasil yang sama, yaitu (1,0) dan (−1,0) ⟹ tidak satu-satu. Jadi, hanya fungsi f ( x )=2 x +1 yang merupakan fungsi bijektif.



Daftar Pustaka Eecles, Frank M. 1971. An Introduction to Transformational Geometry. Phillips Academy, Andorn, Massachusetts:Addison-Wesley, Publishing Company. Izzulhaq, Agung. 2020. Fungsi Bijektif: Definisi, Contoh, Sifat, dan Cara Membuktikan. https://www.kimiamath.com/post/fungsi-bijektif-fungsi-invers. Diakses pada 22 Maret 2021. Martin, George E. 1982. Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. New York: Springer-Verlag Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit Revisi Keempat. Bandung: Informatika Popeye, Arset. 2017. Soal Fungsi Bijektif. https://brainly.co.id/tugas/10875495. Diakses pada 22 Maret 2021. Rasmedi, Ame dan Darhim. 2016. Relasi, Fungsi, dan Transformasi. Modul Pembelajaran Rawuh, R. 1990. Geometri Transformasi. Bandung: FMIPA-ITB